河南省八市重点高中2019-2020学年高二12月“领军考试”数学（文）试题 9页

‎2019-2020学年河南省八市重点高中联盟领军考试高二（上）12月月考数学试卷（文科）‎ 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 已知命题p：对任意，，则为 A. ，使得 B. ，使得 C. ，使得 D. ，使得 2. 已知是等差数列，且，，则 A. 2 B. ‎0 ‎C. D. ‎ 3. 已知，若终边上与原点不重合的点P在双曲线的一条渐近线上，则双曲线C的离心率为 A. B. C. 2 D. 4‎ 4. 若时不等式恒成立，则a的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 5. 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，若，则 A. B. C. D. ‎ 6. 已知命题p：不等式的解集为，命题q：中，，则下列命题为真命题的是 A. B. C. D. ‎ 7. 若，则是的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知数列是等比数列，若，，则 A. 3 B. ‎9 ‎C. 3或 D. 1或9‎ 9. 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设的面积为S，若，则的取值范围为 A. B. C. D. ‎ 10. 过抛物线C：的焦点F的直线l与C交于A，B两点，则取得最小值时，‎ A. B. C. D. ‎ 11. 若直线与椭圆交于A，B两点，若对于任意实数k，x轴上存在点，使得直线AM，BM关于x轴对称，则 A. B. C. 2 D. ‎ 12. 斐波那契数列是数学史上一个著名数列，它是意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖时发现的，若数列满足，，，则称数列为斐波那契数列，该数列有很多奇妙的性质，如根据可得：，类似的，可得：‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ 13. 已知实数x，y满足，则的最小值是______；‎ 14. 已知的三边分别为x，y，，其中，若，则______；‎ 15. 若对任意a，b，，不等式恒成立，则实数m的取值范围是______；‎ 16. 已知数列前n项和是，且满足，，，则设数列的前n项和，则______．‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ 17. 已知命题p：关于x的方程在上有实根；命题q：方程表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆． 若p是真命题，求a的取值范围； 若是真命题，求a的取值范围．‎ ‎2019-2020学年河南省八市重点高中联盟领军考试高二（上）12月月考数学试卷（文科）‎ 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 已知命题p：对任意，，则为 A. ，使得 B. ，使得 C. ，使得 D. ，使得 2. 已知是等差数列，且，，则 A. 2 B. ‎0 ‎C. D. ‎ 3. 已知，若终边上与原点不重合的点P在双曲线的一条渐近线上，则双曲线C的离心率为 A. B. C. 2 D. 4‎ 4. 若时不等式恒成立，则a的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 5. 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，若，则 A. B. C. D. ‎ 6. 已知命题p：不等式的解集为，命题q：中，，则下列命题为真命题的是 A. B. C. D. ‎ 7. 若，则是的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知数列是等比数列，若，，则 A. 3 B. ‎9 ‎C. 3或 D. 1或9‎ 9. 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设的面积为S，若，则的取值范围为 A. B. C. D. ‎ 10. 过抛物线C：的焦点F的直线l与C交于A，B两点，则取得最小值时，‎ A. B. C. D. ‎ 11. 若直线与椭圆交于A，B两点，若对于任意实数k，x轴上存在点，使得直线AM，BM关于x轴对称，则 A. B. C. 2 D. ‎ 12. 斐波那契数列是数学史上一个著名数列，它是意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖时发现的，若数列满足，，，则称数列为斐波那契数列，该数列有很多奇妙的性质，如根据可得：，类似的，可得：‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ 13. 