北京市2020届高三高考数学预测卷 19页

北京高考压轴卷数学 一、选择题（本大题共10小题．每小题45分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.设复数z满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知得，根据复数的除法法则，求出的实部和虚部，即可求解.‎ ‎【详解】，，‎ ‎.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查复数的代数运算以及复数模长，属于基础题.‎ ‎2.设集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解不等式得集合，再求出的补集，最后根据交集的定义求结果.‎ ‎【详解】由，得或，即或，‎ ‎，‎ 又 ‎.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，集合的交集、补集的运算，是基础题.‎ ‎3.已知定义域为奇函数满足，且当时，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可知函数是以为周期的函数，从而可得，再根据函数为奇函数可得，将代入表达式即可求解.‎ ‎【详解】由满足，‎ 所以函数的周期，‎ 又因为函数为奇函数，且当时，，‎ 所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了利用函数的周期性、奇偶性求函数值，属于基础题.‎ ‎4.函数图象的大致形状是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用奇偶性可排除A、C；再由的正负可排除D.‎ ‎【详解】，‎ ‎，故为奇函数，排除选项A、C；又，排除D，选B.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查根据解析式选择图象问题，在做这类题时，一般要结合函数的奇偶性、单调性、对称性以及特殊点函数值来判断，是一道基础题.‎ ‎5.已知坐标原点到直线的距离为，且直线与圆相切，则满足条件的直线有（ ）条 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出直线：，再根据点到直线的距离为和直线与圆相切列方程组成，解得，即可求解.‎ ‎【详解】显然直线有斜率，设：，‎ 则，即，①‎ 又直线与圆相切，‎ ‎，② ‎ ‎ 联立①②，，，‎ 所以直线的方程为.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了直线与圆相切的切线问题、点到直线的距离公式，属于基础题.‎ ‎6.函数的单调递增区间是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，求解即得 ‎【详解】令 因此 ‎ 故函数的单调递增区间是 故选：C ‎【点睛】本题考查了正弦型函数的单调性，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于基础题.‎ ‎7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）‎ A. 20 B. ‎10 ‎C. 30 D. 60‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图还原几何体，根据棱锥体积公式可求得结果 ‎【详解】由三视图可得几何体直观图如下图所示：‎ 可知三棱锥高：；底面面积：‎ 三棱锥体积：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查棱锥体积的求解，关键是能够通过三视图还原几何体，从而准确求解出三棱锥的高和底面面积.‎ ‎8.已知点在抛物线C：的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由已知得，抛物线的准线方程为，且过点，故，则，，则直线AF的斜率，选C．‎ 考点：1、抛物线的标准方程和简单几何性质；2、直线的斜率．‎ ‎9.已知，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量的垂直关系，可得，简单计算，可得结果.‎ ‎【详解】由，则 又，所以 若，且，所以，则 所以“”是“”的充要条件 故选：C ‎【点睛】本题考查向量的垂直的数量积表示以及计算，同时考查了充分、必要条件，识记概念与计算公式，属基础题.‎ ‎10.已知随机变量ξ的分布列，则下列说法正确的是( )‎ A. 存在x，y∈(0，1)，E(ξ)> B. 对任意x，y∈(0，1)，E(ξ)≤‎ C. 对任意x，y∈(0，1)，D(ξ)≤E(ξ) D. 存在x，y∈(0，1)，D(ξ)>‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 表示出期望与方差，利用基本不等式证明不等关系。‎ ‎【详解】解：依题意可得，‎ 因为 所以即故，错误；‎ 即，故成立；‎ 故错误 故选：‎ ‎【点睛】本题考查简单随机变量的分布列中期望和方差的运算，属于难题。‎ 二．填空题（本大题共5小题．每小题5分，共25分）‎ ‎11.已知曲线的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为____________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据曲线的切线斜率即对应的函数在切点处的导数值，令导数，解得的值，即为得出结果．‎ ‎【详解】解：由于，则，‎ 由导数的几何意义可知，曲线的切线斜率即对应的函数在切点处的导数值，‎ 曲线的一条切线斜率是3，‎ 令导数，可得，‎ 所以切点的横坐标为2.‎ 故答案为：2．‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义和曲线上某点处的切线斜率的意义，属于基础题．‎ ‎12.函数的最小正周期等于_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用降幂公式整理化简，再由三角函数的最小正周期求得答案.‎ ‎【详解】因为函数 故最小正周期等于.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查求三角函数的最小正周期，属于基础题.‎ ‎13.