2019届二轮复习（文）第九章平面解析几何第8节课件（34张）（全国通用） 34页

第 8 节　圆锥曲线的综合问题 最新考纲　 1. 掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法； 2. 了解圆锥曲线的简单应用； 3. 理解数形结合的思想 . 1 . 直线与圆锥曲线的位置关系 知 识 梳 理 (1) 当 a ≠0 时，设一元二次方程 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 的判别式为 Δ ，则： Δ ＞ 0 ⇔ 直线与圆锥曲线 C ； Δ ＝ 0 ⇔ 直线与圆锥曲线 C ； Δ ＜ 0 ⇔ 直线与圆锥曲线 C . (2) 当 a ＝ 0 ， b ≠0 时，即得到一个一次方程，则直线 l 与圆锥曲线 C 相交，且只有一个交点，此时，若 C 为双曲线，则直线 l 与双曲线的渐近线的位置关系 是 ； 若 C 为抛物线，则直线 l 与抛物线的对称轴的位置关系 是 . 相交 相切 相离 平行 平行或重合 2 . 圆锥曲线的弦长 [ 常用结论及微点提醒 ] 1 . 直线与椭圆位置关系的有关结论 ( 1) 过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切； ( 2) 过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切； ( 3) 过椭圆内一点的直线均与椭圆相交 . 2 . 直线与抛物线位置关系的有关结论 (1) 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点，两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线； (2) 过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线； (3) 过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条与对称轴平行或重合的直线 . 1 . 思考辨析 ( 在括号内打 “√” 或 “×”) 诊 断 自 测 解析　 (2) 因为直线 l 与双曲线 C 的渐近线平行时，也只有一个公共点，是相交，但并不相切 . (3) 因为直线 l 与抛物线 C 的对称轴平行或重合时，也只有一个公共点，是相交，但不相切 . 答案　 (1)√ 　 (2)× 　 (3)× 　 (4)√ 解析 　直线 y ＝ kx － k ＋ 1 ＝ k ( x － 1) ＋ 1 恒过定点 (1 ， 1) ，又点 (1 ， 1) 在椭圆内部，故直线与椭圆相交 . 答案 　 A 答案　 A 4 . 过抛物线 y ＝ 2 x 2 的焦点的直线与抛物线交于 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) 两点，则 x 1 x 2 等于 ________ . 5 . 已知 F 1 ， F 2 是椭圆 16 x 2 ＋ 25 y 2 ＝ 1 600 的两个焦点， P 是椭圆上一点，且 PF 1 ⊥ PF 2 ，则 △ F 1 PF 2 的面积为 ________ . 解析 　由题意可得 | PF 1 | ＋ | PF 2 | ＝ 2 a ＝ 20 ， | PF 1 | 2 ＋ | PF 2 | 2 ＝ | F 1 F 2 | 2 ＝ 4 c 2 ＝ 144 ＝ (| PF 1 | ＋ | PF 2 |) 2 － 2| PF 1 |·| PF 2 | ＝ 20 2 － 2| PF 1 |·| PF 2 | ， 解得 | PF 1 |·| PF 2 | ＝ 128 ， 答案 　 64 考点一　直线与圆锥曲线的位置关系 解 　 (1) 椭圆 C 1 的左焦点为 F 1 ( － 1 ， 0) ， ∴ c ＝ 1 ， 又点 P (0 ， 1) 在曲线 C 1 上， (2) 由题意可知，直线 l 的斜率显然存在且不等于 0 ，设直线 l 的方程为 y ＝ kx ＋ m ， 因为直线 l 与椭圆 C 1 相切， 所以 Δ 1 ＝ 16 k 2 m 2 － 4(1 ＋ 2 k 2 )(2 m 2 － 2) ＝ 0. 整理得 2 k 2 － m 2 ＋ 1 ＝ 0. ① 因为直线 l 与抛物线 C 2 相切， 所以 Δ 2 ＝ (2 km － 4) 2 － 4 k 2 m 2 ＝ 0 ，整理得 km ＝ 1. ② 规律方法 　研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，消元后，应注意讨论含 x 2 项的系数是否为零的情况，以及判别式的应用 . 但对于选择题、填空题要充分利用几何条件，用数形结合的方法求解 . 答案　 B 考点二　与弦有关的问题 解 　 (1) 设 F 1 的坐标为 ( － c ， 0) ， F 2 的坐标为 ( c ， 0)( c >0) ， 设直线 l 与椭圆 D 的交点坐标为 ( x 1 ， y 1 ) ， ( x 2 ， y 2 ) ， 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ，则 y 1 ＋ y 2 ＝ 14 ， ∴ | AB | ＝ y 1 ＋ y 2 ＋ p ＝ 14 ＋ 2 ＝ 16. (2) 因为直线 AB 过点 F (3 ， 0) 和点 (1 ，－ 1) ， 答案　 (1)16 　 (2)D 考点三　圆锥曲线的综合问题 ∴ 抛物线 E 的方程为 x 2 ＝ 4 y . ( 2) 证明 　设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ，直线 l 的方程为 y ＝ kx ＋ b ，代入抛物线方程 ， 得 x 2 － 4 kx － 4 b ＝ 0 ，则 x 1 ＋ x 2 ＝ 4 k ， x 1 x 2 ＝－ 4 b ，则 点 D (2 k ， 2 k 2 ＋ b ) . 设与直线 l 平行且与抛物线 E 相切的直线方程为 y ＝ kx ＋ m ， 代入 抛物线方程，得 x 2 － 4 kx － 4 m ＝ 0 ，由 Δ ＝ 16 k 2 ＋ 16 m ＝ 0 ， 得 m ＝－ k 2 ，点 C 的横坐标为 2 k ，则 C (2 k ， k 2 ) ， ∴ 直线 CD 与 x 轴垂直，则点 A ， B 到直线 CD 的距离之和为 | x 1 － x 2 | ， 则 16 k 2 ＋ 16 b ＝ 32 ，即 b ＝ 2 － k 2 ， ∴ | CD | ＝ |2 k 2 ＋ b － k 2 | ＝ 2 ， 规律方法 　 圆锥曲线的综合问题主要包括：定点、定值问题，最值、范围问题 . (1) 求解最值与范围问题的关键在于准确利用已知条件构造不等关系式或目标函数，通过解不等式或求解目标函数的值域解决相应问题 . (2) 关于定点的考题多以坐标轴上的点为研究对象，注意特殊位置的选取 . (3) 定值问题一般从特殊入手，再证明，还可以直接推理、计算，从而得到定值 . 当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 y ＝ kx ＋ 2 ， A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ，