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- 2021-06-25 发布
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2.3.2
离散型随机变量的方差(一)
高二数学 选修
2-3
一、复习回顾
1
、离散型随机变量的数学期望
2
、数学期望的性质
···
···
···
···
数学期望是反映离散型随机变量的平均水平
三、如果随机变量
X
服从两点分布为
X
1
0
P
p
1
-
p
则
四、如果随机变量
X
服从二项分布,即
X
~
B
(
n,p
),则
某人射击
10
次,所得环数分别是:
1
,
1
,
1
,
1
,
2
,
2
,
2
,
3
,
3
,
4
;则所得的
平均环数
是多少?
二、互动探索
X
1
2
3
4
P
某人射击
10
次,所得环数分别是:
1
,
1
,
1
,
1
,
2
,
2
,
2
,
3
,
3
,
4
;则这组数据的
方差
是多少?
加权平均
反映这组数据相对于平均值的集中程度的量
离散型随机变量取值的方差
一般地,若离散型随机变量
X
的概率分布为:
则称
为随机变量
X
的
方差
。
···
···
···
···
称
为随机变量
X
的
标准差
。
它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量,它们的值越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小,即越集中于均值。
三、基础训练
1
、已知随机变量
X
的分布列
X
0
1
2
3
4
P
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
求
DX
和
σX
。
解:
2
、若随机变量
X
满足
P
(
X
=
c
)=
1
,其中
c
为常数,求
EX
和
DX
。
解:
X
c
P
1
离散型随机变量
X
的分布列为:
EX
=
c×1
=
c
DX
=(
c
-
c
)
2
×1
=
0
四、方差的应用
例:甲、乙两名射手在同一条件下射击,所得环数
X
1
,
X
2
分布列如下:
用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。
X
1
8
9
10
P
0.2
0.6
0.2
X
2
8
9
10
P
0.4
0.2
0.4
解:
表明甲、乙射击的平均水平没有差别,在多次射击中平均得分差别不会很大,但甲通常发挥比较稳定,多数得分在
9
环,而乙得分比较分散,近似平均分布在
8
-
10
环。
问题
1
:如果你是教练,你会派谁参加比赛呢?
问题
2
:如果其他对手的射击成绩都在
8
环左右,应派哪一名选手参赛?
问题
3
:如果其他对手的射击成绩都在
9
环左右,应派哪一名选手参赛?
X
1
8
9
10
P
0.2
0.6
0.2
X
2
8
9
10
P
0.4
0.2
0.4
练习:有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息:
甲单位不同职位月工资
X
1
/
元
1200
1400
1600
1800
获得相应职位的概
率
P
1
0.4
0.3
0.2
0.1
乙单位不同职位月工资
X
2
/
元
1000
1400
1800
2200
获得相应职位的概
率
P
2
0.4
0.3
0.2
0.1
根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位?
解:
在两个单位工资的数学期望相等的情况下,如果认为自己能力很强,应选择工资方差大的单位,即乙单位;如果认为自己能力不强,就应选择工资方差小的单位,即甲单位。
五、几个常用公式:
相关练习:
3
、有一批数量很大的商品,其中次品占
1
%,现从中任意地连续取出
200
件商品,设其次品数为
X
,求
EX
和
DX
。
117
10
0.8
2
,
1.98
4.
根据统计,一年中一个家庭万元以上的财产被盗的概率为
0.01
,保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险,参加者需交保险费
100
元,若在一年以内,万元以上财产被盗,保险公司赔偿
a
元(
a>100
),问
a
如何确定,可使保险公司期望获利?
六、课堂小结
1
、离散型随机变量取值的方差、标准差及意义
2
、记住几个常见公式