广东省2013届高三数学理科试题精选分类汇编7：立体几何（1） 34页

广东省2013届高三最新理科试题精选（37套含13大市区的二模）分类汇编7：立体几何（1）‎ 一、选择题 ．（广东省东莞市2013届高三第二次模拟数学理试题）如图是一个几何体的三视图,若它的体积是3,则=‎ ‎ （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎ ．（广东省中山市2013届高三上学期期末统一考试数学（理）试题）如图,在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水,将容器底面一边固定于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下列四个说法:‎ ‎①水的部分始终呈棱柱状;②水面四边形的面积不改变;‎ ‎③棱始终与水面平行;[来源:学科网]④当时,是定值.‎ 其中所有正确的命题的序号是 （　　）‎ A．①②③ B．①③ C．②④ D．①③④‎ ‎【答案】D ‎ ．（广东省肇庆市2013届高三上学期期末统一检测数学（理）试题）已知某个几何体的三视图如图2所示,根据图中标出的尺寸(单位:cm),则这个几何体的体积是 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B解析:三视图的直观图是有一个侧面垂直于底面三棱锥,底面是底边长为6高为4的等腰三角形,三棱锥的高为3,所以,这个几何体的体积 ‎ ．（广东省湛江一中等“十校”2013届高三下学期联考数学（理）试题）某几何体的三视图如图所示,当取最大值时,这个几何体的体积为 （　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎ ．（广东省深圳市南山区2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）如图所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形,俯视图是一个直径为1的圆,那么这个几何体的全面积为 ‎ 主视图 左视图 俯视图 ‎ （　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎ ．（广东省汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题（详解））若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 ‎【答案】B ‎ ．（广东省潮州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知一个几何体的三视图及其大小如图1,这个几何体的体积 （　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎ ．（广东省广州市2013届高三4月综合测试（二）数学理试题（WORD版））一个圆锥的正(主)视图及其尺寸如图2所示.若一个平行于 圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为1﹕7的上、下两部分,则截面的面积为 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4‎ ‎6‎ 图2‎ ‎【答案】C ‎ ．（广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学理试题（WORD版））如图是某简单组合体的三视图,则该组合体的体积为 ‎ ‎ （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】【解析】由三视图可知几何体是由截面相同的半个圆锥与半个三棱锥组合而成的.圆椎底面半径为,椎体底面边长为,高为.故选. ‎ ．（广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测（佛山二模）数学理试题）下列命题中假命题是 （　　）‎ A．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行; ‎ B．垂直于同一条直线的两条直线相互垂直; ‎ C．若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ‎ D．