已知实数x，y满足，则的最小值是______；‎ 14. 已知的三边分别为x，y，，其中，若，则______；‎ 15. 若对任意a，b，，不等式恒成立，则实数m的取值范围是______；‎ 16. 已知数列前n项和是，且满足，，，则设数列的前n项和，则______．‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ 17. 已知命题p：关于x的方程在上有实根；命题q：方程表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆． 若p是真命题，求a的取值范围； 若是真命题，求a的取值范围．‎ ‎ ‎ 1. 若对于任意a，，当时不等式恒成立，求x的取值范围． ‎ 2. 已知直线与抛物线C：交于点A，B． 且，求抛物线C的方程； 若，求证：为坐标原点． ‎ 3. 已知数列中，，满足，，且是等差数列． 求数列的通项； 求数列的前n项和为． ‎ 4. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． 求A； 若，，点D在BC边上，且，求AD的长． ‎ 5. 已知椭圆C：的离心率为且经过点 求椭圆C的方程； 若椭圆C的左右顶点分别为A，B，离心率，过点A斜率为的直线l交椭圆C与点D，交y轴于点是否存在定点Q，对于任意的都有，若存在，求的面积的最大值；若不存在，说明理由． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】B ‎ ‎【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题， 所以命题p：对任意，， 则为：，使得． 故选：B． 直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可． 本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查． 2.【答案】B ‎ ‎【解析】解：依题意，，， ， ， ， 故选：B． 是等差数列，知道首项，根据即可求出公差，进而得到． 本题考查了等差数列的通项公式，主要考查计算能力，属于基础题． 3.【答案】C ‎ ‎【解析】解：双曲线的一条渐近线为， 由题意可得， 则． 故选：C． 求出双曲线的一条渐近线方程，由三角函数的诱导公式可得，再由双曲线的离心率公式，可得所求值． 本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查化简运算能力，属于基础题． 4.【答案】D ‎ ‎【解析】解：， ， ， ． 故选：D． 由题意，只需满足，解不等式组即可得到答案． 本题考查不等式的恒成立问题，考查不等式的求解，属于基础题． 5.【答案】A ‎ ‎【解析】解：， 边化角得：， ， ， ， 又， ， ， ， 故选：A． 利用正弦定理边化角，化简已知式子即可求出cosC． 本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题． 6.【答案】B ‎ ‎【解析】解：依题意，不等式的解集为，故命题p为假命题， 在中，，由正弦定理，，所以，即命题q为真命题， 所以为假命题；为真命题；为假命题；为假命题． 故选：B． 分别判断命题p和命题q的真假，再结合复合命题的真值表，即可得到结论． 本题考查了一元二次不等式的解法，考查了正弦定理，考查了复合命题的真假，主要考查推理能力和运算能力，属于基础题． 7.【答案】C ‎ ‎【解析】解：； 而， ，， ； 故当时，则是的充要条件． 故选：C． 根据得它的等价不等式；而的等价不等式为，由于，，利用充分必要条件的定义判断即可． 本题考查了不等式的等价转化，及充分必要条件的定义，属于基础题． 8.【答案】D ‎ ‎【解析】解：依题意，数列是等比数列， ，得， ，解得或， 故选：D． 根据等比中项的性质，，求出，进而将原式转化为和的方程组，进而得到． 本题考查了等比中项的性质，考查方程思想的应用，考查计算能力，属于基础题． 9.【答案】A ‎ ‎【解析】解：，，， 得，， 因为，故C， ， 因为， 所以， 故， 故选：A． 利用余弦定理和面积公式代入化简，求出C，把边化角，求出范围即可． 考查解三角形的正弦定理和余弦定理的应用，三角函数求范围，中档题． 10.【答案】B ‎ ‎【解析】解：抛物线的焦点； 若直线l没有斜率，由直线l经过可知直线l的方程为， 在中令，得， 此时， ； 若直线l有斜率，设直线l的方程为代入到抛物方程，得， 显然，否则直线l和抛物线不可能有两个交点； 设，， 则； 由抛物线的定义可得，， 所以，当且仅当时取等号． 故选：B． 抛物线上点到焦点的距离，从而转化成求的最小值． 本题考查的是直线与抛物线的综合运用、韦达定理、基本不等式等；考查学生对知识点灵活运用、计算能力，属于中档题． 11.【答案】C ‎ ‎【解析】解：设，， 联立，消去y，得， 由韦达定理得，， 直线AM，BM关于x轴对称，则， 即，化简得， 把，代入得： ， 化简得，即， 由k的任意性，， 故选：C． 