高中数学选修2-2课件3_2_2 47页

3.2.2 　 复数代数形式的乘除运算 问题 引航 1. 复数乘法、除法的运算法则是什么？共轭复数概念的定义是什么？ 2. 复数乘法的多项式运算与实数的多项式运算法则是否相同 ？如何应用共轭复数的性质解决问题？ 1 ．复数代数形式的乘法法则 设 z 1 ＝ a ＋ bi ， z 2 ＝ c ＋ di(a ， b ， c ， d∈R) ，则 z 1 ·z 2 ＝ (a ＋ bi)(c ＋ di) ＝ ____________________. (ac － bd) ＋ (ad ＋ bc)i 2 ．复数乘法的运算律 对任意复数 z 1 ， z 2 ， z 3 ∈ C ，有 交换律 z 1 ·z 2 ＝ ______ 结合律 (z 1 ·z 2 )·z 3 ＝ z 1 ·(z 2 ·z 3 ) 分配律 z 1 (z 2 ＋ z 3 ) ＝ _________ z 2 ·z 1 z 1 z 2 ＋ z 1 z 3 3. 共轭复数 已知 z 1 =a+bi ， z 2 =c+di,a,b,c,d∈R ，则 (1)z 1 ,z 2 互为共轭复数的充要条件是 __________. (2)z 1 ,z 2 互为共轭虚数的充要条件是 _____________. 复数代数形式的除法法则： (a+bi)÷(c+di)= __________________(c+di≠0). a=c 且 b=-d a=c 且 b=-d≠0 1. 判一判 ( 正确的打“√”，错误的打“ ×”) (1) 两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件 .( ) (2) 若 z 1 ， z 2 ∈C ，且 z 1 2 +z 2 2 =0 ，则 z 1 =z 2 =0.( ) (3) 两个共轭虚数的差为纯虚数 .( ) 【 解析 】 (1) 错误 . 举反例：如复数 2 和 2i ，它们的模相等， 但不是共轭复数． (2) 错误 . 例如 z 1 =1 ， z 2 =i ，显然 z 1 2 +z 2 2 =0 ，但 z 1 ≠z 2 ≠0. (3) 正确 . 设两个共轭虚数分别为 z 1 =a+bi, =a － bi (a,b∈R,b≠0), 差 z 1 － =2bi(b≠0) 为纯虚数 . 答案： (1)× (2)× (3)√ 2. 做一做 ( 请把正确的答案写在横线上 ) (1) 复数 (2) 复数 z ＝ (2 － i)i 在复平面内对应的点位于第 _____ 象限 . (3) 复数 2- 的共轭复数是 ________. 【 解析 】 (1) 答案： (2)z ＝ (2 － i)i ＝ 2i － i 2 ＝ 1 ＋ 2i, 故复数 z ＝ (2 － i)i 在 复平面内对应的点为 (1,2) ，位于第一象限． 答案： 一 (3) 因为 2- ＝ 2+i, 所以其共轭复数为 2 － i. 答案： 2 － i 【 要点探究 】 知识点 1 复数代数形式的乘除运算 1. 复数的乘法 (1) 类比多项式运算：复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行，但结果要将实部、虚部分开 (i 2 换成－ 1) ． (2) 运算律：多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用． (3) 常用结论： ① (a±bi) 2 ＝ a 2 ±2abi － b 2 (a ， b∈R) ； ② (a ＋ bi)(a － bi) ＝ a 2 ＋ b 2 (a ， b∈R) ； ③ (1±i) 2 ＝ ±2i. 2 ．对复数除法的两点说明 (1) 实数化： ①在进行复数除法运算时，通常先把 (a ＋ bi)÷(c ＋ di) 写成 商的形式，即 (a ＋ bi)÷(c ＋ di) ＝ ②分子、分母同乘以分母的共轭复数 c － di ，化简后即得 结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的 分母“有理化”很类似． (2) 代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开． 【 知识拓展 】 复数乘法的推广 复数的乘法可以推广到若干个因式连乘，且满足乘法的交换律、结合律、分配律 . 【 微思考 】 (1)a∈R,z∈C ， a 2 ＝ |a| 2 与 z 2 ＝ |z| 2 都成立吗？ 提示 : a 2 ＝ |a| 2 成立； z 2 ＝ |z| 2 不一定成立． 例如 z ＝ i ， z 2 ＝－ 1 ， |z| 2 ＝ 1 ， z 2 ≠|z| 2 . (2)z 2 ＝ |z| 2 成立的条件是什么？ 提示 : 当且仅当 z∈R 时， z 2 ＝ |z| 2 成立． 