四川省眉山市东坡区多悦高中2019-2020学年高二5月月考（期中）数学（理）试题 12页

数学月考试卷（五月）‎ 一、选择题：本大题共12小题.每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为(　　)‎ A．100 B．150 C．200 D．250‎ ‎【答案】A ‎【解析】方法一　由题意可得＝，解得n＝100.‎ 方法二　由题意，得抽样比为＝，总体容量为3 500＋1 500＝5 000，故n＝5 000×＝100.‎ ‎2.集合A＝{2，3}，B＝{1，2，3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】C【解析】从A，B中任意取一个数，共有C·C＝6种情形，两数和等于4的情形只有(2，2)，(3，1)两种，∴p＝＝.‎ ‎3.用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为(　　)‎ A.8 B.24 C.48 D.120‎ ‎【答案】C【解析】末位数字排法有A种，其他位置排法有A种，共有AA＝48种.‎ ‎4.从某中学甲、乙两班各随机抽取10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，所得数据用茎叶图表示如下，由此可估计甲、乙两班同学的身高情况，则下列结论正确的是(　　)‎ A．甲班同学身高的方差较大 B．甲班同学身高的平均值较大 C．甲班同学身高的中位数较大 D．甲班同学身高在175 cm以上的人数较多 ‎【答案】A ‎【解析】逐一考查所给的选项：‎ 观察茎叶图可知甲班同学数据波动大，则甲班同学身高的方差较大，A选项正确；‎ 甲班同学身高的平均值为＝169.2，‎ 乙班同学身高的平均值为：＝171，‎ 则乙班同学身高的平均值大，B选项错误；‎ 甲班同学身高的中位数为＝168，乙班同学身高的中位数为＝171.5，则乙班同学身高的中位数大，C选项错误；‎ 甲班同学身高在175 cm以上的人数为3人，乙班同学身高在175 cm以上的人数为4人，则乙班同学身高在175 cm以上的人数多，D选项错误．‎ ‎5.函数的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题得，，令解得，则当时f(x)为减函数，当时，f(x)为增函数，所以点处的函数值为最小值，代入函数解得，故选C。‎ ‎6.已知函数，，下列结论中正确的是（ ）‎ A．函数有极小值 B．函数有极大值 C．函数有一个零点 D．函数没有零点 ‎【答案】D ‎【解析】因为，所以，‎ 又，所以，‎ 即函数在上单调递增，且，‎ 故函数无极值，且函数无零点，故选D。‎ ‎7.已知函数的定义域为，导函数在上的图象如图所示，则在 内的极小值点的个数为（ ） ‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎8.已知函数在处的导数为，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】在处的导数为，‎ 所以，故选B.‎ ‎9.如图，是可导函数，直线是曲线在处的切线，令，是的导函数，则（ ）．‎ A．－1 B．0 C．2 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】将点代入直线的方程得，得，所以，，‎ 由于点在函数的图象上，则，‎ 对函数求导得，‎ ‎，故选B。‎ ‎10.从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是(　　)‎ A.9 B.10 C.18 D.20‎ ‎【答案】C ‎【解析】由于lg a－lg b＝lg (a＞0，b＞0)，‎ ‎∴lg 有多少个不同的值，只需看不同值的个数.‎ 从1，3，5，7，9中任取两个作为有A种，又与相同，与相同，∴lg a－lg b的不同值的个数有A－2＝18.‎ ‎11.已知样本(x1，x2，…，xn)的平均数为，样本(y1，y2，…，ym)的平均数为(≠)，若样本(x1，x2，…，xn，y1，y2，…，ym)的平均数＝a＋(1－a)，其中0m ‎ C．n＝m D．不能确定 ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得＝， ＝，‎ ＝＝·＋· ‎＝·＋·＝a＋(1－a)，‎ 所以＝a，＝1－a，又00，f(x)单调递增；‎ 当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，‎ 故当x＝2时，f(x)取得最大值80，则V≤×＝4.‎ ‎∴体积最大值为4 cm3.‎ ‎【答案】4 三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤.（70分）‎ ‎17.解答下列问题：‎ ‎1.（3分）从2位女生、4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有多少种？‎ ‎2.（3分）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的四位数.‎ ‎3.（4分）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有多少种 ‎【答案】‎ ‎1.【解析】法一　可分两种情况：第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法有CC＝12种；第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有CC＝4种.根据分类加法计数原理知，至少有1位女生入选的不同的选法有12＋4＝16种.‎ 法二　从6人中任选3人，不同的选法有C＝20种，从6人中任选3人都是男生，不同的选法有C＝4种，所以至少有1位女生入选的不同的选法有20－4＝16种.‎ ‎2.【解析】若取的4个数字不包括0，则可以组成的四位数的个数为CCA；若取的4个数字包括0，则可以组成的四位数的个数为CCCA.综上，一共可以组成的没有重复数字的四位数的个数为CCA＋CCCA＝720＋540＝1 260.‎ ‎3.【解析】因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作．先把4项工作分成3组，即2,1,1，有＝6种，再分配给3个人，有A＝6种，所以不同的安排方式共有6×6＝36(种). ‎ ‎18.