若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行,那么这两个平面相互平行.‎ ‎【答案】B ‎ ．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图 如图(1)示,则该几何体的体积为 （　　）‎ A．7 B． C． D． 图(1)‎ ‎【答案】依题意可知该几何体的直观图如右上图,其体积为.,故选 D． ‎ ‎ ‎ ．（广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎ 二、填空题 ．（广东省中山市2013届高三上学期期末统一考试数学（理）试题）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于_______‎ ‎【答案】 ‎ ．（广东省汕头市东山中学2013届高三下学期入学摸底考试数学（理）试题）一个几何体的三视图如图所示,正视图是正方形,俯视图为半圆,侧视图为矩形,则其表面保积为________‎ ‎【答案】; ‎ ．（广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学（理）试题）已知某个三棱锥的三视图如图所示,其中正视图是等边三角形,侧视图是直角三角形,俯视图是等腰直角三角形则此三棱锥的体积等于_____________ .‎ ‎【答案】 ‎ ．（广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学理试题（WORD版））已知集合={直线},={平面},.‎ 若,给出下列四个命题:‎ ‎① ② ③‎ ‎④ 其中所有正确命题的序号是__________.‎ ‎【答案】【解析】由题意知:可以是直线,也可以是平面, ‎ 当表示平面时,①②③都不对,故选④正确. ‎ ．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD版））一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为___‎ ‎【答案】 ‎ 三、解答题 ．（广东省韶关市2013届高三第三次调研考试数学(理科)试题（word版） ）如图,在三棱拄中,侧面,已知 ‎ ‎(Ⅰ)求证:;‎ ‎(Ⅱ)试在棱(不包含端点上确定一点的位置,使得;‎ ‎(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,求二面角的平面角的正切值.‎ ‎【答案】证(Ⅰ)因为侧面,故 ‎ 在中, 由余弦定理有 ‎ ‎ ‎ ‎ 故有 ‎ 而 且平面 ‎ ‎ ‎ ‎(Ⅱ)由 ‎ 从而 且 故 ‎ 不妨设 ,则,则 ‎ 又 则 ‎ 在中有 从而(舍负) ‎ 故为的中点时, ‎ 法二:以为原点为轴,设,则 由得 即 ‎ ‎ ‎ 化简整理得 或 ‎ 当时与重合不满足题意 ‎ 当时为的中点 ‎ 故为的中点使 ‎ ‎(Ⅲ)取的中点,的中点,的中点,的中点 [来源:学科网]‎ 连则,连则,连则 ‎ 连则,且为矩形, ‎ 又 故为所求二面角的平面角 ‎ 在中, ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 法二:由已知, 所以二面角的平面角的大小为向量与的夹角 ‎ 因为 ‎ 故 ‎ ．（广东省汕头市东厦中学2013届高三第三次质量检测数学（理）试题 ）四棱锥P—ABCD中,侧面PDC是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD是∠ADC的菱形,M为PB的中点,Q为CD的中点.‎ ‎(1) 求证:PA⊥CD;(2) 求AQ与平面CDM所成的角.‎ 第18题图 C B A D Q P M ‎【答案】C B A D Q P M N 第17题图 第18题图 C B A D Q P M N x y ‎ z 解:(1)连结PQ,AQ. ‎ ‎∵△PCD为正三角形, ∴PQ⊥CD. ∵底面ABCD是∠ADC的菱形, ‎ ‎∴AQ⊥CD. ‎•‎ ∴CD⊥平面PAQ ∴PA⊥CD. ‎ ‎(2)设平面CDM交PA于N,∵CD//AB, ∴CD//平面PAB. ‎ ‎∴CD//MN.由于M为PB的中点,∴N为PA的中点. ‎ 又PD=CD=AD,∴DN⊥PA. 由(1)可知PA⊥CD, ‎ ‎∴PA⊥平面CDM ‎ ‎∴平面CDM⊥平面PAB. ‎ ‎∵PA⊥平面CDM,联接QN、QA,则ÐAQN为AQ与平面CDM所成的角 ‎ 在RtDPMA中,AM=PM=, ‎ ‎∴AP=,∴AN=,sinÐAQN==. ‎ ‎∴ÐAQN =45° ‎ ‎(2)另解(用空间向量解): ‎ 由(1)可知PQ⊥CD,AQ⊥CD. ‎ 又由侧面PDC⊥底面ABCD,得PQ⊥AQ. ‎ 因此可以如图建立空间直角坐标系 ‎ 易知P(0 , 0 ,)、A(, 0 , 0)、B(, 2 , 0)、 ‎ C(0 , 1 , 0)、D(0 , -1 , 0) ‎ ‎①由=(, 0 , -),=(0 , -2 , 0),得×=0. ‎ ‎∴PA⊥CD ‎ ‎②由M(, 1 , -),=(, 0 , -),得×=0. ‎ ‎∴PA⊥CM ‎ ‎∴PA⊥平面CDM,即平面CDM⊥平面PAB. ‎ 从而就是平面CDM的法向量 ‎ 设AQ与平面所成的角为q , ‎ 则sinq =|cos<,>|=. ‎ ‎∴AQ与平面所成的角为45° ‎ ．（广东省东莞市2013届高三第二次模拟数学理试题）如图,PA垂直⊙O所在平面ABC,AB为⊙O的直径,PA=AB,,C是弧AB的中点.‎ ‎(1)证明:BC^平面PAC;‎ ‎(2)证明:CF^BP;‎ ‎(3)求二面角F—OC—B的平面角的正弦值.‎ ‎【答案】证明:(1)∵PA^平面ABC,BCÌ平面ABC,∴BC^PA ‎ ‎∵ÐACB是直径所对的圆周角, ‎ ‎∴,即BC^AC ‎ 又∵,∴平面 ‎ ‎(2)∵PA^平面ABC,OCÌ平面ABC, ‎ ‎∴OC^PA ‎ ‎∵C是弧AB的中点,∴DABC是等腰三角形,AC=BC, ‎ 又O是AB的中点,∴OC^AB ‎ 又∵,∴平面,又平面, ‎ ‎∴ ‎ 设BP的中点为E,连结AE,则, ‎ ‎∴ ‎ ‎∵,∴平面. 又平面,∴ ‎ 解:(3)由(2)知平面,∴,, ‎ ‎∴是二面角的平面角 ‎ 又∵,,∴, ‎ ‎∴,即二面角的平面角的正弦值为 ‎ ．（广东省珠海一中等六校2013届高三第一次联考数学（理）试题）‎ 一个几何体的三视图如右图所示,其中正视图和侧视图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形.‎ ‎(Ⅰ)请画出该几何体的直观图,并求出它的体积;‎ ‎(Ⅱ)用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体ABCD—A1B‎1C1D1? 如何组拼?试证明你的结论;‎ ‎(Ⅲ)在(Ⅱ)的情形下,设正方体ABCD—A1B‎1C1D1的棱CC1的中点为E, 求平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值.‎ 正视图 侧视图 俯视图 ‎【答案】解:(Ⅰ)该几何体的直观图如图1所示,它是有一条 ‎ 侧棱垂直于底面的四棱锥. 其中底面ABCD是边长为6的 ‎ 正方形,高为CC1=6,故所求体积是 ‎ ‎ ‎ ‎(Ⅱ)依题意,正方体的体积是原四棱锥体积的3倍, ‎ 故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体, ‎ 其拼法如图2所示 ‎ 证明:∵面ABCD、面ABB‎1A1、面AA1D1D为全等的 ‎ A B C D D1‎ A1‎ B1‎ C1‎ 图2‎ ‎ ‎ 正方形,于是 ‎ ‎ 故所拼图形成立 [来源:学#科#网]‎ A B C D D1‎ A1‎ B1‎ C1‎ E H x y z G 图3‎ ‎(Ⅲ)方法一:设B1E,BC的延长线交于点G, ‎ 连结GA,在底面ABC内作BH⊥AG,垂足为H, ‎ 连结HB1,则B1H⊥AG,故∠B1HB为平面AB1E与 ‎ 平面ABC所成二面角或其补角的平面角 ‎ 在Rt△ABG中,,则 ‎ ‎,, ‎ ‎,故平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为 ‎ 方法二:以C为原点,CD、CB、CC1所在直线分别为x、y、z轴建立直角坐标系(如图3),∵正方体棱长为6,则E(0,0,3),B1(0,6,6),A(6,6,0). ‎ 设向量n=(x,y,z),满足n⊥,n⊥, ‎ 于是,解得 ‎ 取z=2,得n=(2,-1,2). 又(0,0,6), ‎ 故平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为 [来源:学。