【 即时练 】 若复数 z ＝ 1 ＋ i ， i 为虚数单位，则 (1 ＋ z)·z ＝ ( ) A ． 1 ＋ 3i B ． 3 ＋ 3i C ． 3 － i D ． 3 【 解析 】 选 A. 因为 z ＝ 1 ＋ i ，所以 (1 ＋ z) · z ＝ (2 ＋ i)(1 ＋ i) ＝ 1 ＋ 3i. 知识点 2 共轭复数 1. 共轭复数的注意点 (1) 结构特点：实部相等，虚部互为相反数 . (2) 几何意义：在复平面内两个共轭复数的对应点关于实轴 对称 . 2. 共轭复数的性质 (1) 实数的共轭复数是它本身，即 z∈R (2) 相关结论： 【 微思考 】 (1) 若 z≠0 且 z ＋ ＝ 0 ，则 z 是否为纯虚数？ 提示 : 是纯虚数，因为 z≠0 ，又实数的共轭是它本身，则由 z≠0 且 z ＋ ＝ 0 知 z 不是实数，设 z 1 =a+bi, =a － bi(a,b∈R) ， 和 z 1 + =2a=0 ，故 z 为纯虚数 . 利用这个性质，可证明一个 复数为纯虚数． (2) 复数共轭的共轭是否为复数本身？ 提示 : 根据复数的概念，复数共轭的共轭是复数本身 . 【 即时练 】 若 则复数 等于 ( ) A ．－ 2 － i B ．－ 2 ＋ i C ． 2 － i D ． 2 ＋ i 【 解析 】 选 D. 由 故 =2 ＋ i. 【 题型示范 】 类型一 复数代数形式的乘法运算 【 典例 1】 (1) 已知 x,y∈R,i 为虚数单位，且 xi-y=-1+i, 则 (1+i) x+y 的 值为 ( ) A.2 B.-2i C.-4 D.2i (2) 已知复数 (i 为虚数单位 ) ，复数 z 2 的虚部 为 2 ，且 z 1 ·z 2 是实数，求 z 2 . 【 解题探究 】 1. 如何求解 x+y? 2.z 1 的代数形式如何？ z 1 · z 2 的虚部是多少？ 【 探究提示 】 1. 利用复数相等 . 2. 的虚部为 0. 【 自主解答 】 (1) 选 D. 由 xi-y=-1+i, 得 x=1,y=1, 所以 (1+i) x+y =(1+i) 2 =2i. (2) 设 z 2 ＝ a ＋ 2i ， a∈R ，则 z 1 · z 2 ＝ (2 － i) · (a ＋ 2i) ＝ (2a ＋ 2) ＋ (4 － a)i ， 因为 z 1 z 2 ∈R ，所以 a ＝ 4 ，所以 z 2 ＝ 4 ＋ 2i. 【 方法技巧 】 复数的乘法运算法则的应用 (1) 复数的乘法运算可以把 i 看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把 i 2 化为－ 1 ，进行最后结果的化简． (2) 对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便 . 例如，平方差公式、完全平方公式等． 【 变式训练 】 (2014· 豫南九校高二检测 ) 定义一种运算如下： 复数 (i 是虚数单位 ) 对应 的复数是 ( ) 【 解析 】 选 A. 由题意，得 【 警示误区 】 注意分析新定义的运算规则中字母的顺序 . 【 补偿训练 】 投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为 m 和 n, 则复数 (m+ni)(n-mi) 为实数的概率为 ___________. 【 解析 】 因为 (m+ni)(n-mi)=2mn+(n 2 -m 2 )i 为实数 , 所以 n 2 =m 2 , 故 m=n, 则由列举法得出投掷结果共有 36 种可能，相同点数的 有 6 种，则概率为 答案： 类型二 复数代数形式的除法运算 【 典例 2】 (1) 如图，在复平面内，复数 z 1 ， z 2 对应的向量分别 是 则复数 对应的点位于 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 (2) 计算：① ② 【 解题探究 】 1. 复数 z 1 ， z 2 的代数形式为什么？ 2. 观察式子的特征，应如何计算？ 【 探究提示 】 1. 由复数的几何意义知， z 1 = － 2 － i,z 2 =i. 2. 第一个式子分子复杂，第二个式子分母复杂，可先化简再运算 . 【 自主解答 】 (1) 选 B. 由复数的几何意义知， z 1 = － 2 － i, z 2 =i ，所以 对应的点在第二象限 . 【 方法技巧 】 复数除法运算法则的应用 复数除法一般先写成分式形式 , 再把分母实数化 , 即分子、分母同乘以分母的共轭复数 , 若分母为纯虚数 , 则只需同乘以 i. 【 变式训练 】 (2014· 湖北高考 )i 为虚数单位， =( ) A.1 　　　 B.-1 　　　 C.i 　　　 D ． -i 【 解析 】 选 B. 　 【 补偿训练 】 已知复数 z=1-i, 则 =( ) A ． 