在△中，若，,,求△的面积 ‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意首先由余弦定理求得BC的值，然后利用面积公式求解△ABC的面积即可.‎ ‎【详解】在中，设，由余弦定理可得，‎ ‎，，或．‎ 当时，的面积为，‎ 当时，的面积为，‎ 故答案为或．‎ ‎【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，三角形面积公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎14.已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝1，a3＝100，则{an}的通项公式an＝_____；设数列{lgan}的前n项和为Tn，则Tn＝_____.‎ ‎【答案】 (1). 10n﹣1 (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由a1＝1，a3＝100求出公比q，再求an与lgan，最后求Tn.‎ ‎【详解】设等比数列{an}的公比为q，由题知q＞0.‎ ‎∵a1＝1，a3＝100，‎ ‎∴q10，‎ ‎∴an＝10n﹣1；‎ ‎∵lgan＝lg10n﹣1＝n﹣1，‎ ‎∴Tn.‎ 故答案为：(1). 10n﹣1 (2). ‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列、等差数列的通项公式与前n项和的求法，属于基础题.‎ ‎15.已知函数，下列命题正确的有_______．（写出所有正确命题的编号）‎ ‎①是奇函数；‎ ‎②在上是单调递增函数；‎ ‎③方程有且仅有1个实数根；‎ ‎④如果对任意，都有，那么的最大值为2.‎ ‎【答案】①②④‎ ‎【解析】‎ ‎ 根据题意，依次分析四个命题：‎ 对于①中，，定义域是，且是奇函数，所以是正确的；‎ 对于②中，若，则，所以的递增，所以是正确的；‎ 对于③中，，令，‎ 令可得，，即方程有一根，‎ ‎，则方程有一根之间，‎ ‎ 所以是错误的；‎ 对于④中，如果对于任意，都有，即恒成立，‎ 令，且，‎ 若恒成立，则必有恒成立，‎ 若，即恒成立，‎ 而，若有，所以是正确的，综上可得①②④正确.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎16.已知函数（k为常数，且）．‎ ‎（1）在下列条件中选择一个________使数列是等比数列，说明理由；‎ ‎①数列是首项为2，公比为2的等比数列；‎ ‎②数列是首项为4，公差为2的等差数列；‎ ‎③数列是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列．‎ ‎（2）在（1）的条件下，当时，设，求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（1）②，理由见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）选②，由和对数的运算性质，以及等比数列的定义，即可得到结论；‎ ‎（2）运用等比数列的通项公式可得，进而得到，由数列的裂项相消求和可得所求和.‎ ‎【详解】（1）①③不能使成等比数列.②可以：由题意，‎ 即，得，且，.‎ 常数且，为非零常数，‎ 数列是以为首项，为公比的等比数列．‎ ‎（2）由（1）知，所以当时，.‎ 因为，‎ 所以，所以，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式，数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题.‎ ‎17.在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，，，，为中点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求异面直线与所成角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）以为原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，计算得，即可证明结论；‎ ‎（2）先求出，再利用向量夹角公式即可得出.‎ ‎【详解】（1）由题意在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，‎ 以为原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，．因为为中点，所以，‎ 所以，，所以，所以．‎ ‎（2）由（1）得，，，，‎ ‎，所以与所成角的余弦值为．‎ ‎【点睛】本题考查了异面直线所成的角、向量夹角公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎18.已知函数 ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当时，若在上有零点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ），结合定义域讨论导数的正负求单调区间即可；‎ ‎（Ⅱ）当时，的单调递增区间是，单调递减区间是.所以在上有零点的必要条件是，得，讨论和时函数单调性求解参数范围即可.‎ 试题解析：‎ 解：（Ⅰ）函数的定义域为，‎ ‎.‎ 由得或.‎ 当时，在上恒成立，‎ 所以的单调递减区间是，没有单调递增区间.‎ 当时，的变化情况如下表：‎ 所以的单调递增区间是，单调递减区间是.‎ 当时，的变化情况如下表：‎ 所以的单调递增区间是，单调递减区间是.‎ ‎（Ⅱ）当时，的单调递增区间是，单调递减区间是.‎ 所以在上有零点的必要条件是，‎ 即，所以.‎ 而，所以.‎ 若，在上是减函数，，在上没有零点.‎ 若，，在上是增函数，在上是减函数，‎ 所以在上有零点等价于，‎ 即，解得.‎ 综上所述，实数的取值范围是.‎ 点睛：根据函数零点求参数取值，也是高考经常涉及的重点问题，‎ ‎（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；‎ ‎（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；‎ ‎（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.‎ ‎19.