科。网]‎ ．（广东省中山市2013届高三上学期期末统一考试数学（理）试题）如图,三棱柱中,平面,、分别为、的中点,点在棱上,且.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面;‎ ‎(Ⅱ)在棱上是否存在一个点,使得平面将三棱柱分割成的两部分体积之比为115,若存在,指出点的位置;若不存在,说明理由.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ 所以符合要求的点G不存在. ‎ ．（广东省肇庆市2013届高三上学期期末统一检测数学（理）试题）如图5,在四棱锥中,底面为直角梯形,,垂直于底面,分别为的中点. ‎ ‎(1)求证:;(2)求平面与平面所成的二面角的余弦值;(3)求点到平面的距离. ‎ ‎【答案】解:(1)证明:因为是的中点,, 所以 ‎ 由底面,得, ‎ 又,即,又在平面内, ‎ ‎ 平面,所以 , ‎ 又在平面内, ‎ ‎ 平面, . ‎ ‎(2)方法一: ‎ 由(1)知,平面,所以 , ‎ 由已知可知, ‎ 所以是平面与平面所成的二面角的平面角 ‎ 在直角三角形中, ‎ 因为直角三角形斜边的中点,所以 ‎ 在直角三角形中, ‎ 即平面与平面所成的二面角的余弦值为. ‎ 方法二:如图建立空间直角坐标系,则, ‎ ‎, ‎ 设平面的法向量为,则 ‎ 即,令,则, ‎ 所以平面的一个法向量为 ‎ 显然是平面的一个法向量 ‎ 设平面与平面所成的二面角的平面角为,则 ‎ ‎ ‎ 即平面与平面所成的二面角的余弦值为. ‎ ‎ ‎ ‎(3)由已知得, ‎ ‎ ‎ 设点到平面的距离为, ‎ 则 ‎ 由,即,得 [来源:学科网]‎ 即点到平面的距离. ‎ ．（广东省湛江一中等“十校”2013届高三下学期联考数学（理）试题）如图5,在四棱锥中,‎ 平面,,,‎ ‎,是的中点. ‎ ‎(1)求证:⊥平面;‎ ‎(2)若直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等,求四棱锥的体积. ‎ ‎【答案】(1)如图(1),连接,由,得 ‎ 是的中点,所以 ‎ 所以 ‎ 而内的两条相交直线,所以⊥平面 ‎ ‎(2)过点作 ‎ 由(1)⊥平面知,⊥平面.于是为直线与平面 ‎ 所成的角,且 ‎ 由知,为直线与平面所成的角 ‎ 由题意,知 ‎ 因为所以 ‎ 由所以四边形是平行四边形,故于是 ‎ 在中,所以 ‎ ‎ ‎ 于是 ‎ 又梯形的面积为所以四棱锥的体积为 ‎ ‎ ‎ 解法2:如图(2),以为坐标原点,所在直线分别为建立空间直角坐标系.设则相关的各点坐标为: ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(1)易知因为 ‎ 所以 ‎ 而是平面内的两条相交直线,所以 ‎ ‎(2)由题设和(1)知,分别是、的法向量 ‎ 由(1)知, ‎ 而直线与所成的角和直线与所成的角相等,所以 ‎ ‎ ‎ 由故 ‎ ‎ ‎ 解得 ‎ 又梯形的面积为,所以四棱锥的体积为 ‎ ‎ ‎ ．（广东省汕头市东山中学2013届高三下学期入学摸底考试数学（理）试题）如图,在底面为直角梯形的四棱锥中,,,平面,,,‎ ‎(1)求直线与平面所成的角;‎ ‎(2)设点在棱上,,若平面,求的值.‎ ‎【答案】解1:(1)∵平面 面 ‎ ‎∴平面平面 ‎ 过作交于 过点作交于, ‎ ‎∵平面平面 ‎ ‎∴面 ‎ ‎∴为直线与平面所成的角 ‎ 在中,,, ‎ ‎∴, ∴ ‎ 即直线与平面所成角为 ‎ ‎(2)连结,∵,平面,平面 ‎ ‎∴平面 ‎ 又∵平面 且 ‎ ‎∴平面平面 ‎ ‎∴ ‎ 又∵,, ‎ ‎∴ ∴,即 ‎ 解2:如图,在平面内过作直线,交于,分别以、、‎ 所在的直线为、、轴建立空间直角坐标系. ‎ 设,则、、、、[来源:学科网] ‎ ‎(1)设面的法向量为 ‎ ‎∵、 ‎ ‎∴由 得 令可解得 ‎ ‎∴ ‎ ‎∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴直线与平面所成的角,则 ‎ ‎∵ ∴ 即直线与平面所成的角为 ‎ ‎(2)∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ 设面的法向量为 ‎ ‎∵、 ‎ ‎∴由 得 令可解得 ‎ ‎∴ ‎ 若平面,则 ‎ 而, 所以 ‎ ．