2i B ． -2i C ． 2 D ． -2 【 解析 】 选 B. 将 z=1-i 代入 得， 类型三 共轭复数 【 典例 3】 (1)(2013· 山东高考 ) 复数 z 满足 (z-3)(2-i)=5(i 为 虚数单位 ) ，则 z 的共轭复数 为 ( ) A.2+i B.2-i C.5+i D.5-i (2) 已知复数 z 的共轭复数为 且 求 z. 【 解题探究 】 1. 如何依据题中等式计算 z-3 的表达式？ 2. 复数 z 的代数表达式如何？如何求复数 z 的实部与虚部？ 【 探究提示 】 1. 2. 复数 z 的代数表达式为 a+bi(a,b∈R), 可用复数相等的方法 建立 a,b 的方程组，求解 a,b. 【 自主解答 】 (1) 选 D. 因为 (z-3)(2-i)=5 ， 所以 所以 (2) 设 z ＝ a ＋ bi(a ， b∈R) ，则 又 所以 a 2 ＋ b 2 － 3i(a ＋ bi) ＝ 所以 a 2 ＋ b 2 ＋ 3b － 3ai ＝ 1 ＋ 3i ， 所以 所以 所以 z ＝－ 1 ，或 z ＝－ 1 － 3i. 【 方法技巧 】 化复为实 当已知条件出现复数等式时，常设出复数的代数形式，利用相等复数的充要条件转化为实数问题求解． 【 变式训练 】 (2014· 陕西高考 ) 已知复数 z=2-i ，则 z· 的 值为 ( ) A.5 　　　 B. 　　　 C.3 　　　 D. 【 解题指南 】 求出复数 z 的共轭复数，代入表达式求解即可 . 【 解析 】 选 A. 由已知得 =2+i ，则 z · =(2-i)(2+i)=2 2 -i 2 =5 ， 故 A 正确 . 【 补偿训练 】 复数 的共轭复数对应的点位于 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C. 第三象限 D ．第四象限 【 解析 】 选 A. 因为 所以其共轭复数为 对应的点为 故选 A. 【 拓展类型 】 复数的正整数指数幂的应用 【 备选例题 】 (1)(2014· 滨州高二检测 ) 复数 的共轭复数在复平面内对应的点在 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 (2) 设 (i 是虚数单位 ) ，求 z+2z 2 +3z 3 +4z 4 +5z 5 +6z 6 . 【 解析 】 (1) 选 C. 所以 其对应的点在第三象限 . (2) 设 S=z+2z 2 +3z 3 +4z 4 +5z 5 +6z 6 ,zS=z 2 +2z 3 +3z 4 +4z 5 +5z 6 +6z 7 ， 两式相减得， (1-z)S=z+z 2 +z 3 +z 4 +z 5 +z 6 -6z 7 = 所以 因为 故 z 6 =1, 所以 【 方法技巧 】 复数的正整数指数幂的应用 (1) 求和公式：等差、等比数列的求和公式在复数集 C 中仍 适用， i 的周期性要记熟， 即 i n ＋ i n ＋ 1 ＋ i n ＋ 2 ＋ i n ＋ 3 ＝ 0(n∈N * ) ． (2) 熟记结论：记住以下结果，可提高运算速度． ① i 4n-3 ＝ i ， i 4n-2 ＝ -1 ， i 4n-1 ＝－ i ， i 4n ＝ 1(n∈N * ) 【 规范解答 】 复数的计算 【 典例 】 (12 分 ) 已知 z 2 =8+6i ，求 【 审题 】 抓信息，找思路 【 解题 】 明步骤，得高分 【 点题 】 警误区，促提升 失分点 1 ：不化简而求值 若不进行①处与其后的变形化简，而直接求出 z 的值后代入，则会使运算变得非常烦琐，进而出现错误而不得分 . 失分点 2 ：漏解 在②处方程组的解应为两组，求解时需注意不要漏掉一组解而使本例的最终结果漏解，否则最多得 6 分 . 失分点 3 ：化代数式 在③处，对于复数运算的最终结果，要把它化为 z=a+bi(a,b∈R) 的形式，这是复数运算的基本要求 . 【 悟题 】 提措施，导方向 1 ．差异分析的意识 在解题时，要善于分析条件与结论之间的差异，通过差异分析构建二者之间的联系，努力促使二者向统一的方向转化，往往能够使问题获得简捷的解决，如本例的条件为 z 2 =8+6i ，这就要根据这个条件求出 z ，然后再求解 . 2 ．化繁为简的意识 对于条件求值问题，何时使用条件，应根据具体的问题而定，但在一般情况下，应该先化简再求值，如本例需要把所求值的代数式先化简，然后再把复数 z 代入求解，而不是直接代入求解 . 【 类题试解 】 (2013· 天津高考改编 ) 已知 a,b∈R,i 是虚数单位 . 若 (a+i)(1+i)=bi, 求 a+bi. 【 解析 】 因为 (a+i)(1+i)=a － 1+(a+1)i=bi ，所以 a － 1=0, a+1=b ，即 a=1,b=2 ，所以 a+bi=1+2i.