数学卷·2018届湖南省长郡中学高二上学期期中考试文数试题+（解析版） 17页

全*品*高*考*网， 用后离不了！湖南省长郡中学2016-2017学年高二上学期期中考试 数学（文）试题 ‎ 一、选择题（本大题共15个小题，每小题4分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.命题“，”的否定是（ ）‎ A．， B．， C．， D．，‎ ‎【答案】C 考点：命题的否定．‎ ‎2.设，，则“”是“”的（ ）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：因为“”“”，但“”不能推出“”，所以“”是“” 充分非必要条件，故选A.‎ 考点：充分条件与必要条件．‎ ‎3.甲、乙两名选手参加歌手大赛时，5名评委打的分数用茎叶图表示（如图）.，分别表示甲、‎ 乙选手分数的标准差，则与的关系是（ ）‎ A． B． C． D．不能确定 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由茎叶图可知，甲的数据更加集中，乙的数据较分散，所以甲的标准差要小于乙的标准差，即，故选C. ‎ 考点：茎叶图与标准差．‎ ‎4.命题“在中，若，则”的逆否命题是（ ）‎ A．在中，若，则 B．在中，若，则 C. 在中，若，则 D．在中，若，则 ‎【答案】D 考点：四种命题．‎ ‎ ‎ ‎5.已知函数的极大值为6，那么的值是（ ）‎ A．0 B．1 C. 5 D．6‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由可得或，所以在上单调递增，在上单调递减，所以时，取得极大值，所以 ‎，故选D.‎ 考点：利用导数研究函数的极值．‎ ‎6.已知某产品的广告费用（万元）与销售额（万元）所得的数据如表，经分析，与有较 强的线性相关性，且，则等于（ ）‎ A．2.5 B．2.6 C.2.7 D．2.8‎ ‎【答案】B 考点：回归直线方程．‎ ‎7.如果表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：方程化成标准方程为，若其表示焦点在轴上的椭圆，则,故选A.‎ 考点：椭圆的标准方程．‎ ‎8.为了了解某校高三400名学生的数学学业水平测试成绩，制成样本频率分布直方图如图，规定 不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格率与优秀人数分别是（ ）‎ A．60%，60 B．60%，80 C. 80%，80 D. 80%，60‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：及格率为，优秀人数为，故选C.‎ 考点：频率分布直方图．‎ ‎9.已知双曲线的渐近线与圆相切，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：双曲线的渐近线方程为，圆的圆心为，半径，所以，解得，故选C.‎ 考点：双曲线的简单几何性质与直线与圆的位置关系．‎ ‎10.长方形中，，，为的中点，在长方形内随机取一点，取 到的点到的距离大于1的概率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】B 考点：几何概型．‎ ‎11.已知直线与曲线有交点，则的最大值是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意可得方程有解，即，设，则可得，所以在单调递增，上单调递减，所以，所以的最大值为，故选C.‎ 考点：函数与方程. ‎ ‎12.已知，是双曲线：的两个焦点，，离心率为，‎ 是双曲线上的一点，若，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】A 考点：双曲线标准方程的应用.‎ ‎13.函数在内单调递增，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：函数在内单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，所以，所以的取值范围为.‎ 考点：利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【方法点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题.本题给出了函数在某个区间上的单调性，区别于利用导数求函数的单调区间，通过导数转化为函数的恒成立问题，考查了转化的思想方法.通过分离参数，转化为求不含参数的函数在某个区间上的最值问题，解答时要注意函数在某个区间上递增，应该是，而不是 ‎14.已知椭圆：的两个焦点为，，若椭圆上存在点使得 为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】B 考点：椭圆的简单几何性质．‎ ‎【方法点睛】本题主要考查了椭圆的简单几何性质，考查了数形结合的思想，属于中档题.解答本题的关键是利用运动与变化的观点，发现当在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点移动时，对两个焦点的张角逐渐增大，当且仅当点位于短轴端点时，张角达到最大.根据椭圆的轴对称性，转化成直角三角形边长的关系，列出基本量的的关系，求出离心率.‎ ‎15.设过曲线（为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在过曲线 上一点处的切线，使得，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由可得，因为，‎ ‎，由于，所以，要使过曲线上任意一点处的切线为，总存在过曲线上一点处的切线，使得，则有，解得，故选D.‎ 考点：利用导数研究曲线上某点的切线．‎ ‎【方法点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查了转化的思想方法，属于中档题.解得本题的关键是根据条件曲线上任意一点处的切线为，总存在过曲线上一点处的切线，使得，求出导函数的值域，把问题转化为集合间的关系求解.‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题（本大题共5小题，每题4分，满分20分．）‎ ‎16.某次体检，6名同学的身高（单位：米）分别为1.71，1.78，1.75,1.80,1.69,1.77，则这组 数据的中位数是 （米）．