数学（理）卷·2019届甘肃省临夏中学高二上学期期末考试（2018-01） 6页

甘肃省临夏中学 2017—2018 学年第一学期期末考试 卷 年级：高二 科目：数学（理） 座位号 一、选择题(每小题 4 分，共 40 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求) 1.命题“ 012, 0 2 00  xxRx ”的否定是（ ） A． 012, 0 2 00  xxRx ， B． 012, 0 2 00  xxRx C． x R  ， 2 2 1 0x x   D． x R  ， 2 2 1 0x x   2.设 l、m、n 均为直线，其中 m、n 在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m 且 l⊥n”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.等轴双曲线 2 2 1x y  上一点 P 与两焦点 1 2F F， 的连线相互垂直,则 1 2PF F△ 的面积 为( ) A． 2 1 B． 2 C． 4 D．1 4.抛物线 2y x  的焦点坐标为( ) A． )0,4 1( B． )0,4 1( C． )4 1,0( D． )4 1,0(  5.已知 A、B、C 三点不共线，对于平面 ABC 外的任一点 O，下列条件中能确定点 M 与点 A、B、C 一定共面的是( ) A．OM→ ＝OA→ ＋OB→ ＋OC→ B．OM→ ＝2OA→ －OB→ －OC→ C．OM→ ＝OA→ ＋1 2OB→ ＋1 3OC→ D．OM→ ＝1 2OA→ ＋1 3OB→ ＋1 6OC→ 6.对 Rk  ，方程 122  kyx 所表示的曲线不可能是( ) A．两条直线 B．圆 C．椭圆或双曲线 D．抛物线 7.已知空间向量 a=(1，n，2)，b=(-2，1，2)，若 2a-b 与 b 垂直，则|a|=( ) A． 2 35 B. 2 21 C. 2 37 D. 2 53 8.正三棱柱 111 CBAABC  的各棱长都为 2, FE, 分别是 11, CAAB 中点,则 EF 的长是 ( ) A.2 B. 3 C. 5 D. 7 9.过抛物线 xy 82  的焦点 F 作倾斜角为 135°的直线，交抛物线于 A，B 两点，则弦 AB 的长( ) A．4 B.8 C.12 D.16 10.长方体 1111 DCBAABCD  中， 21  AAAB ， 1AD ，E 为 1CC 的中点，则异面直 线 1BC 与 AE 所成角的余弦值为( ) A. 10 10 B. 10 30 C. 10 152 D. 10 103 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.请把正确答案填在题中横线上) 11.已知双曲线的渐近线方程为 xy 3 ，焦点坐标为 )0,4(),0,4( ，则双曲线方程为 ____________. 12.若 a )1,3,2(  ，b )3,0,2( ，c )2,2,0( ，则 a ( b+c ) =___________. 13.已知在空间四边形 OABC 中，OA→ ＝a、OB→ ＝b、OC→ ＝c，点 M 在 OA 上，且 OM＝3MA， N 为 BC 中点，用 a、b、c 表示MN→ ，则MN→ 等于_____________. 14.在三棱锥 ABCP 中， BCAB  ，AB＝BC＝1 2PA，点 DO, 分别是 AC、PC 的中点， OP⊥底面 ABC，则直线 OD 与平面 PBC 所成角的正弦值为______________. 一、解答题 (本大题共 4 小题，共 44 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程 或演算步骤) 15.(本小题满分 10 分) 已知 a =(1,5,-1),b =(-2,3,5), 若( k a+b) // (a -3b), 求 k 的值． 16.(本小题满分 10 分) 已知抛物线 xy 42  , 焦点为 F，从抛物线上一点 P 引抛物线准 线的垂线，垂足为 M, 且 5|| PF , 求 MPF 的面积． 17.(本小题满分 12 分) 已知直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，AA1 ＝4，D 是棱 AA1 的中点．如图所示. (1) 求证：DC1⊥平面 BCD ； (2) 求二面角 CBDA  的大小． 18.