（12分）某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2018年11月11日的网购金额，所得数据如下表：‎ 网购金额(单位：千元)‎ 人数 频率 ‎(0,1]‎ ‎16‎ ‎0.08‎ ‎(1,2]‎ ‎24‎ ‎0.12‎ ‎(2,3]‎ x p ‎(3,4]‎ y q ‎(4,5]‎ ‎16‎ ‎0.08‎ ‎(5,6]‎ ‎14‎ ‎0.07‎ 总计 ‎200‎ ‎1.00‎ 已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为3∶2.‎ ‎(1)试确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图(如图)；‎ ‎(2)该营销部门为了了解该市网友的购物体验，从这200名网友中，用分层抽样的方法从网购金额在(1,2]和(4,5]的两个群体中确定5人进行问卷调查，若需从这5人中随机选取2人继续访谈，则此2人来自不同群体的概率是多少？‎ ‎【解析】(1)根据题意有解得∴p＝0.40，q＝0.25.‎ 补全频率分布直方图如图所示.‎ ‎(2)根据题意，抽取网购金额在(1,2]内的人数为×5＝3(人).‎ 抽取网购金额在(4,5]内的人数为×5＝2(人). 故此2人来自不同群体的概率P＝＝.‎ ‎19.（12分）已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当曲线在时的切线与直线平行，求曲线在处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求函数的极值，并求当有极大值且极大值为正数时，实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ），‎ 由，得.‎ 当时，，‎ ‎，‎ 曲线在处的切线方程为，即.‎ ‎（Ⅱ）.‎ ‎（1）当时，，所以，在递减，无极值.‎ ‎（2）当时，由得.‎ 随的变化、的变化情况如下：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 极大值 故有极大值，无极小值；‎ ‎，由，∵，∴.‎ 所以，当的极大值为正数时，实数的取值范围为。‎ ‎20.（12分）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位： m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：‎ 未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用 水量 ‎[0，0.1)‎ ‎[0.1，0.2)‎ ‎[0.2，0.3)‎ ‎[0.3，0.4)‎ ‎[0.4，0.5)‎ ‎[0.5，0.6)‎ ‎[0.6，0.7)‎ 频数 ‎1‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎9‎ ‎26‎ ‎5‎ 使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用 水量 ‎[0，0.1)‎ ‎[0.1，0.2)‎ ‎[0.2，0.3)‎ ‎[0.3，0.4)‎ ‎[0.4，0.5)‎ ‎[0.5，0.6)‎ ‎(1)在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；‎ ‎ ‎ ‎(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；‎ ‎(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．)‎ ‎【解】　(1)‎ ‎(2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35 m3的频率为0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48.‎ 因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35 m3的概率的估计值为0.48.‎ ‎(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为 1＝(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48.‎ 该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为 2＝(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35.‎ 估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48－0.35)×365＝47.45(m3)．‎ ‎21.（12分）已知函数，当时，函数有极大值8. ‎ ‎（Ⅰ）求函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（I）（II）‎ ‎【解析】‎ ‎（I） ‎ ‎∵当时，函数有极大值8‎ ‎∴，解得 ‎ ‎∴所以函数的解析式为. ‎ ‎（II）∵不等式在区间上恒成立 ‎∴在区间上恒成立 ‎ 令，‎ 则由 ‎ 解得，解得 所以当时，单调递增，当时，单调递减 ‎ 所以对，都有，‎ 所以，即实数的取值范围是。‎ ‎22.（12分）已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x，其中参数a≤0.‎ ‎(1)讨论f(x)的单调性；‎ ‎(2)若f(x)≥0，求a的取值范围.‎ ‎【解析】(1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，且a≤0.‎ f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a).‎ ‎①若a＝0，则f(x)＝e2x，在(－∞，＋∞)上单调递增.‎ ‎②若a<0，则由f′(x)＝0，得x＝ln .‎ 当x∈时，f′(x)<0；‎ 当x∈时，f′(x)>0.‎ 故f(x)在上单调递减，‎ 在区间上单调递增.‎ ‎(2)①当a＝0时，f(x)＝e2x≥0恒成立.‎ ‎②若a<0，则由(1)得，当x＝ln时，f(x)取得最小值，最小值为f＝a2，‎ 故当且仅当a2≥0，‎ 即0>a≥－2e时，f(x)≥0.‎ 综上，a的取值范围是[－2e，0].‎