设，，直线与椭圆联立解方程组，根据直线AM，BM关于x轴对称，则，代入化简求出即可． 考查直线和椭圆的关系，圆锥曲线的定点问题，中档题． 12.【答案】B ‎ ‎【解析】解：根据题意，数列满足，即， 两边同乘以，可得， 则； 故选：B． 根据题意，分析可得，进而变形可得，据此可得，计算可得答案． 本题考查数列的递推公式与数列的求和，关键是对数列的递推公式的变形． 13.【答案】 ‎ ‎【解析】解：画出可行域，将变形得，画出对应的直线， 由图知当直线过时z 最小为； 则的最小值是． 故答案为：． 先画出可行域；将目标函数变形；画出目标函数对应的直线；将直线平移由图求出函数的范围即可． 画不等式组表示的平面区域、利用图形求二元函数的最值，是中档题． 14.【答案】 ‎ ‎【解析】解：因为，故，，故，， 所以，根据正弦定理有，，， 所以由余弦定理得， 故答案为． 先比较，x，y，的大小，根据正弦定理得出a，b，c三边，再利用余弦定理即可得出结果． 本题考查了正弦定理与余弦定理的运用． 15.【答案】 ‎ ‎【解析】解：，当且仅当“”时取等号， ，即， 或． 故答案为：． 通过对变形，利用基本不等式可得，由题意可知，解不等式即可． 本题考查基本不等式的运用，考查不等式的解法及恒成立问题，属于基础题． 16.【答案】710 ‎ ‎【解析】解：，，， 可得，，， ，，，，， 可得从第四项起为周期为3的数列， 可得， 故答案为：710． 计算数列的前几项，得到从第四项起为周期为3的数列，即可得到所求和． 本题考查数列的求和，归纳出数列的周期是解题的关键，考查运算能力，属于基础题． 17.【答案】解：令， 则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 的最小值， 故若p为真命题，则； 是真命题，则p，q均为真命题， q为真命题，即方程表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆， 则， 由知，p为真命题时， 所以是真命题，则． ‎ ‎【解析】令，求出的值域，即可得到a的取值范围； 命题是真命题，则p，q均为真命题，求出q为真命题时a的范围，结合即可得到结论． 本题考查了复合命题的真假，考查了函数的值域，椭圆的方程，主要考查逻辑推理能力和计算能力，属于中档题． 18.‎ ‎【答案】解：由柯西不等式有，因为，故不能取等号， 又不等式恒成立， ，解得或． 故x的取值范围为． ‎ ‎【解析】由柯西不等式可知，由对数函数的性质可知，解出即可求得答案． 本题主要考查柯西不等式的运用，同时也考查了对数函数的图象及性质，不等式的解法等基础知识，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题． 19.【答案】解：直线与抛物线C：联立， 可得，设，， 可得，， ， 解得，即抛物线的方程为； 证明：由联立抛物线方程， 可得， 设，，可得，， 即有--， 即有， 可得． ‎ ‎【解析】联立直线和抛物线方程，可得x的二次方程，应用韦达定理和弦长公式，解方程可得p，进而得到所求抛物线的方程； 联立抛物线方程，可得x的二次方程，应用韦达定理和两直线垂直的条件，化简计算可得证明． 本题考查抛物线的方程和应用，考查直线方程和抛物线方程联立，应用韦达定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件，考查化简运算能力，属于中档题． 20.【答案】解：，满足，，且是公差为d的等差数列， 可得，，则， 可得； 则； 前n项和， ， 相减可得 ， 化简可得． ‎ ‎【解析】设是公差为d的等差数列，运用等差数列的通项公式可得，即可得到； 运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和． 本题考查等差数列的通项公式和等比数列的求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题． 21.‎ ‎【答案】解：， ， 边化角得：， ，， ， ， ， 又，， ，， 又，； ，，， 由余弦定理得：， ，， ， 在三角形ABD中，由余弦定理得：，且， ． ‎ ‎【解析】先切化弦，再利用正弦定理边化角化简，即可求出角A； 在三角形ABC中由余弦定理求出a，再求出cosB的值，再在三角形ABD中，由余弦定理即可求出AD的值． 本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，是中档题． 22.【答案】解：，设，，则，， 点代入方程得，，， 所以，，所以椭圆的方程为； 设直线AE：，不妨设，，， 与椭圆联立，消去y，得， 由，得，， 由，，得， 即， 化简得， 由k的任意性，，，所以， ，当且仅当时，取等号， 故当时，的面积的最大值为． ‎ ‎【解析】利用方程求出a，b代入即可； 设出直线AE，联立解方程求出D的坐标，根据，求出，由k的任意性，，，所以，再列出面积的方程，利用基本不等式求出最大值，即可． 考查了椭圆的性质，求椭圆的方程，本题是一道直线和椭圆的综合题，最大的亮点是求出一个顶点，再求面积的最大值，难度较大． ‎