‎ ‎【答案】‎ 考点：样本中位数．‎ ‎17.若直线与抛物线交于，两点，则线段的中点坐标是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设，由方程组可得，，所以线段的中点横坐标为，代入直线方程可得纵坐标为，所以线段 的中点坐标是.‎ 考点：直线与抛物线的位置关系．‎ ‎18.有下列四个命题：‎ ‎①若，则，之中至少有一个为空集；‎ ‎②在回归直线中，增加1个单位时，平均增加3个单位；‎ ‎③若且为假命题，则，均为假命题；‎ ‎④在中，若，则.‎ 其中是真命题的有： ．（请将真命题的序号填在答题卷的横线上）‎ ‎【答案】④‎ 考点：命题的真假性判断．‎ ‎19.已知为偶函数，当时，，则曲线在（1,-3）处的切 线方程是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由于为偶函数，所以，当时，，所以当时，，又因为所以曲线在处的切线方程是.‎ 考点：导数的几何意义、函数奇偶性的定义及应用.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查了导数的几何意义、函数奇偶性的定义及应用，考查了考生的运算能力，属于中档题.解答本题时，首先根据函数的奇偶性和时的解析式，求出 时函数的解析式，得到切点坐标，再根据导数的几何意义求出切点处的导数也就是切线的斜率，最后根据直线方程的点斜式，求出切线方程.‎ ‎20.已知抛物线过点，，是抛物线上的点，直线，，的 斜率依次成等比数列，则直线恒过点 ．‎ ‎【答案】‎ 考点：抛物线方程.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查了抛物线方程，直线过定点问题，考查考生分析问题和解决问题的能力，属于中档题.解答本题首先用待定系数法求出抛物线方程，根据方程形式设出两点坐标，根据斜率公式和直线，，的斜率依次成等比数列，得到两点坐标的关系，写出直线的点斜式方程，求其与轴的交点即得直线经过的定点.‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 某高校调查了20名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习 时间的范围是，样本数据分组为，，，，.‎ ‎（1）求直方图中的值；‎ ‎（2）从每周自习时间在的受调查学生中，随机抽取2人，求恰有1人的每周自习时间在 的概率.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ 试题解析：（1）由频率分布直方图可得自习时间在内的频率为，所以；（2）由题意可得自习时间在，内的人数分别为人，分别设为和，从中任取两人共有，，共种不同的结果，其中恰有人的每周自习时间在内的共包含，个基本事件，所以其概率为.‎ 考点：频率分布直方图与古典概型．‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知在时有极大值6，在时有极小值.‎ ‎（1）求，，的值；‎ ‎（2）求在区间上的最大值和最小值.‎ ‎【答案】（1），，；（2）‎ ‎（2），‎ 当变化时，，的变化情况如下表：‎ 由上表知，在区间上，当时，；当时，.‎ 考点：利用导数研究函数在闭区间上的极值、最值.‎ ‎23.（本小题满分12分）‎ 已知命题：在区间上是减函数，命题：不等式 的解集是，若命题“”为真，命题“”为假，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：分别求出为真时，实数的范围，取其补集即得为假时，实数的范围.因为“”为真，“”为假，所以一真一假，共有两种情况，真假或假真，两种情况取并集解得答案.‎ 试题解析：若命题为真，即在区间上是减函数，只需对称轴，即.‎ 若命题为真，即不等式的解集是，‎ 只需，即.‎ 因为“”为真，命题“”为假，‎ 所以，一真一假，所以.‎ 考点：简易逻辑．‎ ‎24.（本小题满分12分）‎ 设函数（且）.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）已知对任意成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为和；（2）.‎ 试题解析：（1）.‎ 若，则.‎ 当，即时，为增函数；‎ 当，即或时，为减函数.‎ 所以的单调递增区间为，‎ 单调递减区间为和.‎ 考点：利用导数研究函数的单调性.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，不等式的恒成立问题，考查了转化的思想方法属于中档题.求函数的单调区间就是解不等式，，但应该在函数的定义域范围内，这是最常见的错误；研究函数的恒成立，通过两边取对数把参数从指数上拿下了，结合前问的结论进行变形即可得到所求范围.‎ ‎25.（本小题满分12分）‎ 已知椭圆：的离心率，右顶点为.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）直线与曲线交于不同的两点，，若在轴上存在一点，使得，求 点的横坐标的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据离心率的定义和椭圆中的关系即可求得的值；（2）若在轴上存在一点，使得即在的垂直平分线上，整理直线与曲线的方程，求出弦的中点坐标，根据，斜率之积为即可求得的横坐标与参数的关系，利用均值不等式即可求得的横坐标的取值范围.‎ ‎（2）将直线的方程与椭圆的方程联立：，‎ 化简整理可得：，‎ 设，.‎ 则，.‎ 设线段中点的坐标为.‎ 则，.‎ 设轴上点坐标为，使得，‎ 依题意可得：.‎ ‎①当时，直线平行于轴，易知：此时点与坐标原点重合，其坐标为（0,0）；‎ ‎②当时，有，‎ ‎，‎ 从而，‎ 而，或，‎ 故或.‎ 综上所述：实数的取值范围是.‎ 即点的横坐标的取值范围是.‎ 考点：椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系．‎ ‎【方法点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系中的参数范围问题，考查了函数的思想方法，属于中档题.求椭圆方程通常利用待定系数法即可，注意的关系；研究直线与椭圆位置关系涉及参数的范围问题时，基本的思路是构造函数关系，利用基本不等式或二次函数求解，本题解答的关键是对条件的应用，转化为在的垂直平分线上，利用方程组求出弦的中点，根据斜率关系建立直线与 轴交点的横坐标与参数的函数关系.‎ ‎ ‎