2018届二轮复习立体几何中的向量方法课件（全国通用） 39页

第 1 讲　立体几何中的向量方法 高考定位 　 高考对本内容的考查主要有： (1) 空间向量的坐标表示及坐标运算，属 B 级要求； (2) 线线、线面、面面平行关系判定，属 B 级要求； (3) 线线、线面、面面垂直的判定，属 B 级要求； (4) 求异面直线、直线与平面、平面与平面所成角，属 B 级要求 . 真 题 感 悟 (1) 求平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值； (2) 点 Q 是线段 BP 上的动点，当直线 CQ 与 DP 所成的角最小时，求线段 BQ 的长 . 考 点 整 合 1. 直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法 设直线 l 的方向向量为 a ＝ ( a 1 ， b 1 ， c 1 ) ，平面 α ， β 的法向量分别为 μ ＝ ( a 2 ， b 2 ， c 2 ) ， ν ＝ ( a 3 ， b 3 ， c 3 ) ，则 (1) 线面平行 l ∥ α ⇔ a ⊥ μ ⇔ a·μ ＝ 0 ⇔ a 1 a 2 ＋ b 1 b 2 ＋ c 1 c 2 ＝ 0. (2) 线面垂直 l ⊥ α ⇔ a ∥ μ ⇔ a ＝ k μ ⇔ a 1 ＝ ka 2 ， b 1 ＝ kb 2 ， c 1 ＝ kc 2 . (3) 面面平行 α ∥ β ⇔ μ ∥ ν ⇔ μ ＝ λ ν ⇔ a 2 ＝ λa 3 ， b 2 ＝ λb 3 ， c 2 ＝ λc 3 . (4) 面面垂直 α ⊥ β ⇔ μ ⊥ ν ⇔ μ · ν ＝ 0 ⇔ a 2 a 3 ＋ b 2 b 3 ＋ c 2 c 3 ＝ 0. 热点一　向量法证明平行与垂直 【例 1 】 如图，在直三棱柱 ADEBCF 中，面 ABFE 和面 ABCD 都是正方形且互相垂直， M 为 AB 的中点， O 为 DF 的中点，求证： (1) OM ∥ 平面 BCF ； (2) 平面 MDF ⊥ 平面 EFCD . 探究提高 　 解决本类问题的关键步骤是建立恰当的坐标系，用坐标表示向量或用基底表示向量，证法的核心是利用向量的数量积或数乘运算 . 【训练 1 】 如图，在四棱锥 PABCD 中， PA ⊥ 平面 ABCD ，底面 ABCD 是菱形， PA ＝ AB ＝ 2 ， ∠ BAD ＝ 60° ， E 是 PA 的中点 . (1) 求证：直线 PC ∥ 平面 BDE ； (2) 求证： BD ⊥ PC . 热点二　利用空间向量求空间角 【例 2 】 (2013· 江苏卷 ) 如图，在直三棱柱 A 1 B 1 C 1 ABC 中， AB ⊥ AC ， AB ＝ AC ＝ 2 ， A 1 A ＝ 4 ，点 D 是 BC 的中点 . (1) 求异面直线 A 1 B 与 C 1 D 所成角的余弦值； (2) 求平面 ADC 1 与平面 ABA 1 所成二面角的正弦值 . 解　 (1) 以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 A - xyz ， 探究提高 　 利用法向量求解空间线面角的关键在于 “ 四破 ” ：第一，破 “ 建系关 ” ，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破 “ 求坐标关 ” ，准确求解相关点的坐标；第三，破 “ 求法向量关 ” ，求出平面的法向量；第四，破 “ 应用公式关 ”. 【训练 2 】 (2015· 全国 Ⅱ 卷 ) 如图，长方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中， AB ＝ 16 ， BC ＝ 10 ， AA 1 ＝ 8 ，点 E ， F 分别在 A 1 B 1 ， D 1 C 1 上， A 1 E ＝ D 1 F ＝ 4. 过点 E ， F 的平面 α 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形 . (1) 在图中画出这个正方形 ( 不必说明画法和理由 ) ； (2) 求直线 AF 与平面 α 所成角的正弦值 . 解　 (1) 交线围成的正方形 EHGF 如图： 热点三　利用空间向量解决探索性问题 探究提高 　 空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断 . 解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把 “ 是否存在 ” 问题转化为 “ 点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解 ” 等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法 . 【训练 3 】 (2015· 扬州市检测 ) 如图，在底面边长为 1 ，侧棱长为 2 的正四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中， P 是侧棱 CC 1 上的一点， CP ＝ m . 解　 (1) 建立如图所示的空间直角坐标系， 1. 利用空间向量证明线面关系时，应抓住直线的方向向量与平面的法向量之间的关系，如直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线和平面平行或直线在平面内 . 4. 利用空间向量求角时考生易忽视向量的夹角与所求角之间的关系 (1) 求线面角时，得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦，而不是线面角的余弦； (2) 求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析 .