湖北省黄冈市四校2018-2019学年高二下学期期中联考数学（理）试卷 10页

曾都一中 枣阳一中 襄州一中 宜城一中 ‎2018—2019学年下学期高二期中考试 理数试题 时间：120分钟 命题学校：‎ 枣阳一中 曾都一中 襄州一中 分值：150分 命题老师：‎ 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级等信息,在答题卡上贴好条形码 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．‎ ‎1．设命题： ， ，则命题的否定为（ ）‎ A．， B．， ‎ C．， D．， ‎ ‎2．双曲线的实轴长是（ ）‎ A. B. C. 4 D. 第3题图 ‎3．如图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使点M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（ ）‎ A．椭圆 B.双曲线 C．抛物线 D．圆 ‎ ‎4．设,则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（ ）A． B． C． D．‎ ‎6．已知命题：不等式的解集是，命题“在中，是的充要条件”则（ ）‎ A．真假 B．假 C．真 D．假真 ‎7.若是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎8．已知向量，则下列向量中与成的夹角的是（ ） ‎ A. B. C. D.‎ ‎9．已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点，且双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知空间三点坐标分别为A（4,1,3），B(2,3,1），C（3,7，-5），又点P（x,-1,3) 在平面ABC内，则x的值 （ ）‎ A. -4 B. 1 C. 10 D. 11‎ ‎11．以下四个关于圆锥曲线的命题,‎ ‎①双曲线与椭圆有相同的焦点；‎ ‎②在平面内，设为两个定点，为动点，且，其中常数为正实数，则动点的轨迹为椭圆；‎ ‎③方程的两根可以分别作为椭圆和双曲线的离心率；‎ ‎④过双曲线的右焦点作直线交双曲线于两点，若，则这样的直线有且仅有3条.‎ 其中真命题的个数为（ ）‎ A.4 B.3 C.2 D.1‎ ‎12.已知双曲线C：的左、右顶点分别为，P为曲线C上一动点且直线的斜率的取值范围为，则直线的斜率的取值范围为（ ）‎ A、 ‎ B、 C、 D、‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13..某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品事先拟订的价格进行试销，得到如下数据.‎ 单价（元）‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ 销量（件）‎ ‎90‎ ‎84‎ ‎83‎ ‎80‎ ‎75‎ ‎68‎ 由表中数据求得线性回归方程，则元时预测销量为_________件．‎ ‎14.如图所示,在空间四边形OABC中，,点 在线段上，且，为中点，若，‎ 则_____________‎ ‎15．已知是抛物线:上一点，则点到直线的最短距离是____‎ ‎16．如右图所示，设、分别为双曲线 ‎，的左、右焦点，为双曲线的左顶点，以线 段为直径的圆交双曲线一条渐近线于两点，且满 足，则该双曲线的离心率为___________‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 襄阳市拟在2021年奥体中心落成后申办2026年湖北省省运会，据了解，目前武汉，宜昌，黄石等申办城市因市民担心赛事费用超支而准备相继退出，某机构为调查襄阳市市民对申办省运会的态度，选取某小区的100位居民调查结果统计如下：‎ 支持 不支持 合计 年龄不大于50岁 ‎60‎ 年龄大于50岁 ‎10‎ 合计 ‎80‎ ‎100‎ ‎（1）根据已知数据，把表格数据填写完整；‎ ‎（2）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为不同年龄与支持申办省运会无关？‎ 附： , .‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 设命题:实数满足,其中,命题:实数满足．‎ ‎（1）若且为真,求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的必要不充分条件,求实数的取值范围．‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥的底面是边长为3的正方形，，，，为线段上两点，且.