湖南省娄底市双峰县双峰第一中学2020届高三模拟考试数学（文）（五）试卷 9页

湖南省娄底市双峰县双峰第一中学2020届高三模拟考试数学（文）（五）试卷 文科数学 测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．设,,，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．若复数满足，其中为虚数单位，则复数的共轭复数所对应的点位于 （ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．已知幂函数是定义在区间上的奇函数，设，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知双曲线的两个实轴顶点为，点为虚轴顶点，且，则双曲线的离心率的范围为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．2016年五一期间，各大网站纷纷推出各种“优惠劵”.在此期间，小明同学对本小区某居民楼的20名住户在假期期间抢得“优惠劵”的数量进行调查得到如下表格 抢得“优惠劵”数量（个）‎ 人数 ‎2‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎3‎ 则该小区50名住户在2016年“五一”期间抢得的“优惠劵”个数约为（ ）‎ A．30 B．1500 C．26 D．1300‎ ‎6．已知向量，函数在区间上单调，且的最大值是，则 （ ）‎ A．2 B． C． D．1‎ ‎7．如图所示的程序框图，若输入的，则输出的 （ ）‎ A．10 B．11 C．12 D．13‎ ‎8．设是的对角线的交点，三角形的高为2，为任意一点，则 ‎ （ ）‎ A．6 B．16 C．24 D．48‎ ‎9．设满足约束条件，则的取值范围为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．设函数，且，则不等式的解集为 （ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 11． 如图，已知六个直角边均为1和的直角三角形围成的两个正六边形，则该图形绕着旋转一周得到的几何体的体积为 （ ）‎ A． ‎ B． C． D．‎ ‎12．已知函数满足，且时，，又，则函数在区间上零点的个数为 （ ）‎ A．2015 B．2016 C．2017 D．2018‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）‎ ‎13．已知抛物线，是上的一点，若焦点关于的对称点落在轴上，则 .‎ ‎14．南宋数学家杨辉研究了垛积与各类多面体体积的联系，由多面体体积公式导出相应的垛积术公式．例如方亭(正四梭台)体积为 其中为上底边长，为下底边长，为高．杨辉利用沈括隙积术的基础上想到：若由大小相等的圆球垛成类似于正四棱台的方垛，上底由个球组成，以下各层的长、宽依次各增加一个球，共有层，最下层(即下底)由个球组成，杨辉给出求方垛中物体总数的公式如下：根据以上材料，我们可得 .‎ ‎15．某一几何体三视图如图所示，已知几何体的体积为，则俯视图的面积为 .‎ ‎16．已知数列满足，且，记数列的前项和为，若不等式 对任意都成立，则实数的最大值为 .‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．（12分）在中，分别是的中点，，且.‎ ‎（1）求的面积；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎18．（12分）京剧是我国的国粹，是“国家级非物质文化遗产”，为纪念著名京剧表演艺术家，京剧艺术大师梅兰芳先生，某电视台《我爱京剧》的一期比赛中，2位“梅派”传人和4位京剧票友（资深业余爱好者）在幕后登台演唱同一曲目《贵妃醉酒》选段，假设6位演员的演唱水平相当，由现场40位大众评委和“梅派”传人的朋友猜测哪两位是真正的“梅派”传人.‎ ‎（1）此栏目编导对本期的40位大众评委的年龄和对京剧知识的了解进行调查，根据调查得到的数据如下：‎ 京剧票友 一般爱好者 合计 ‎50岁以上 ‎15‎ ‎10‎ ‎25‎ ‎50岁以下 ‎3‎ ‎12‎ ‎15‎ 合计 ‎18‎ ‎22‎ ‎40‎ 试问：在犯错误的概率不超过多少的前提下，可以认为年龄的大小与对京剧知识的了解有关系？‎ ‎（2）若在一轮中演唱中，每次猜出3位亮相，求至少1位是“梅派”传人”的概率.‎ 参考数据：‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 参考公式：‎ ‎19．（12分）在如图（1）梯形中，，‎ 过作于，，沿翻折后得图（2），使得，又点满足，连接，且.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求三棱锥外接球的体积.‎ ‎20．（12分）已知椭圆的左、右焦点为，左右两顶点，点为椭圆上任意一点，满足直线的斜率之积为，且的最大值为4.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若直线与过点且与轴垂直的直线交于点，过点作，垂足分别为两点，求证：.‎ ‎21．（12分）已知函数.‎ ‎（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值；‎ ‎（2）当且时，函数的图象总在直线的下方，求实数的取值范围.