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  • 2021-06-25 发布

高一数学(人教A版)必修2能力强化提升:4-2-1 直线与圆的位置关系

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一、选择题 ‎1.(2012·安徽卷)若直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点,则实数a取值范围是(  )‎ A.[-3,-1] B.[-1,3]‎ C.[-3,1] D.(-∞,-3]∪[1,+∞)‎ ‎[答案] C ‎[解析] 圆(x-a)2+y2=2的圆心C(a,0)到直线x-y+1=0的距离为d 则d≤r=⇔≤⇔|a+1|≤2⇔-3≤a≤1.‎ ‎2.圆x2+y2-2x+4y-20=0截直线5x-12y+c=0所得的弦长为8,则c的值是(  )‎ A.10 B.10或-68‎ C.5或-34 D.-68‎ ‎[答案] B ‎[解析] 由题意得圆心C(1,-2),半径r=5,圆心C到直线5x-12y+c=0的距离d=,又r2=d2+42,‎ 所以25=+16,解得c=10或-68.‎ ‎3.已知直线ax-by+c=0(ax≠0)与圆x2+y2=1相切,则三条边长分别为|a|,|b|,|c|的三角形(  )‎ A.是锐角三角形 B.是直角三角形 C.是钝角三角形 D.不存在 ‎[答案] B ‎[解析] 圆心O(0,0)到直线的距离d==1,‎ 则a2+b2=c2,即该三角形是直角三角形.‎ ‎4.过点P(2,3)引圆x2+y2-2x+4y+4=0的切线,其方程是(  )‎ A.x=2‎ B.12x-5y+9=0‎ C.5x-12y+26=0‎ D.x=2和12x-5y-9=0‎ ‎[答案] D ‎[解析] 点P在圆外,故过P必有两条切线,‎ ‎∴选D.‎ ‎5.点M在圆(x-5)2+(y-3)2=9上,点M到直线3x+4y-2=0的最短距离为(  )‎ A.9 B.8‎ C.5 D.2‎ ‎[答案] D ‎[解析] 由圆心到直线的距离d==5>3知直线与圆相离,故最短距离为d-r=5-3=2,故选D.‎ ‎6.过点(2,1)的直线中,被圆x2+y2-2x+4y=0截得的弦最长的直线的方程是(  )‎ A.3x-y-5=0 B.3x+y-7=0‎ C.3x-y-1=0 D.3x+y-5=0‎ ‎[答案] A ‎[解析] x2+y2-2x+4y=0的圆心为(1,-2),截得弦最长的直线必过点(2,1)和圆心(1,-2)‎ ‎∴直线方程为3x-y-5=0,故选A.‎ ‎7.已知直线x+7y=10把圆x2+y2=4分成两段弧,这两段弧长之差的绝对值等于(  )‎ A. B. C.π D.2π ‎[答案] D ‎[解析] 圆x2+y2=4的圆心为O(0,0),半径r=2,设直线x+7y=10与圆x2+y2=4交于M,N两点,则圆心O到直线x+7y=10的距离d==,过点O作OP⊥MN于P,则|MN|=2=2.在△MNO中,|MN|2+|ON|2=2r2=8=|MN|2,则∠MON=90°,这两段弧长之差的绝对值等于 =2π.‎ ‎8.设圆(x-3)2+(y+5)2=r2(r>0)上有且仅有两个点到直线4x-3y-2=0的距离等于1,则圆半径r的取值范围是(  )‎ A.34 D.r>5‎ ‎[答案] B ‎[解析] 圆心C(3,-5),半径为r,圆心C到直线4x-3y-2=0的距离d==5,由于圆C上有且仅有两个点到直线4x-3y-2=0的距离等于1,则d-10).‎ ‎∵圆心在直线2x+y=0上,‎ ‎∴b=-‎2a,即圆心为C(a,-‎2a).‎ 又∵圆与直线x-y-1=0相切,且过点(2,-1),‎ ‎∴=r,(2-a)2+(-1+‎2a)2=r2,‎ 即(‎3a-1)2=2[(2-a)2+(-1+‎2a)2],解得a=1或a=9,∴a=1,b=-2,r=或a=9,b=-18,r=13.‎ 故所求圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=2或(x-9)2+(y+18)2=338.‎ ‎15.已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线l1:x+2y+7=0相切.过点B(-2,0)的动直线l与圆A相交于M,N两点,Q是MN的中点.‎ ‎(1)求圆的方程;‎ ‎(2)当|MN|=2时,求直线l的方程.‎ ‎[解析] (1)设圆A的半径为r,‎ ‎∵圆A与直线l1:x+2y+7=0相切,‎ ‎∴r==2,‎ ‎∴圆A的方程为(x+1)2+(y-2)2=20.‎ ‎(2)当直线l与x轴垂直时,‎ 则直线l的方程为x=-2,‎ 此时有|MN|=2,即x=-2符合题意.‎ 当直线l与x轴不垂直时,设直线l的斜率为k,‎ 则直线l的方程为y=k(x+2),‎ 即kx-y+2k=0,‎ ‎∵Q是MN的中点,∴AQ⊥MN,‎ ‎∴|AQ|2+(|MN|)2=r2.‎ 又∵|MN|=2,r=2,‎ ‎∴|AQ|==1,‎ 解方程|AQ|==1,得k=,‎ ‎∴此时直线l的方程为y-0=(x+2),即3x-4y+6=0.‎ 综上所得,直线l的方程为x=-2或3x-4y+6=0.‎ ‎16.已知圆x2+y2+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0相交于P、‎ Q两点,O为原点,且OP⊥OQ,求实数m的值.‎ ‎[解析] 设点P、Q的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2).‎ 由OP⊥OQ,得kOPkOQ=-1,即·=-1,x1x2+y1y2=0.①‎ 又(x1,y1)、(x2,y2)是方程组 的实数解,即x1,x2是方程5x2+10x+‎4m-27=0②的两个根,‎ ‎∴x1+x2=-2,x1x2=.③‎ ‎∵P、Q是在直线x+2y-3=0上,‎ ‎∴y1y2=(3-x1)·(3-x2)‎ ‎=[9-3(x1+x2)+x1x2].‎ 将③代入,得y1y2=.④‎ 将③④代入①,解得m=3.代入方程②,检验Δ>0成立,‎ ‎∴m=3.‎

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