(本小题满分 12 分) 椭圆 )0(1: 2 2 2 2  bab y a xC 过点 )2 3,1( ，离心率为 2 1 ，左、右 焦点分别为 21, FF ，过 1F 的直线交椭圆于 BA, 两点． (1) 求椭圆 C 的方程； (2) 当 ABF2 的面积为12 2 7 时，求直线的方程． 甘肃省临夏中学 2017—2018 学年第一学期期末考 试卷 高二数学（理科） 答案 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分）． 题号 1 2 3 4 5 选择题得分 选项 C A D Ｄ D 题号 6 7 8 9 10 选项 D D C D B 二、填空题（每小题 4 分，共 16 分）． 11． 1124 22  yx 12． 3_ 13． －3 4a＋1 2b＋1 2c_ 14． 210 30 14. [解析]∵OP⊥平面 ABC，OA＝OC，AB＝BC， ∴OA⊥OB，OA⊥OP，OB⊥OP. 以 O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 O－xyz. 设 AB＝a，则 A( 2 2 a,0,0)、B(0， 2 2 a,0)、C(－ 2 2 a,0,0)． 设 OP＝h，则 P(0,0，h)， ∵PA＝2a，∴h＝ 14 2 a. ∴OD→ ＝(－ 2 4 a,0， 14 4 a)． 由条件可以求得平面 PBC 的法向量 n＝(－1,1， 7 7 )， ∴cos〈OD→ ，n〉＝ OD→ ·n |OD→ ||n| ＝ 210 30 . 设 OD 与平面 PBC 所成的角为θ， 则 sinθ＝|cos〈OD→ ，n〉|＝ 210 30 . 三、解答题（共 44 分）． 15． 3 1k 16. [ 解 析 ] 设 ),( 00 yxP ， 由 抛 物 线 方 程 xy 42  得 准 线 方 程 ： 1x ， 由 5||||  PMPF 得 40 x ， 40 y ，所以 10452 1 MPFS 17．[解析](1)证明：如图所示建立空间直角坐标系． 由题意知 C(0,0,0)、A(2,0,0)、B(0,2,0)、D(2,0,2)、A1(2,0,4)、C1(0,0,4)． ∴DC1 → ＝(－2,0,2)，DC→ ＝(－2,0，－2)，DB→ ＝(－2,2，－2)． ∵DC1 → ·DC→ ＝0，DC1 → ·DB→ ＝0. ∴DC1⊥DC，DC1⊥DB. 又∵DC∩DB＝D， ∴DC1⊥平面 BDC. (2)设 n＝(x，y，z)是平面 ABD 的法向量． 则 n·AB→＝0，n·AD→ ＝0， 又AB→＝(－2,2,0)，AD→ ＝(0,0,2)， ∴ －2x＋2y＝0， 2z＝0， 取 y＝1，得 n＝(1,1,0)． 由(1)知， DC1 → ＝(－2,0,2)是平面 DBC 的一个法向量， 记 n 与DC1 → 的夹角为θ， 则 cosθ＝ －2 2·2 2 ＝－1 2 ， 结合三棱柱可知，二面角 A－BD－C 是锐角， ∴所求二面角 A－BD－C 的大小是π 3. 18．[解析](1)∵椭圆 C：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)过点(1，3 2)，∴ 1 a2 ＋ 9 4b2 ＝1①， 又∵离心率为1 2 ，∴c a ＝1 2 ，∴b2 a2 ＝3 4 ②， 联立①②得 a2＝4，b2＝3. ∴椭圆的方程为：x2 4 ＋y2 3 ＝1. (2)①当直线的倾斜角为π 2 时，A(－1，3 2)，B(－1，－3 2)， S△ABF2＝1 2|AB|×|F1F2|＝1 2 ×3×2≠12 2 7 ，不适合题意． ②当直线的倾斜角不为π 2 时，设直线方程 l：y＝k(x＋1)， 代入x2 4 ＋y2 3 ＝1，得：(4k2＋3)x2＋8k2x＋4k2－12＝0 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝ －8k2 4k2＋3 ， x1x2＝4k2－12 4k2＋3 ， ∴|AB|＝ 1＋k2[x1＋x22－4x1x2]＝ 1＋k2[ 64k4 4k2＋32 －44k2－12 4k2＋3 ]＝121＋k2 4k2＋3 . 点 F2 到直线 l 的距离 d＝ |k＋k| 1＋k2 ， ∴S△ABF2＝1 2|AB|·d＝12|k| 1＋k2 4k2＋3 ＝12 2 7 ， 化为 17k4＋k2－18＝0，解得 k2＝1，∴k＝±1， ∴直线方程为：x－y＋1＝0 或 x＋y＋1＝0.