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- 2021-06-25 发布
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第十二章概率与统计
12.2古典概型与几何概型
专题1
古典概型的概率
■(2015甘肃省白银市会宁二中高考数学模拟,古典概型的概率,填空题,理13)从某学习小组10名同学中选出3人参加一项活动,其中甲、乙两人都被选中的概率是 .
解析:所有的选法共有C103=120种,其中甲、乙两人都被选中的选法有C81=8种,
故甲、乙两人都被选中的概率是8120=115,
故答案为115.
答案:115
■(2015甘肃省兰州市七里河区一中数学模拟,古典概型的概率,选择题,理8)电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59的每一时刻都由四个数字组成,则一天中任一时刻的四个数字之和为23的概率为( )
A.1180 B.1288 C.1360 D.1540
解析:一天显示的时间总共有24×60=1 440种,和为23有09:59,19:58,18:59,19:49总共有4种,
故所求概率为P=41 440=1360.故选C.
答案:C
专题2
古典概型与其他知识的交汇(平面向量、直线、圆、函数等)
■(2015甘肃省兰州市七里河区一中数学模拟,古典概型与其他知识的交汇(平面向量、直线、圆、函数等),解答题,理19)一种智能手机电子阅读器,特别设置了一个“健康阅读”按钮,在开始阅读或者阅读期间的任意时刻按下“健康阅读”按钮后,手机阅读界面的背景会变为蓝色或绿色以保护阅读者的视力.假设“健康阅读”按钮第一次按下后,出现蓝色背景与绿色背景的概率都是12.从按钮第二次按下起,若前次出现蓝色背景,则下一次出现蓝色背景、绿色背景的概率分别为13,23;若前次出现绿色背景,则下一次出现蓝色背景、绿色背景的概率分别为35,25.记第n(n∈N,n≥1)次按下“健康阅读”按钮后出现蓝色背景概率为Pn.
(1)求P2的值;
(2)当n∈N,n≥2时,试用Pn-1表示Pn;
(3)求Pn关于n的表达式.数列.
解:(1)若按钮第一次、第二次按下后均出现蓝色背景,则其概率为12×13=16;若按钮第一次、第二次按下后依次出现绿色背景、蓝色背景,
则其概率为12×35=310.
所以,所求的概率为P2=16+310=715.
(2)第n-1次按下按钮后出现蓝色背景的概率为Pn-1(n∈N,n≥2),
则出现绿色背景的概率为1-Pn-1.
若第n-1次、第n次按下按钮后均出现蓝色背景,则其概率为Pn-1×13;
若第n-1次、第n次按下按钮后依次出现绿色背景、蓝色背景,
则其概率为(1-Pn-1)×35;
所以,Pn=13Pn-1+35(1-Pn-1)=-415Pn-1+35(其中n∈N,n≥2).
(3)由(2)得,Pn-919=-415Pn-1-919,
即Pn-919Pn-1-919=-415(其中n∈N,n≥2);
所以,Pn-919是首项为138,公比为-415的等比数列,
所以,Pn-919=138·-415n-1,
即Pn=138-415n-1+919(n∈N,n≥1).
12.4离散型随机变量的均值与方差
专题2
离散型随机变量的均值与方差
■(2015甘肃省白银市会宁二中高考数学模拟,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理19)甲、乙、丙三人独立破译同一份密码,已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为13,14,p,且他们是否破译出密码互不影响,若三人中只有甲破译出密码的概率为16.
(1)求p的值;
(2)设在甲、乙、丙三人中破译出密码的总人数为X,求X的分布列和数学期望E(X).
解:记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件A,B,C.
由题意得,P(A)=13,P(B)=14,P(C)=p,且A,B,C相互独立,
(1)设“三人中只有甲破译出密码”为事件D,则有
P(D)=P(A·B·C)=13×34×(1-p)=1-p4,
所以1-p4=16,解得p=13.