‎ ‎（1）求证：面；‎ ‎（2）求与平面所成角的正弦值.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知一条曲线在轴右边，上每一点到点的距离减去它到轴距离的差都是. ‎ ‎(1)求曲线的方程；‎ ‎(2)若直线与曲线相交于A、B两点，且(是坐标原点），求证：直线AB过定点，并求定点坐标。‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若为棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值；‎ ‎（3）若二面角大小为，求的长．‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知曲线上的点与定点的距离与它到直线的距离的比是常数，又斜率为的直线与曲线交于不同的两点。‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程； ‎ ‎（Ⅱ）若，求 的最大值；‎ ‎（Ⅲ）设，直线与曲线的另一个交点为，直线与曲线 的另一个交点为.若和点 共线，求的值。‎ ‎2018—2019学年下学期高二期中考试理科数学试题参考答案 一、选择题：1--5 ABABD 6--10 CDBAD 11--12 CC 二、填空题;13.62 14. 15. 16.‎ 支持 不支持 合计 年龄不大于50岁 ‎10‎ ‎50‎ ‎60‎ 年龄大于50岁 ‎10‎ ‎30‎ ‎40‎ 合计 ‎20‎ ‎80‎ ‎100‎ 三、解答题：‎ ‎17.解： 如右图 ……5分 ‎（2）‎ ‎，……8分 又 ……9分 所以不能在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关；……10分 ‎18.解:（1）当时，，， ……2分 又为真，所以真且真，由，得 ……5分 所以实数的取值范围为 ……6分 ‎（2） 因为是的必要不充分条件，所以是的充分不必要条件， ……8分 又，所以，解得 ……11分 经检验，实数的取值范围为 ……12分 ‎19.解：（1）连交于，连.‎ ‎. ……4分 ‎(2)∵，又，得到，且,‎ 则面， …… 6分 以为坐标原点. 为轴，为轴，为轴建立直角坐标系. ‎ 则， ……7分 设面法向量，则，取 ……9分 ‎，设与平面所成角为，‎ 则. ……11分 所以与平面所成角的正弦值是 ……12分 ‎20.解：（1）设是曲线上任意一点，则点满足：，‎ 化简得. ……4分 故曲线的方程为 ……5分 ‎（直接由抛物线定义得出其方程也可）‎ ‎（2）设直线，代入，得 则 ……7分 设，则 ……8分 ‎,‎ ‎， ……10分 ‎ ‎，无论取何值时，恒过 ……11分 故直线AB过定点，定点坐标为 ……12分 ‎21.（Ⅰ）证明：∵ADBC，，Q为AD的中点，‎ ‎∴四边形BCDQ为平行四边形， ∴CDBQ． ……（1分）‎ ‎∵∠ADC， ∴∠AQB，即QB⊥AD．‎ 又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ……（2分）‎ ‎∴BQ⊥平面PAD． ……（3分）‎ ‎∵BQ平面PQB， ∴平面PQB⊥平面PAD． ……（4分）‎ ‎（Ⅱ）解：∵PA=PD，Q为AD的中点， ∴PQ⊥AD．‎ ‎∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ‎ ‎∴PQ⊥平面ABCD． ……（5分）‎ 如右图，以Q为原点建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，‎ ‎，∵M是PC的中点，∴，…（6分）‎ ‎ ∴． 设异面直线AP与BM所成角为， 则= ……（7分）‎ ‎∴异面直线AP与BM所成角的余弦值为． ………（8分）‎ ‎（几何法做题按此标准酌情给分）‎ ‎（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知平面BQC的法向量为， ………（9分）‎ 由，且， 得，………（10分）‎ 又，设平面MBQ法向量为，由可取． ………（11分）‎ ‎∵二面角M−BQ−C为60°，∴，∴，∴． ……（12分）‎ ‎（此问若 用几何法做也酌情给分）‎ ‎22.解：（1）根据题意可得：， ……2分整理得： ……3分 故曲线C的方程为 ……4分 ‎（Ⅱ）设直线的方程为，由消去可得 则，即， ……5分 设，则 ……6分 则，……7分 易得当时，，故的最大值为． ……8分 ‎（Ⅲ）设，‎ 则 ①， ②，‎ 又，所以可设，直线的方程为，……9分 由消去可得，‎ 则， ……10分 即，又，代入①式可得，所以，‎ 所以，同理可得． ……11分 ‎，‎ 因为三点共线，所以，‎ 将点的坐标代入化简可得，即． ……12分