2018-2019学年重庆市第一中学高一下学期期中考试数学试题（解析版） 15页

‎2018-2019学年重庆市第一中学高一下学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．设集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据分式不等式的解法得到集合B，再由集合的交集运算得到结果.‎ ‎【详解】‎ 集合，集合，‎ 根据集合的交集运算得到.‎ 故答案为：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了集合的交集运算，属于基础题.‎ ‎2．在等差数列中，，则（ ）‎ A． B．9 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据等差数列的性质得到 ‎【详解】‎ 等差数列中，,根据等差数列的运算性质得到 故答案为：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列的性质的应用，属于基础题.‎ ‎3．如果,那么下列不等式成立的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：利用作差法比较实数大小即得解.‎ 详解：-（）=，因为，所以 所以.故答案为：D.‎ 点睛：（1）本题主要考查实数大小的比较，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)比较实数的大小，常用作差法和作商法，一般如果知道实数是正数，可以利用作商法，否则常用作差法.‎ ‎4．在等比数列中，已知，则该数列的公比（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据等比数列的性质得到进而解得，由等比数列的通项公式得到结果.‎ ‎【详解】‎ 等比数列中，已知 ‎ ‎ 故答案为：A.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了等比数列的性质以及通项公式的应用，属于基础题.‎ ‎5．下列命题正确的是（ ）‎ A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。‎ B．有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱。‎ C．绕直角三角形的一边旋转所形成的几何体叫圆锥。‎ D．用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据课本中的相关概念依次判断选项即可.‎ ‎【详解】‎ 对于A选项，几何体可以是棱台，满足有两个面平行，其余各面都是四边形，故选项不正确；对于B，根据课本中棱柱的概念得到是正确的；对于C，当绕直角三角形的斜边旋转时构成的几何体不是圆锥，故不正确；对于D，用平行于底面的平面截圆锥得到的剩余的几何体是棱台，故不正确.‎ 故答案为：B.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了几何体的基本概念，属于基础题.‎ ‎6．数列的通项公式为,其前项和为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据数列通项依次列举出数列的项，进而发现，每4项之和为0，从而求解.‎ ‎【详解】‎ 数列的通项公式为,, ‎ ‎ 可知每四项之和为0，故得到 故答案为：C.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了数列求和的应用，常见的数列求和的方法有：列项求和，倒序相加求和，错位相减求和，以及列举数列的项，找规律求和.‎ ‎7．已知数列满足：，，则 （ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】将原式子变形为结合等差数列的通项公式的求法得到结果.‎ ‎【详解】‎ 数列满足：，,‎ ‎ ‎ 是以为首相为公差的等差数列，‎ ‎ ‎ 故答案为：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了数列通项公式的求法，以及等差数列的通项的求法，求数列通项，常见的方法有：构造新数列，列举找规律法，根据等差等比公式求解等.‎ ‎8．已知单位向量满足，则与的夹角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】将原式平方，再由向量点积的计算公式得到结果.‎ ‎【详解】‎ 单位向量满足,两边平方得到.‎ 故答案为：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了向量点积的公式的应用，以及向量夹角的定义，属于基础题.‎ ‎9．中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”.其大意：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里程数是前一天的一半，连续走了7天，共走了700里，则这匹马第7天所走的路程等于（ ）‎ A．里 B．里 C．里 D．里 ‎【答案】A ‎【解析】根据题意得到马每天所走的路程是，是公比为的等比数列，这些项的和为700，由等比数列的求和公式求得首项，再由等比数列的通项公式得到结果.‎ ‎【详解】‎ 设马每天所走的路程是，是公比为的等比数列，这些项的和为700，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故答案为：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的通项公式，是基础的计算题，对于等比等差数列的 小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.‎ ‎10．已知等差数列的前项和有最大值，且，则满足的最大正整数的值为（ ）‎ A．6 B．7 C．10 D．12‎ ‎【答案】C ‎【解析】先设等差数列的公差为，根据前项和有最大值，得到，再由，得到，，且，根据等差数列的求和公式以及性质，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 设等差数列的公差为，‎ 因为等差数列的前项和有最大值，所以，‎ 又，所以，，且，‎ 所以，‎ ‎，‎ 所以满足的最大正整数的值为10‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查使等差数列前项和最大的整数，熟记等差数列求和公式以及等差数列的性质即可，属于常考题型.‎ ‎11．三角形中，,，为线段上任意一点，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据向量的线性表示得到，由向量点积公式得到原式等于：，根据二次函数的性质得到结果.‎ ‎【详解】‎ 设，，‎ ‎ ‎ 结合题目中的条件得到原式等于：,‎ 结合二次函数的性质得到范围是：.‎ 故答案为：B.‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题;(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法;(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.‎ ‎12．点C是线段AB上任意一点，是直线AB外一点，，不等式对满足条件的及恒成立，则实数的取值范围（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据结论得到代入不等式并且化简得到：，对其求导得到单调性和最值，进而得到结果.‎ ‎【详解】‎ 根据向量中的共线定理得到，根据等式两边均为正，得到，‎ 代入不等式并且化简得到：‎ 对这个函数求导得到： ‎ 原问题对于n是恒成立问题，对于是有解问题，故原不等式等价于 ‎，‎ 函数 代入得到 ‎ 故答案为：D.