（广东省汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题（详解））如图,的外接圆⊙O的半径为,其中为圆直径,⊙O所在的平面,,且.‎ ‎(1)求证:平面平面;‎ ‎(2)试问线段上是否存在点M,使得直线AM与平面ACD所成角的正弦值为 ‎?若存在,确定M的位置,若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)∵AB是直径,∴AC⊥BC, [来源:Z&xx&k.Com]‎ 又∵CD ⊥平面ABC,∴CD⊥BC,故BC⊥平面ACD ‎ 平面BCDE,∴平面ADC平面BCDE ‎ ‎(Ⅱ)方法一:假设点M存在,过点M作MN⊥CD于N, ‎ 连结AN,作MF⊥CB于F,连结AF[来源:学科网ZXXK] ‎ ‎∵平面ADC平面BCDE,∴MN⊥平面ACD, ‎ ‎∴∠MAN为MA与平面ACD所成的角 ‎ 设MN=x,计算易得,DN=,MF= ‎ 故 ‎ ‎ 12分 ‎ 解得:(舍去) , ‎ 故,从而满足条件的点存在,且 ‎ 方法二:建立如图所示空间直角坐标系C—xyz,则: ‎ A(4,0,0),B(0,2,0),D(0,0,4),E(0,2,1),C(0,0,0) ‎ 则 ‎ 易知平面ACD的法向量为C, ‎ 假设M点存在,设,则, ‎ 再设 ‎ ‎,即, ‎ 从而 ‎ 设直线AM与平面ACD所成的角为,则: ‎ ‎ ‎ 解得, ‎ 其中应舍去,而 ‎ 故满足条件的点M存在,且点M的坐标为 ‎ ．（广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学（理）试题）如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD//BC,∠ADC=90°,‎ 平面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=2,BC=AD=1,CD=.‎ ‎(1)若点M是棱PC的中点,求证:PA // 平面BMQ;‎ ‎(2)求证:平面PQB⊥平面PAD; ‎ ‎(3)若二面角M-BQ-C为30°,设PM=tMC,试确定t的值 .[来源:学科网ZXXK]‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎(Ⅱ)∵AD // BC,BC=AD,Q为AD的中点, ‎ ‎∴四边形BCDQ为平行四边形,∴CD // BQ ‎ ‎∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD. ‎ 又∵平面PAD⊥平面ABCD ‎ 且平面PAD∩平面ABCD=AD, ‎ ‎∴BQ⊥平面PAD ‎ ‎∵BQ平面PQB, ‎ ‎∴平面PQB⊥平面PAD ‎ 另证:AD // BC,BC=AD,Q为AD的中点∴ BC // DQ 且BC= DQ, ‎ ‎∴ 四边形BCDQ为平行四边形,∴CD // BQ . [来源:Zxxk.Com]‎ ‎∵ ∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD ‎ P A B C D Q M N x y z ‎∵ PA=PD, ∴PQ⊥AD ‎ ‎∵ PQ∩BQ=Q,∴AD⊥平面PBQ ‎ ‎∵ AD平面PAD, ‎ ‎∴平面PQB⊥平面PAD ‎ ‎(Ⅲ)∵PA=PD,Q为AD的中点, ∴PQ⊥AD. ‎ ‎∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD, ‎ ‎∴PQ⊥平面ABCD ‎ ‎(不证明PQ⊥平面ABCD直接建系扣1分) ‎ 如图,以Q为原点建立空间直角坐标系. ‎ 则平面BQC的法向量为; ‎ ‎,,, ‎ 设, ‎ 则,,∵, ‎ ‎∴ , ∴ ‎ ‎ ‎ ．（广东省潮州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）如图所示,已知为圆的直径,点为线段上一点,且,点为圆上一点,且.点在圆所在平面上的正投影为点,.‎ ‎(1)求证:;(2)求二面角的余弦值.