(2)X的所有可能取值为0,1,2,3,
所以P(X=0)=13,
P(X=1)=P(A·B·C)+P(A·B·C)+P(A·B·C)=16+23×14×23+23×34×13=49,
P(X=2)=P(A·B·C)+P(A·B·C)+P(A·B·C)=13×14×23+13×34×13+23×14×13=736,
P(X=3)=P(A·B·C)=13×14×13=136.
X的分布列为:
X
0
1
2
3
P
13
49
736
136
所以EX=0×13+1×49+2×736+3×136=1112.
■(2015甘肃省河西三校普通高中高三第一次联考,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理20)为加快新能源汽车产业发展,推进节能减排,国家对消费者购买新能源汽车给予补贴,其中对纯电动乘用车补贴标准如下表:
新能源汽车补贴标准
车辆类型
续驶里程R(千米)
80≤R<150
150≤R<250
R≥250
纯电动乘用车
3.5万元/辆
5万元/辆
6万元/辆
某校研究性学习小组,从汽车市场上随机选取了M辆纯电动乘用车,根据其续驶里程R(单次充电后能行驶的最大里程)作出了频率与频数的统计表:
分组
频数
频率
80≤R<150
2
0.2
150≤R<250
5
x
R≥250
y
z
合计
M
1
(1)求x,y,z,M的值;
(2)若从这M辆纯电动乘用车中任选2辆,求选到的2辆车续驶里程都不低于150千米的概率;
(3)若以频率作为概率,设X为购买一辆纯电动乘用车获得的补贴,求X的分布列和数学期望EX.
解:(1)由表格知2M=0.2,∴M=10,
∴x=510=0.5,y=10-2-5=3,
∴z=310=0.3.
(2)设“从这10辆纯电动车中任选2辆,选到的2辆车的续驶里程都不低于150千米”为事件A,
则P(A)=C82C102=2845.
(3)X的可能取值为3.5,5,6,
P(X=3.5)=0.2,P(X=5)=0.5,P(X=6)=0.3,
∴X的分布列为:
X
3.5
5
6
P
0.2
0.5
0.3
∴EX=3.5×0.2+5×0.5+6×0.3=5.
■(2015甘肃省河西三校普通高中高三第一次联考,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理18)某市公租房的房源位于A,B,C三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房源,且申请其中任一个片区的房源是等可能的,求该市的任4位申请人中:
(1)恰有2人申请A片区房源的概率;
(2)申请的房源所在片区的个数ξ的分布列与期望.
解:(1)由题意知本题是一个等可能事件的概率,试验发生包含的事件是4个人中,每一个人有3种选择,共有34种结果,
满足条件的事件是恰有2人申请A片区房源,共有C4222,
∴根据等可能事件的概率公式得到P=C422234=827.
(2)由题意知ξ的可能取值是1,2,3,
P(ξ=1)=334=127,
P(ξ=2)=A32C43C11+C42C22C3234=1427,
P(ξ=3)=C42A3334=49.
∴ξ的分布列是:
ξ
1
2
3
P
127
1427
49
∴Eξ=1×127+2×1427+3×49=6527.
12.5二项分布与正态分布
专题4
正态分布下的概率
■(2015河南省洛阳市高考数学一模,正态分布下的概率,填空题,理13)设随机变量ξ~N(μ,σ2),且P(ξ<-1)=P(ξ>1),P(ξ>2)=0.3,则P(-2<ξ<0)= .
解析:因为P(ξ<-1)=P(ξ>1),
所以正态分布曲线关于y轴对称,
又因为P(ξ>2)=0.3,所以P(-2<ξ<0)=1-2×0.32=0.2,故答案为0.2.
答案:0.2
■(2015甘肃省河西三校普通高中高三第一次联考,正态分布下的概率,填空题,理15)已知随机变量ξ~N(μ,σ2),且P(ξ<1)=12,P(ξ>2)=0.4,则P(0<ξ<1)= .
解析:∵随机变量ξ~N(μ,σ2),且P(ξ<1)=12,
∴曲线关于x=1对称,
∵P(ξ>2)=0.4,∴P(0<ξ<1)=0.1.
故答案为0.1.
答案:0.1