自由购是通过自助结算方式购物的一种形式. 某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：‎ ‎20以下 ‎70以上 使用人数 ‎3‎ ‎12‎ ‎17‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎0‎ 未使用人数 ‎0‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎14‎ ‎36‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎（Ⅰ）现随机抽取 1 名顾客，试估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率；‎ ‎（Ⅱ）从被抽取的年龄在使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用表示这3人中年龄在的人数，求随机变量的分布列及数学期望；‎ ‎（Ⅲ）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋.‎ ‎【答案】；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）2200‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）随机抽取的100名顾客中，年龄在[30，50）且未使用自由购的有3+14＝17‎ 人，由概率公式即可得到所求值；‎ ‎（Ⅱ）所有的可能取值为1,2,3，求出相应的概率值，即可得到分布列与期望；‎ ‎（Ⅲ）随机抽取的100名顾客中，使用自由购的有44人，计算可得所求值．‎ ‎【详解】（Ⅰ）在随机抽取的100名顾客中，年龄在[30,50)且未使用自由购的共有3+14=17人，‎ 所以，随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率为．‎ ‎（Ⅱ）所有可能取值为1,2,3，‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ 所以的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以的数学期望为.‎ ‎（Ⅲ）在随机抽取的100名顾客中，‎ 使用自由购的共有人，‎ 所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为.‎ ‎【点睛】本题考查统计表，随机变量X的分布列及数学期望，以及古典概型，是一道综合题．‎ ‎20.已知椭圆 ‎（1）求椭圆的标准方程和离心率；‎ ‎（2）是否存在过点的直线与椭圆相交于，两点，且满足 ‎．若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1），；（2）存在，7x﹣+3＝0或7x+﹣3＝0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将椭圆方程化为标准方程，可得a，b，c，由离心率公式可得所求值；‎ ‎（2）假设存在过点P（0，3）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且满足，可设直线l的方程为x＝m（y﹣3），联立椭圆方程，消去x可得y的二次方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由向量共线的坐标表示，化简整理解方程，即可判断是否存在这样的直线．‎ ‎【详解】（1）由，得，进而，；‎ ‎（2）假设存在过点P（0，3）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且满足，‎ 可设直线l的方程为x＝m（y﹣3），联立椭圆方程x2+2y2＝4，‎ 可得（2+m2）y2﹣‎6m2‎y+‎9m2‎﹣4＝0，△＝‎36m4﹣4（2+m2）（‎9m2‎﹣4）＞0，即m2＜，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2＝，y1y2＝，①‎ 由，可得（x2，y2﹣3）＝2（x1，y1﹣3），即y2﹣3＝2（y1﹣3），即y2＝2y1﹣3，②‎ 将②代入①可得3y1﹣3＝，y1（2y1﹣3）＝，‎ 消去y1，可得•＝，解得m2＝，所以，‎ 故存在这样的直线l，且方程为7x﹣y+3＝0或7x+y﹣3＝0．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查向量共线的坐标表示，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．‎ ‎21.．对于n∈N*（n≥2），定义一个如下数阵：，其中对任意的1≤i≤n，1≤j≤n，当i能整除j时，aij＝1；当i不能整除j时，aij＝0．设．‎ ‎（Ⅰ）当n＝6时，试写出数阵A66并计算；‎ ‎（Ⅱ）若[x]表示不超过x的最大整数，求证：；‎ ‎（Ⅲ）若，，求证：g（n）﹣1＜f（n）＜g（n）+1．‎ ‎【答案】（Ⅰ）， ．（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）依题意可得，， ．（Ⅱ）由题意可知，t（j）是数阵Ann的第j列的和，可得是数阵Ann所有数的和．而数阵Ann所有数的和也可以考虑按行相加．对任意的1≤i≤n，不超过n的倍数有1i，2i，…，．得数阵Ann的第i行中有个1，其余是 ‎0，即第i行的和为．从而得到结果．（Ⅲ）由[x]的定义可知，，得．进而．再考查定积分，根据曲边梯形的面积的计算即可证得结论．‎ ‎【详解】（Ⅰ）依题意可得，． ．‎ ‎（Ⅱ）由题意可知，t（j）是数阵Ann的第j列的和，因此是数阵Ann所有数的和．‎ 而数阵Ann所有数的和也可以考虑按行相加．‎ 对任意的1≤i≤n，不超过n的倍数有1i，2i，…，．‎ 因此数阵Ann的第i行中有个1，其余是0，即第i行的和为．‎ 所以．‎ ‎（Ⅲ）证明：由[x]的定义可知，，‎ 所以．所以．‎ 考查定积分，将区间[1，n]分成n﹣1等分，则的不足近似值为，的过剩近似值为． 所以．‎ 所以g（n）．‎ 所以g（n）﹣1g（n）+1．‎ 所以g（n）﹣1＜f（n）＜g（n）+1．‎ ‎【点睛】本题主要考查高阶矩阵、矩阵的应用、定积分等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．‎ ‎ ‎