2019年相阳教育“黉门云”高考等值试卷★预测卷（全国Ⅱ卷）数学（理）参考答案与评分标准 8页

高三训练试题（理科数学）参考答案与评分标准 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。‎ ‎1．【解答】选D.‎ ‎【命题意图】本题考查复数的概念及运算，考查运算求解能力，数学运算素养.‎ ‎2. 【解答】选A.∵‎ ‎【命题意图】考查解不等式及集合的运算，考查抽象概括、运算求解能力.‎ ‎3.【解答】选A.由表中的数据分析变量与的变化规律，结合所给四个函数的图象和性质，可知：与存在正相关关系，排除B；又随着增大，加速增长，故排除C，D.【命题意图】本题考查函数的性质及应用、变量间的相关关系、回归分析。考查抽象概括能力、数据处理能力。‎ ‎4. 【解答】选B.，→→ ，输出，，故选B．‎ ‎【命题意图】以数学文化为背景，考查算法及程序框图，抽象概括能力、应用意识.‎ ‎5.【解答】选C.由可得：，所以．向量在上的投影为． ‎ ‎【命题意图】考查向量的数量积，考查基础知识，抽象概括、运算求解能力，数学运算素养.‎ ‎6. 【解答】B.作可行域如右图，表示可行域内动点到直线距离的倍，如图在处， ‎ ‎【命题意图】考查不等式、线性规划等知识，数形结合、运算求解的能力，直观想象及数学运算的素养.‎ ‎7．【解答】选C. ①真，原方程表示双曲线的充要条件是，； ②假， 对任意的x∈R，均有x2+x+1≤0”；④假，还有可能;C正确.‎ ‎【命题意图】考查双曲线的标准方程、简易逻辑线性回归、空间平行关系等知识，考查推理论证能力及逻辑推理的素养.‎ ‎8．【解答】选C　若m∥n，则(a＋b)(sin B－sin A)－sin C(a＋c)＝0，由正弦定理可得(a＋b)(b－a)－c(a＋c)＝0，化为a2＋c2－b2＝－ac，∴cos B＝＝－.∵B∈(0，π)，∴B＝，故选C.‎ ‎【命题意图】考查向量运算、解三角形（正余弦定理）.考查数学运算、逻辑推理的素养.‎ ‎9. 【解答】选D. D选项的随机事件概率应为.‎ ‎（第 8页 /共 8页）‎ ‎【命题意图】以统计图表形式，考查随机事件的概率、古典概型、条件概率，考查学生的数学语言转化能力；考查数形结合思想、统计概率思想；数学直观、数学建模、数据分析的素养。‎ ‎10. 【解答】选A.为非奇非偶函数，排除C;，排除B；又 且无渐近线，排除D；答案为A.也用导数判断函数性质推断.‎ ‎【命题意图】考查函数的图象，考查探究能力、数形结合思想,直观想象、数学抽象素养.‎ ‎11. 【解答】选B.将正四面体ABCD补形成正方体可得，正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球.由正四面体ABCD的棱长为4，可知正方体的棱长为，可得外接球半径R满足，解得R= .过E作其外接球的截面，当截面到球心O的距离最大时，截面圆的面积达最小值，此时球心O到截面的距离等于正方体棱长的一半，可得截面圆的半径为，得到截面圆的面积最小值为 ‎ ‎【命题意图】考查空间几何体与球的切接问题，考查空间想象能力、运算求解能力，考查数学模型思想，直观想象、数学运算素养.‎ ‎12. 【解答】选B.为周期是2的偶函数， 当时， ‎ ‎①当时，与有两个公共点；‎ ‎②当与相切时，.‎ 当时，与有两个公共点；‎ 由图象知，当即时，直线与有三个公共点；结合周期T=2知，.故选B.‎ ‎【命题意图】考查函数的图象与性质（奇偶性、周期性、分段函数等）的应用、考查函数与方程、数形结合的思想，直观想象、逻辑推理、数学抽象的素养.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．