‎ P A B D C O 第18题图 ‎[来源:Zxxk.Com]‎ ‎【答案】解析:P A B D C O ‎ ‎(Ⅰ)法1:连接,由知,点为的中点, ‎ 又∵为圆的直径,∴, ‎ 由知,, ‎ ‎∴为等边三角形,从而 ‎ ‎∵点在圆所在平面上的正投影为点, ‎ ‎∴平面,又平面, ‎ ‎∴, ‎ 由得,平面, ‎ 又平面,∴ ‎ ‎(注:证明平面时,也可以由平面平面得到,酌情给分.) ‎ 法2:∵为圆的直径,∴, ‎ 在中设,由,得,,,,[来源:学.科.网] ‎ ‎∴,则, ‎ ‎∴,即 ‎ ‎∵点在圆所在平面上的正投影为点, ‎ ‎∴平面,又平面, ‎ ‎∴, ‎ 由得,平面, ‎ 又平面,∴ ‎ 法3:∵为圆的直径,∴, ‎ 在中由得,, ‎ 设,由得,,, ‎ 由余弦定理得,, ‎ ‎∴,即. -zxxk ‎ ‎∵点在圆所在平面上的正投影为点, ‎ ‎∴平面,又平面, ‎ ‎∴, ‎ 由得,平面, ‎ 又平面,∴ ‎ P A B D C O E ‎(Ⅱ)法1:(综合法)过点作,垂足为,连接 ‎ 由(1)知平面,又平面, ‎ ‎∴,又, ‎ ‎∴平面,又平面, ‎ ‎∴, ‎ ‎∴为二面角的平面角 ‎ 由(Ⅰ)可知,, ‎ ‎(注:在第(Ⅰ)问中使用方法1时,此处需要设出线段的长度,酌情给分.) ‎ ‎∴,则, ‎ ‎∴在中,, ‎ ‎∴,即二面角的余弦值为 ‎ 法2:(坐标法)以为原点,、和的方向分别为轴、轴和轴的正向,建立如图所示的空间直角坐标系 ‎ ‎(注:如果第(Ⅰ)问就使用“坐标法”时,建系之前先要证明,酌情给分.) ‎ 设,由,得,,, ‎ ‎∴,,,, ‎ ‎∴,,, ‎ 由平面,知平面的一个法向量为 ‎ P A B D C O y z x 设平面的一个法向量为,则 ‎ ‎,即,令,则,, ‎ ‎∴, ‎ 设二面角的平面角的大小为, ‎ 则, ‎ ‎∴二面角的余弦值为 ‎ ．（广东省广州市2013届高三4月综合测试（二）数学理试题（WORD版））等边三角形的边长为3,点、分别是边、上的点,且满足(如图 ‎3).将△沿折起到△的位置,使二面角成直二面角,连结、 (如图4).‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)在线段上是否存在点,使直线与平面所成的角为?若存在,求出的长,若不存在,请说明理由.‎ B C E D 图4‎ 图3‎ A B C D E ‎[来源:Z#xx#k.Com]‎ ‎【答案】(本小题主要考查空间直线与平面垂直、直线与平面所成角等基础知识,考查空间想象能力和运算求解能力等,本小题满分14分) ‎ A B C D E 证明:(1)因为等边△的边长为3,且, ‎ 所以,. ‎ 在△中,, ‎ 由余弦定理得. ‎ 因为, ‎ 所以. ‎ 折叠后有 ‎ 因为二面角是直二面角,所以平面平面 ‎ 又平面平面,平面,, ‎ 所以平面 ‎ ‎(2)解法1:假设在线段上存在点,使直线与平面所成的角为. ‎ B C E D H P 如图,作于点,连结、 ‎ 由(1)有平面,而平面, ‎ 所以 ‎ 又, ‎ 所以平面 ‎ 所以是直线与平面所成的角 ‎ 设,则, ‎ 在△中,,所以 ‎ 在△中,, ‎ 由, ‎ 得 ‎ 解得,满足,符合题意 ‎ 所以在线段上存在点,使直线与平面所成的角为,此时 ‎ 解法2:由(1)的证明,可知,平面. ‎ B C E D H x y z P ‎ 以为坐标原点,以射线、、分别为轴、轴、轴的正半轴,建立空间直角坐标系如图 ‎ 设, ‎ 则,, ‎ 所以,, ‎ 所以 ‎ 因为平面, ‎ 所以平面的一个法向量为 ‎ 因为直线与平面所成的角为, ‎ 所以 ‎ ‎, ‎ 解得 ‎ 即,满足,符合题意 ‎ 所以在线段上存在点,使直线与平面所成的角为,此时 ‎ ．（广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学理试题（WORD版））(本小题满分分)如图, 中,侧棱与底面垂直, ,,点分别为和的中点. ‎ ‎(1)证明: ; (2)求二面角的正弦值.‎ ‎【答案】(本小题主要考查空间线面关系、空间向量等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) ‎ 解 : ‎ ‎(1)证法一: 连接 ‎ 由题意知,点分别为和的中点, ‎ ‎ ‎ 又平面,平面, ‎ 平面 ‎ 证法二:取中点,连,而 分别为与的中点, ‎ ‎, ‎ ‎,, , ‎ 同理可证 ‎ 又 平面//平面 [来源:学*科*网]‎ 平面,平面 ‎ 证法三(向量法): 以点为坐标原点,分别以直线 ‎ 为轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系,如图所示.