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- 2021-06-25 发布
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[基础题组练]
1．已知椭圆＋＝1的焦点在x轴上，焦距为4，则m等于( )
A．8 B．7
C．6 D．5
解析：选A.因为椭圆＋＝1的焦点在x轴上．
所以解得6b>0)的离心率为，短轴长为4，则椭圆的标准方程为________．
解析：由题意可知e＝＝，2b＝4，得b＝2，
所以解得
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
8．(2020·义乌模拟)已知圆(x－2)2＋y2＝1经过椭圆＋＝1(a>b>0)的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e＝________．
解析：圆(x－2)2＋y2＝1经过椭圆＋＝1(a>b>0)的一个顶点和一个焦点，故椭圆的一个焦点为F(1，0)，一个顶点为A(3，0)，所以c＝1，a＝3，因此椭圆的离心率为.
答案：
9．(2020·瑞安四校联考)椭圆＋＝1(a为定值，且a＞)的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B.若△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．
解析：设椭圆的右焦点为F′，如图，由椭圆定义知，|AF|＋|AF′|＝
|BF|＋|BF′|＝2a.
又△FAB的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|≤|AF|＋|BF|＋|AF′|＋|BF′|＝4a，
当且仅当AB过右焦点F′时等号成立．
此时周长最大，即4a＝12，则a＝3.故椭圆方程为＋＝1，
所以c＝2，所以e＝＝.
答案：
10．已知F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点在椭圆上，且点(－1，0)到直线PF2的距离为，其中点P(－1，－4)，则椭圆的标准方程为________．
解析：设F2的坐标为(c，0)(c>0)，则kPF2＝，故直线PF2的方程为y＝(x－c)，即x－y－＝0，点(－1，0)到直线PF2的距离d＝＝＝，即＝4，
解得c＝1或c＝－3(舍去)，所以a2－b2＝1.①
又点在椭圆E上， 所以＋＝1，②
由①②可得所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.
答案：＋y2＝1
11．已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5，3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点．求该椭圆的标准方程．
解：由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)，
由已知条件得
解得a＝4，c＝2，所以b2＝12.
故椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
12．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若＝2，·＝，求椭圆的方程．
解：(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有OA＝OF2，即b＝c.所以a＝c，e＝＝.
(2)由题知A(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c＝，设B(x，y)．由＝2，得(c，－b)＝2(x－c，y)，解得x＝，y＝－，即B.将B点坐标代入＋＝1，得＋＝1，即＋＝1，解得a2＝3c2①.又由·＝(－c，－b)·＝，得b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1②.由①②解得c2＝1，a2＝3，从而有b2＝2.所以椭圆的方程为＋＝1.
[综合题组练]
1．(2020·浙江百校联盟联考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点和上顶点分别为A、B，左焦点为F.以原点O为圆心的圆与直线BF相切，且该圆与y轴的正半轴交于点C，过点C的直线交椭圆于M、N两点．若四边形FAMN是平行四边形，则该椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.因为圆O与直线BF相切，所以圆O的半径为，即|OC|＝，因为四边形FAMN是平行四边形，所以点M的坐标为，代入椭圆方程得＋＝1，所以5e2＋2e－3＝0，又0b>0)经过点(，1)，且离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设M，N是椭圆上的点，直线OM与ON(O为坐标原点)的斜率之积为－.若动点P满足＝＋2，求点P的轨迹方程．
解：(1)因为e＝，所以＝，
又椭圆C经过点(，1)，所以＋＝1，
解得a2＝4，b2＝2，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由＝＋2得x＝x1＋2x2，y＝y1＋2y2，
因为点M，N在椭圆＋＝1上，
所以x＋2y＝4，x＋2y＝4，
故x2＋2y2＝(x＋4x1x2＋4x)＋2(y＋4y1y2＋4y)＝(x＋2y)＋4(x＋2y)＋4(x1x2＋2y1y2)＝20＋4(x1x2＋2y1y2)．
设kOM，kON分别为直线OM与ON的斜率，由题意知，
kOM·kON＝＝－，因此x1x2＋2y1y2＝0，
所以x2＋2y2＝20，
故点P的轨迹方程是＋＝1.
6．已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴端点为(0，2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且＝2.
(1)求椭圆的方程；
(2)求m的取值范围．
解：(1)由题意知椭圆的焦点在y轴上，可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意知a＝2，b＝c，又a2＝b2＋c2，则b＝，
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx＋m，
与椭圆方程联立，
得
则(2＋k2)x2＋2mkx＋m2－4＝0，
Δ＝(2mk)2－4(2＋k2)(m2－4)>0.
由根与系数的关系知，
又由＝2，即(－x1，m－y1)＝2(x2，y2－m)，
得－x1＝2x2，故
可得＝－2，
整理得(9m2－4)k2＝8－2m2，
又9m2－4＝0时不符合题意，所以k2＝>0，
解得0，解不等式
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