【解答】只有第项的二项式最大，则，即,所以展开式中常数项为第七项等于 ‎【命题意图】考查二项式定理，考查运算求解能力.‎ ‎14.【解答】当即时取最大值，所以，‎ ‎【命题意图】考查三角恒等变形，考查运算求解能力、转化与化归思想，数学运算素养。‎ ‎15. 【解答】如图，当时，弦AB可以经过焦点F，作A、B在准线上的射 ‎（第 8页 /共 8页）‎ 影，则 ，‎ ‎ （当AB过焦点F时取到等号）；故 ‎②当时，AB平行于轴时距离最小， ‎ 综上 ‎【命题意图】考查用抛物线的定义求最值，考查抽象概括、运算求解能力，分类讨论、数形结合思想；考查数学建模、数学运算的素养.‎ ‎16．【解答】①②③⑤‎ 对于①：过A作BD1的垂面ACD1，交面BCC1B1于直线BC1，故动点P的轨迹为线段BC1，故①正确；‎ 对于②：点P的轨迹为以A为球心、半径为的球面与面BCC1B1的交线，即为一段圆弧，故②正确;‎ 对于③：点P在以A C1为轴、AM为母线的圆锥面与面BCC1B1的交线，而AM//面BCC1B1，故点P的轨迹为一段抛物线；故③正确；‎ 对于④：作PE⊥BC，EF⊥AD，连接PF，则PF⊥CC1；作PQ⊥CC1.由，‎ 在面BCC1B1内，以C为原点、以直线CB、CC1为轴建立平面直角坐标系，设P，则，化简得，，P点轨迹所在曲线是一段双曲线.‎ 故④错误。‎ 对于⑤：点P到点C1的距离与点P到直线BC的距离之比为2:1，故点P的轨迹为以点C1、直线BC为对应准线的双曲线，故⑤正确；‎ 故答案为①②③⑤‎ ‎【命题意图】本题考查空间的点、线、面的位置关系、圆锥曲线的定义、交轨法、解析法等，考查空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力、探究能力，考查数学抽象、直观想象、逻辑推理等素养。‎ 三、解答题：共70分。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．(12分)解：(1)∵点在直线上，所以 ①‎ 当时， ......2分 当时， ②‎ ‎①－②，得 ......4分 所以数列为首项为1，公比为2的等比数列. ......6分 ‎（2） ......7分 ‎（第 8页 /共 8页）‎ ‎ ③‎ ‎ ④ ......9分 ‎③－④，得 ‎ ‎ ‎ 所以 ......12分 ‎【考点】数列的通项与前n项和、等比数列的定义；向量的数量积；错位相减法求和. （1）根据表达式得到，从而得到数列满足，故得到结论； （2）根据向量数量积的定义得到，错位相减得到前n项和。‎ ‎【命题意图】考查向量的数量积、数列的通项与前n项和、等比数列的概念、数列求和的错位相减法.考查运算求解能力、转化与化归的思想、数学运算的核心素养.‎ ‎18．(12分)解：（1）这100位作者年龄的样本平均数和样本方差分别为 ‎ ……2分 ‎ 4分 ‎（2）（i）由（1）知，，‎ 从而； （0.3414也可给分）7分 ‎（ii）根据分层抽样的原理，可知这7人中年龄在内有3人，在内有4人，故可能的取值为0，1，2，3‎ ‎，，‎ 所以的分布列为 Y ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎……11分 所以Y的数学期望为 ……12分 ‎【命题意图】本题考查统计抽样、频率分布直方图、正态分布、超几何分布，考查数据处理、运算求解能力、识图能力，考查数据分析、数学建模、数学运算素养.‎ ‎19. (12分) 解：（1）由条件知 ………………2分 ‎ ‎ ‎ ……4分 ‎（第 8页 /共 8页）‎ ‎ ………………5分 ‎（2）以D为原点，为轴的非负方向建立空间直角坐标系. ,‎ ‎ ………………6分 设平面的法向量为 ‎ 由 得，‎ 取，则 ‎ ‎ ………………8分 由（1）知，平面FDM的法向量为 ………………9分 由题意， …………10分 解得 ……………12分 ‎【解法2】由（1）知，二面角为直二面角，‎ 即二面角与互余.