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- 2021-06-25 发布
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1.已知某角的一个三角函数值,求该角的其他三角函数值.
解 ∵sinα<0
∴角α在第三或第四象限(不可能在y轴的负半轴上)
(2)若α在第四象限,则
说明 在解决此类问题时,要注意:
(1)尽可能地确定α所在的象限,以便确定三角函数值的符号.
(2)尽可能地避免使用平方关系(在一般情况下只要使用一次).
(3)必要时进行讨论.
例2 已知sinα=m(|m|≤1),求tgα的值.
(2)当m=±1时,α的终边在y轴上,tgα无意义.
(3)当α在Ⅰ、Ⅳ象限时,∵cosα>0.
当α在第Ⅱ、Ⅲ象限时,∵cosα<0,
说明 (1)在对角的范围进行讨论时,不可遗漏终边在坐标轴上的情况.
(2)本题在进行讨论时,为什么以cosα的符号作为分类的标准,而不按sinα的符号(即m的符号)来分类讨论呢?你能找到这里的原因并概括出所用的技巧吗?
2.三角函数式的化简
三角函数式的化简的结果应满足下述要求:
(1)函数种类尽可能地少.
(2)次数尽可能地低.
(3)项数尽可能地少.
(4)尽可能地不含分母.
(5)尽可能地将根号中的因式移到根号外面来.
化简的总思路是:尽可能地化为同类函数再化简.
例3 化简sin2α·tgα+cos2α·ctgα+2sinαcosα
=secα·cscα
解2 原式=(sin2α·tgα+sinα·cosα)+(cos2α·ctgα+sinαcosα)
=tgα·(sin2α+cos2α)+ctgα(sin2α+cos2α)
=tgα+ctgα
=secα·cscα
说明 (1)在解1中,将正切、余切化为正弦、余弦再化简,仍然是循着减少函数种类的思路进行的.
(2)解2中的逆用公式将sinα·cosα用tgα表示,较为灵活,解1与解2相比,思路更自然,因而更实用.
例4 化简:
分析 将被开方式配成完全平方式,脱去根号,进行化简.
3.三角恒等式的证明
证明三角恒等式的过程,实际上是化异为同的过程,即化去形式上的异,而呈现实质上的同,这个过程,往往是从化简开始的——这就是说,在证明三角恒等式时,我们可以从最复杂处开始.
例5 求证 cosα(2secα+tgα)(secα-2tgα)=2cosα-3tgα.
分析 从复杂的左边开始证得右边.
=2cosα-3tgα=右边
例6 证明恒等式
(1)1+3sin2αsec4α+tg6α=sec6α
(2)(sinA+ secA)3+(cosA+cscA)2=(1+secAcscA)2
分析 (1)的左、右两边均较复杂,所以可以从左、右两边同时化简
证明 (1)右边-左边=sec6α-tg6α-3sin2αsec4α-1
=(sec2α-tg2α)(sec4α+sec2α·tg2α+tg2α)-3sin2αsec4α-1
=(sec4α-2sec2αtg2α+tg2α)-1
=(sec2α-tg2α)2-1=0
∴等式成立.
=sin2A+cos2A=1故原式成立
在解题时,要全面地理解“繁”与“简”的关系.实际上,将不同的角化为同角,以减少角的数目,将不同的函数名称,化为同名函数,以减少函数的种类,都是化繁为简,以上两点在三角变换中有着广泛的应用.
分析1 从右端向左端变形,将“切”化为“弦”,以减少函数的种类.
分析2 由1+2sinxcosx立即想到(sinx+cosx)2,进而可以约分,达到化简的目的.
说明 (1)当题目中涉及多种名称的函数时,常常将切、割化为弦(如解法1),或将弦化为切(如解法2)以减少函数的种类.
(2)要熟悉公式的各种变形,以便迅速地找到解题的突破口,请看下列.
=secα+tgα
∴等式成立
说明 以上证明中采用了“1的代换”的技巧,即将1用sec2α-tg2α代换,可是解题者怎么会想到这种代换的呢?很可能,解题者在采用这种代换时,已经预见到代换后,分子可以因式分解,可以约分,而所有这一切都是建立在熟悉公式的各种变形的基础上的,当然,对不熟练的解题者而言,还有如下的“一般证法”——即证明“左边-右边=0”
∴左边=右边