【数学】2020年高考真题——全国Ⅱ卷（理）(精校版) 11页

‎2020年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上。本试卷满分150分。‎ ‎2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则( )‎ A．{−2，3} B．{−2，2，3} ‎ C．{−2，−1，0，3} D．{−2，−1，0，2，3}‎ ‎2．若α为第四象限角，则( )‎ A．cos 2α>0 B．cos 2α<0 C．sin 2α>0 D．sin 2α<0‎ ‎3．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者( )‎ A．10名 B．18名 C．24名 D．32名 ‎4．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石) ( )‎ A．3 699块 B．3 474块 C．3 402块 D．3 339块 ‎5．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎6．数列中，，，若，则( )‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎7．下图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为，在俯视图中对应的点为，则该端点在侧视图中对应的点为( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎8．设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点.若的面积为8，则的焦距的最小值为( )‎ A．4 B．8 C．16 D．32‎ ‎9．设函数，则f(x)( )‎ A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 ‎10．已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的 表面积为16π，则O到平面ABC的距离为( )‎ A． B． C．1 D．‎ ‎11．若2x－2y<3−x－3−y，则( )‎ A．ln(y-x+1)>0 B．ln(y-x+1)<0 C．ln∣x-y∣>0 D．ln∣x-y∣<0‎ ‎12．0-1周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期．对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是( )‎ A． B． C． D． ‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．已知单位向量a，b的夹角为45°，ka–b与a垂直，则k=__________．‎ ‎14．4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种．‎ ‎15．设复数，满足，，则=__________．‎ ‎16．设有下列四个命题：‎ p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．‎ p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．‎ p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．‎ p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l．‎ 则下述命题中所有真命题的序号是__________．‎ ‎① ② ③ ④‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎ 17．（12分）‎ 中，sin2A－sin2B－sin2C= sin Bsin C．‎ ‎（1）求A；‎ ‎（2）若BC=3，求周长的最大值．‎ ‎18．（12分）‎ 某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi) (i=1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得 ‎，，，，．‎ ‎（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；‎ ‎（2）求样本(xi，yi) (i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；‎ ‎（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．‎ 附：相关系数r= ，≈1.414．‎ ‎19．（12分）‎ 已知椭圆C1：(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|．‎ ‎（1）求C1的离心率；‎ ‎（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程．‎ ‎20．（12分）‎ 如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点.过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．‎ ‎（1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；‎ ‎（2）设O为△A1B1C1的中心.若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面 A1AMN所成角的正弦值．‎ ‎21． (12分)‎ 已知函数f(x)= sin2x sin2x．‎ ‎（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；‎ ‎（2）证明: ；‎ ‎（3）设n∈N*，证明：sin2x sin22x sin24x…sin22nx≤．‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分．如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 已知曲线C1，C2的参数方程分别为 C1：（θ为参数），C2：（t为参数）．‎ ‎（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程；‎ ‎（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程．‎ ‎23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数f(x)= |x-a2|+|x-2a+1|．‎ ‎（1）当a=2时，求不等式f(x)≥4的解集；‎ ‎（2）若f(x)≥4，求a的取值范围．‎ 参考答案 ‎1．A 2．D 3．B 4．C 5．B 6．C 7．A 8．B 9．D 10．C 11．A 12．C ‎13． 14．36 15． 16．①③④‎ ‎17．解：（1）由正弦定理和已知条件得. ①‎ 由余弦定理得. ②‎ 由①，②得.‎ 因为，所以.‎ ‎（2）由正弦定理及（1）得，‎ 从而，.‎ 故.‎ 又，所以当时，周长取得最大值.‎ ‎18．解：（1）由己知得样本平均数，‎ 从而该地区这种野生动物数量的估计值为60×200= 12 000．‎ ‎（2）样本的相关系数 ‎．‎ ‎（3）分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层抽样．‎ 理由如下：由（2）知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关．由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计．‎ ‎19．解：（1）由已知可设的方程为，其中.‎ 不妨设在第一象限，由题设得的纵坐标分别为，；‎ 的纵坐标分别为，，故，.‎ 由得，即，解得（舍去），.‎ 所以的离心率为.‎ ‎（2）由（1）知，，故.‎ 设，则，，故.①‎ 由于的准线为，所以，而，故，‎ 代入①得，即，解得（舍去），.‎ 所以的标准方程为，的标准方程为.‎ ‎20．解：（1）因为M，N分别为BC，B1C1的中点，所以MN∥CC1．‎ 又由已知得AA1∥CC1，故AA1∥MN．‎ 因为△A1B1C1是正三角形，所以B1C1⊥A1N．又B1C1⊥MN，故B1C1⊥平面A1AMN．‎ 所以平面A1AMN⊥平面EB1C1F．‎ ‎（2）由己知得AM⊥BC．以M为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系M-xyz，则AB=2，AM=．‎ 连结NP，则四边形AONP为平行四边形，故．‎ 由（1）知平面A1AMN⊥平面ABC，作NQ⊥AM，垂足为Q，则NQ⊥平面ABC．‎ 设，则，‎ 故．‎ 又是平面A1AMN的法向量，故．‎ 所以直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值为．‎ ‎21．解：（1）‎ ‎．‎ 当时，；当时，．‎ 所以在区间单调递增，在区间单调递减．‎ ‎（2）因为，由（1）知，在区间的最大值为，‎ 最小值为．而是周期为的周期函数，故．‎ ‎（3）由于 ‎，‎ 所以．‎ ‎22．解：（1）的普通方程为．‎ 由的参数方程得，，所以．‎ 故的普通方程为．‎ ‎（2）由得所以的直角坐标为．‎ 设所求圆的圆心的直角坐标为，由题意得，‎ 解得．‎ 因此，所求圆的极坐标方程为．‎ ‎23．解：（1）当时，‎ 因此，不等式的解集为．‎ ‎（2）因为，故当，即时，．‎ 所以当a≥3或a≤-1时，．‎ 当-1＜a＜3时，‎ 所以a的取值范围是．‎