‎ 请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．‎ ‎22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程 已知直线的普通方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的参数方程为，将直线向右平移2个单位后得到直线，又点的极坐标.‎ ‎（1）求直线以及曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线交于两点，求三角形的面积值.‎ ‎23．（10分）选修4—5不等式选讲 已知函数 ‎（1）若，求不等式的解集；‎ ‎（2）当时，若的最小值为2，求的最小值.‎ 文科数学答案与解析 ‎1．【答案】B【解析】因为，所以．‎ ‎2．【答案】C【解析】由得，所以，所以对应的点在第三象限.‎ ‎3．【答案】A【解析】因为幂函数在区间上是奇函数，所以，‎ 即，因为，又为增函数，所以.‎ ‎4．【答案】A【解析】根据题意，，所以为钝角，所以，所以.‎ ‎5．【答案】D【解析】由数据可知四个组的频率分别为，所以每一人抢得“优惠劵”的平均数为所以该班50名住户在2016年“五一”期间抢得的“优惠劵”个数约为个.故选D.‎ ‎6．【答案】D【解析】‎ ‎，由题意：,,，即，所以.‎ ‎7．【答案】C【解析】输入的，程序框图运行如下：‎ ‎，;，；‎ ‎，;，；‎ ‎，；‎ ‎，；‎ ‎，；所以输出的 ‎8．【答案】B【解析】因为，在向量的射影为，所以.‎ ‎9．【答案】A【解析】由约束条件作出可行域如图，‎ 令，则表示点和两点的距离，由图可得，，联立，解得，所以 过作于，则，故 ‎10．【答案】A【解析】，即，解得.‎ 故，可以判断函数为增函数，所以，‎ 所以解集为.‎ ‎11．【答案】B【解析】外面的六边形旋转得到的几何体的体积为，内部的六边形旋转得到的几何体的体积为，所以几何体的体积为.‎ ‎12．【答案】C【解析】，所以的一个周期为2，当时，，所以，所以，‎ 的最大值为1，与的图象如下：‎ 在区间内有一个根，在内有1008个周期，每个周期内均有2个根，所以共有2017个零点 .‎ ‎13．【答案】6【解析】根据题意，为的中点，所以的横坐标为，所以.‎ ‎14．【答案】【解析】观察规律令，可得.‎ ‎15．【答案】【解析】这个几何体为一个四棱锥，直观图如右图，‎ 设四棱锥的高为，几何体的体积为，‎ 即点到平面的距离为，俯视图为一个正三角形，‎ 边长为2，所以俯视图的面积为，‎ ‎16．【答案】2【解析】根据题意得，‎ ‎ ；‎ 所以，，‎ 当时，单调递增，所以，故.‎ ‎17．【解析】‎ ‎（1），‎ ‎；（4分）‎ 又，所以，所以的面积为.（6分）‎ ‎（2）根据题意，画出图形，如图所示：‎ 又点分别为的中点，则，（7分）‎ 所以在中，由余弦定理得 ‎，‎ ‎，（9分）‎ 所以.（12分）‎ ‎18．【解析】‎ ‎（1）因为，（3分）‎ 所以在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可以认为年龄与对京剧知识的了解有关系.（5分）‎ （2） 记4位票友为，2位“梅派”传人”为，则从中选出3位的所有结果有 共20种，（8分）‎ 其中至少1位是“梅派”传人”的结果为 ‎，.（10分）‎ 有16种，所以满足条件的概率为.（12分）‎ ‎19．【解析】‎ ‎（1）连接与交于点，，则 ‎，，（2分）‎ 又平面，平面，平面.（4分）‎ ‎（2）证明：由，得四边形为平行四边形，‎ 所以，，所以，‎ 所以，（6分）‎ 又，所以平面，所以，‎ 又，平面.（8分）‎ 以为棱，构造长方体，所以长方体外接球与三棱锥的外接球相同，所以外接球的直径为，（11分）‎ 所以球的体积为.（12分）‎ ‎20．【解析】‎ ‎（1）根据题意，（1分）‎ 又设，所以，所以，（3分）‎ 故，从而椭圆的标准方程为.（4分）‎ ‎（2）证明：设直线，则：,的中点为为，‎ 联立，消去整理得：‎ 设，由韦达定理得：，‎ 解得：，故有：，（7分）‎ 又，所以当时，，，此时轴，‎ 所以四边形为矩形，所以，所以.（8分）‎ 当时，，所以直线，‎ 即：，‎ 所以点到直线的距离，（10分）‎ 而，即知：，所以以为直径的圆与直线相切，‎ 所以四边形为直角梯形，的中点为，‎ 所以.（12分）‎ ‎21．【解析】‎ ‎（1）依题意，，故，‎ 则，解得；（3分）‎ ‎（2）依题意，当时，，‎ 即，令，‎ 下面证明在恒成立；先分析函数在上的单调性；‎ ‎；令；‎ 当时，图象开口向下，在上有两个零点1和，‎ ‎①当时，，此时，在上单调递减；‎ ‎②当时，，此时当，可得；‎ ‎，可得或.‎ 在上单调递增；在，上单调递减.‎ ‎③当时，，此时当，可得；‎ ‎，可得或.‎ 在上单调递增；在，上单调递减；‎ 因为函数过点，且当时，在为减函数，‎ ‎，符合题意.‎ 当时，在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎，不符合题意，舍去.综上所述，的取值范围为.（12分）‎ ‎22．【解析】‎ ‎（1）直线的普通方程为，直线的极坐标方程，（3分）‎ 曲线的普通方程，‎ 所以.（5分）‎ ‎（2）由（1）得，所以，（8分）‎ 点到直线的距离为，所以.（10分）‎ ‎23．【解析】‎ ‎（1）根据题意，‎ ‎，（3分）‎ 解，或，得或，‎ 所以解集为.（5分）‎ ‎（2）因为，‎ 当且仅当时，等号成立，（8分）‎ 又，所以，‎ 所以的最小值为，所以.所以 ‎.（10分）3‎