于是 ‎ ‎,, ‎ ‎ ‎ 向量是平面的一个法向量 ‎ ‎, ‎ 又 ‎ 平面 ‎ ‎(2)解法一: 以点为坐标原点,分别以直线 ‎ 为轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系,如图所示. ‎ 于是,, ‎ 由(1)知是平面的一个法向量, [来源:学.科.网Z.X.X.K]‎ 设平面的法向量为,,, ‎ ‎, ‎ ‎ ‎ 设向量和向量的夹角为,则 ‎ ‎ ‎ 二面角的的正弦值为 ‎ 解法二(几何法):如图,将几何体补形成一个正方体,连交于点,连,显然,,都在同一平面上 ‎ 易证,, ‎ 平面,平面, ‎ ‎,又 ‎ 平面. ‎ 取中点,连, ‎ 分别是的中点 ‎ ‎, ‎ 平面, ‎ 且为垂足,即平面,过点作于, ‎ 过作交于,连, ‎ 则即是所求二面角的补角 ‎ 在中, , ‎ ‎,, ‎ 在中,, ‎ 又 ‎ 在中,, ‎ ‎ ‎ 所求二面角的正弦值为 ‎ ．（广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测（佛山二模）数学理试题）如图甲,设正方形的边长为,点分别在上,并且满足,如图乙,将直角梯形沿折到的位置,使点在平面上的射影恰好在上.‎ ‎(1)证明:平面;‎ ‎(2)求平面与平面所成二面角的余弦值.‎ 图甲 图乙 第18题图 ‎【答案】⑴证明:在图甲中,易知,从而在图乙中有, ‎ 因为平面,平面,所以平面(条件2分) ‎ ‎⑵解法1、 ‎ 如图,在图乙中作,垂足为,连接, ‎ 由于平面,则, ‎ 所以平面,则, ‎ 所以平面与平面所成二面角的平面角, ‎ 图甲中有,又,则三点共线, ‎ 设的中点为,则,易证,所以,,; (三角形全等1分) ‎ 又由,得, ‎ 于是,, ‎ 图甲 图乙 在中,,即所求二面角的余弦值为 ‎ 图丙 ‎ ‎ 解法2、 ‎ 如图,在图乙中作,垂足为,连接,由于平面,则, ‎ 所以平面,则,图甲中有,又,则三点共线, ‎ 设的中点为,则,易证,所以,则; ‎ 又由,得, ‎ 于是,, ‎ 在中, ‎ 作交于点,则,以点为原点,分别以所在直线为轴,建立如图丙所示的空间直角坐标系,则、、、,则(坐标系、坐标、向量各1分) ‎ 显然,是平面的一个法向量, ‎ 设是平面的一个法向量,则,即,不妨取,则, ‎ 设平面与平面所成二面角为,可以看出,为锐角,所以,,所以,平面与平面所成二面角的余弦值为 ‎ ．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）在图(4)所示的长方形ABCD中, AD=2AB=2,E、F分别为AD、BC的中点, M 、N两点分别在AF和CE上运动,且AM=EN=把长方形ABCD沿EF折成大小为的二面角A-EF-C,如图(5)所示,其中 ‎(1)当时,求三棱柱BCF-ADE的体积;‎ ‎(2)求证:不论怎么变化,直线MN总与平面BCF平行; ‎ ‎(3)当且时,求异面直线MN与AC所成角余弦值.‎ ‎【答案】解:(1)依题意得平面,= ‎ 由得,, ‎ ‎∴ ‎ ‎(2)证法一:过点M作交BF于, ‎ 过点N作交BF于,连结, ‎ ‎∵∴ ‎ 又∵ ∴ ‎ ‎∴四边形为平行四边形, ‎ ‎ ‎ ‎【法二:过点M作交EF于G,连结NG,则 ‎ ‎ ‎ ‎, ‎ 同理可证得,又, ∴平面MNG//平面BCF ‎ ‎∵MN平面MNG, 】 ‎ ‎(3)法一:取CF的中点为Q,连结MQ、NQ,则MQ//AC, ‎ ‎∴或其补角为异面直线MN与AC所成的角, ‎ ‎∵且∴, ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 即MN与AC所成角的余弦值为 ‎ ‎【法二:∵且 ‎ 分别以FE、FB、FC所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系 ‎ 则 ‎ ‎, ‎ 所以与AC所成角的余弦值为 】 ‎ ．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD版））如图,在边长为4的菱形ABCD中,‎ ‎,点E,F分别在边CD,CB上,点E与点C,点D不重合,, ,沿EF将折起到的位置,使得平面 平面 ‎ ‎(1)求证:平面 ‎(2)设AOBD=H,当O为CH中点时,若点Q满足,求直线OQ与平面PBD所成角的正弦值.‎ ‎【答案】 ‎