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了恒成立求参的问题，涉及多个变量的问题；一般恒成立或有解求参，首选变量分离，对于多个变量的问题一般是先看成其中一个变量的函数，再看成另一个变量的函数.‎ 二、填空题 ‎13．已知，，与共线，则_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】已知向量的坐标，根据向量共线得到表达式，进而求解.‎ ‎【详解】‎ ‎，，与共线,则.‎ 故答案为：2.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了向量共线的坐标表示，属于基础题.‎ ‎14．的内角的对边分别为，若，则角等于_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据三角形正弦定理得到结果.‎ ‎【详解】‎ 根据三角形中的正弦定理得到 ‎ ‎ ‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角形的正弦定理的应用，属于基础题.‎ ‎15．已知是与的等差中项，则的最小值为____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据等差数列的性质得到，原式可化为进而得到结果.‎ ‎【详解】‎ 是与的等差中项,故得到 ‎ 等号成立的条件是 ‎ 故答案为：8.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了二元化一元的思想，以及均值不等式的应用，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.‎ ‎16．已知数列前项和为，且有（），，则数列的前项和_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】原式可以转化为化简得到是等比数列公比为2，进而得到之后裂项求和即可.‎ ‎【详解】‎ 因为，故得到 ‎ 化简得到，根据等比数列的性质得到是等比数列，，故得到公比为2，，，‎ 故由裂项求和的方法得到前项和 ‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。‎ 三、解答题 ‎17．已知不等式的解集与关于的不等式的解集相同。‎ ‎（1）求实数值；‎ ‎（2）若实数，满足，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】(1)先得到绝对值不等式的解集，根据两者解集相同，由韦达定理得到结果；（2）原式子等价于根据均值不等式求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）,解得，又解集为：，故和是方程的两根，根据韦达定理得到：。‎ ‎（2），则，‎ 当，即时取等号，即时有最小值。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.‎ ‎18．已知数列是等比数列，数列是等差数列，且满足：，.‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）;（2）‎ ‎【解析】(1)根据等差数列和等比数列的通项公式得到，根据通项公式的求法得到结果；（2）分组求和即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设的公比为q,的公差为d,由题意 ,‎ 由已知,有即 ‎ 所以的通项公式为, 的通项公式为.‎ ‎（2），分组求和，分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公式得到：.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。‎ ‎19．如图，已知菱形的边长为2，，动点满足，.‎ ‎（1）当时，求的值；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】(1) 时，分别为的中点，可得，根据模长的计算公式得到结果；（2）根据平面向量基本定理得到按照向量点积公式展开得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，分别为的中点，‎ 此时易得且的夹角为，则 ‎;‎ ‎（2）‎ ‎，故.‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题;(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法;(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.‎ ‎20．设向量，，在中 分别为角A,B,C的对边，且.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，边长，求的周长和面积的值.‎ ‎【答案】（1） （2）周长为6，面积 ‎【解析】(1)根据正弦定理得到，再根据余弦定理得到结果；（2）根据向量点积的坐标运算得到，结合余弦定理得到，进而求得面积.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由已知可得：,即，‎ ‎ ，‎ ‎（2）由题意可知， ‎ 由余弦定理可知， ，则即，故周长为，面积 ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．‎ ‎21．已知数列满足：，，数列满足：（）。‎ ‎（1）证明：数列是等比数列；‎ ‎（2）求数列的前项和，并比较与的大小.‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）见解析 ‎【解析】(1)将原式变形为，进而得到结果；（2）根据第一问得到 ‎，错位相减得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由条件得，易知，两边同除以得，又，‎ 故数列是等比数列，其公比为。‎ ‎（2）由（1）知，则 ‎……①‎ ‎……②‎ 两式相减得 即。‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。‎ ‎22．已知函数为奇函数，且．‎ ‎（1）求实数a与b的值；‎ ‎（2）若函数，数列为正项数列，，且当，时，，设（），记数列和的前项和分别为，且对 有恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）根据函数奇偶性得到，再由，得;（2），将原式化简得到，进而得到，数列的前项和，，原恒成立问题转化为对恒成立，对n分奇偶得到最值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为为奇函数，，‎ 得，又，得。‎ ‎（2）由（1）知，得，又 ‎，‎ 化简得到：，又，所以，又，‎ 故，则数列的前项和；‎ 又，则数列的前项和为 ‎，‎ 对恒成立对恒成立 对恒成立，令，则 当为奇数时，原不等式对恒成立 对恒成立，又函数在上单增，故 有；‎ 当为偶数时，原不等式对恒成立 对恒成立，又函数在上单增，故 有。‎ 综上得。‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了函数的奇偶性的应用以及数列通项公式的求法，数列前n项和的求法，还涉及不等式恒成立的问题，属于综合性较强的题目，数列中最值的求解方法如下：1．邻项比较法，求数列的最大值，可通过解不等式组 求得的取值范围；求数列的最小值，可通过解不等式组 求得的取值范围；2．数形结合，数列是一特殊的函数，分析通项公式对应函数的特点，借助函数的图像即可求解；3．单调性法，数列作为特殊的函数，可通过函数的单调性研究数列的单调性，必须注意的是数列对应的是孤立的点，这与连续函数的单调性有所不同；也可以通过差值的正负确定数列的单调性．‎