由题意知，二面角的正弦值为 从而正切值为 ‎ 在面DCEF内过N作NG⊥DC，垂足为G；在面AC内作GH⊥DM，垂足为H，连结NH.‎ 则∠NHG为二面角的平面角. ……………8分 ‎ ……………10分 在Rt△NHG中，由，解得 ……………12分 ‎【命题意图】本题考查三视图、线面垂直、面面垂直的判定与性质、用空间向量求二面角等，考查化归转化、运算求解、推理论证与表达能力，考查直观想象、逻辑推理、数学运算素养．‎ ‎20．(12分)【解】（1）证明：设直线与曲线的交点为 ‎ ∴ 即：‎ ‎∴ 在上 ‎∴，‎ ‎∴两式相减得： ∴ 即： ‎ ‎（第 8页 /共 8页）‎ ‎∴曲线是一个圆 ………………5分 证法2：设直线与曲线的交点为 ‎ ∴，‎ ‎∴‎ 由得，, ‎ ‎ ，∴,∴曲线是一个圆. ………………5分 ‎ （2）由题意知，椭圆C的方程为 ………………6分 假设存在点 ，设交点为，‎ 由得，‎ ‎ ………………8分 直线恒过椭圆内定点（0,1），故 恒成立.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ………………10分 当时，即时 ‎ 故存在定点，不论k为何值，为定值. ………………12分 ‎【命题意图】本题考查直线与圆、直线与椭圆的位置关系中定值问题，考查逻辑推理能力、运算求解能力、‎ ‎（第 8页 /共 8页）‎ 化归转化能力及方程思想的应用，考查逻辑推理、直观想象、数学运算素养。‎ ‎21．(12分) 解：（1）‎ 令，则 ………………1分 ‎①当,即时，， ‎ 单调递增，即 在上单调递增. 符合题意. ………3分 ‎②当即时，令得， ‎ 在上，单调递减；‎ 当时，有 即 所以在区间 上为减函数，不合题意. ………5分 综上，实数的取值范围为 ………………6分 ‎（2）证明：时， ‎ 由（1）得，时，…………8分 又 只需证明 ………………10分 令 则 所以在上单调递增， ………………12分 原不等式得证. 【命题意图】考查函数的单调性、不等式的证明，考查推理论证、化归转化、运算求解能力，考查逻辑推理、直观想象、数学运算素养.‎ ‎（二）选考题：共10分。‎ ‎22．解：（1）消去参数，得曲线的直角坐标方程为,即 ‎ 把 代入得，曲线的直角坐标方程为.‎ ‎………………5分 ‎（2）圆心到直线AB的距离为 ‎ 圆上动点P到弦AB的距离的最大值为 ‎ ‎（第 8页 /共 8页）‎ 解法1：弦长 ‎∴的面积的最大值为 ………10分 解法2：设圆上动点,P到直线的距离 ‎ ‎ 化的参数方程为代入得， ‎ 设交点A、B对应的参数分别为 ，则 ‎ 则 ‎ ‎∴的面积的最大值为 ‎ ‎【命题意图】本题考查目标：参数方程、极坐标方程与直角坐标方程之间的互化，直线与圆的位置关系、用几何法或直线参数方程的几何意义、“设而不求”计算、最值问题的求解，主要考查学生的运算求解能力，数学运算、逻辑推理、直观想象素养．‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲](10分)‎ ‎（1）的几何意义是数轴上实数到3，－6两点的距离之和，时，.故原不等式的解集为 …………5分 ‎（2）由（1）知，正实数 ‎ …………8分 ‎（当且仅当时取等号）‎ 故的最小值为4． ………………10分 ‎【命题意图】绝对值的不等式的解法、柯西不等式在求最值中的应用.考查运算求解、化归转化能力，数学抽象、直观想象、数学运算等核心素养。‎ ‎（第 8页 /共 8页）‎