2018-2019学年湖北省普通高中联考协作体高一（上）期中数学试题（解析版） 15页

‎2018-2019学年湖北省普通高中联考协作体高一（上）期中数学试题（解析版）‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ ‎1.已知全集U={1，2，3，5，6，7，8}，集合A={1，3，5}，B={5，6，7，8），则A∩（∁UB）=（　　）‎ A. B. C. D. 3，‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据交集与补集的定义，计算即可．‎ ‎【详解】全集U={1，2，3，5，6，7，8}，A={1，3，5}，B={5，6，7，8）， ‎ 则∁UB={1，2，3}， ‎ ‎∴A∩（∁UB）={1，3}． ‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．‎ ‎2.设集合A={x -l＜x≤4}，B={x 0＜x＜5}，则A∩B=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 进行交集的运算即可．‎ ‎【详解】因为集合A={x -l＜x≤4}，B={x 0＜x＜5}，‎ 所以A∩B={x 0＜x≤4}． ‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】考查描述法的定义，以及交集的运算．‎ ‎3.函数f（x）=的定义域为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．‎ ‎【详解】要使函数f（x）有意义，需满足，解得–30.‎ ‎∴B=.‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】考查描述法的定义，对数函数和指数函数的单调性，以及交集的运算．‎ ‎19.已知二次函数f（x）满足f（0）=2，f（x）-f（x-1）=2x+1，求函数f（x2+1）的最小值．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设f（x）=ax2+bx+c，a≠0，推导出f（0）=c=2，2ax-a+b=2x+1，从而f（x）=x2+2x+2，由此能求出函数f（x2+1）的最小值．‎ ‎【详解】解：∵二次函数f（x）满足f（0）=2，f（x）-f（x-1）=2x+1，‎ ‎∴设f（x）=ax2+bx+c，a≠0，‎ ‎∴f（0）=c=2． ‎ ax2+bx+c-a（x-1）2-b（x-1）-c=2x+1．‎ ‎∴2ax-a+b=2x+1，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴f（x）=x2+2x+2， ‎ 令t=x2+1，则t≥1．‎ 函数f（x2+1）即为f（t）=t2+2t+2=（t+1）2+1，‎ 又f（t）在[1，+∞）上单调递增．‎ ‎∴f（t）min=f（1）=5，‎ ‎∴函数f（x2+1）的最小值为5．‎ ‎【点睛】本题考查函数的最小值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．‎ ‎20.已知奇函数f（x）=a-（a∈R，e为自然对数的底数）．‎ ‎（1）判定并证明f（x）的单调性；‎ ‎（2）若对任意实数x，f（x）＞m2-4m+2恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）上的递增函数，证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）用定义证明； ‎ ‎（2）先用奇函数性质求出a=1，再根据单调性求出函数最值，最后用最值使不等式成立即可．‎ ‎【详解】解：（1）f（x）是R上的单调递增函数．‎ 证明：因f（x）的定义域为R，任取x1，x2∈R且x1＜x2．‎ 则f（x2）-f（x1）=-=．‎ ‎∵y=ex为增函数，∴＞＞0，∴+1＞0，+1＞0．‎ ‎∴f（x2）-f（x1）＞0，∴f（x2）＞f（x1），‎ 故f（x）是R上的递增函数．‎ ‎（2）∵f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x），‎ ‎∴a-=-a+，∴2a=2，∴a=1，‎ ‎∴f（x）=1-，‎ 令t=ex+1，∵ex＞0，∴t＞1，‎ 又g（t）=1-在（1，+∞）上为增函数，‎ ‎∴-1＜g（t）＜1，即-1＜f（x）＜1，‎ 当f（x）＞m2-4m+2对任意实数x恒成立，‎ 有m2-4m+2≤-1，即m2-4m+3≤0，‎ ‎∴1≤m≤3，‎ 故实数m的取值范围是[1，3 ．‎ ‎【点睛】本题考查了函数奇偶性、单调性、不等式恒成立．属中档题．‎ ‎21.我国开展扶贫T作始于上世纪80年代中期，通过近30年的不懈努力，很多贫困地区和家庭都已脱贫致富，扶贫T作取得了举世公认的辉煌成就．2013年11月，习总书记又作出了“精准扶贫”的重要指示，我国于2014年开始全面推动了“精准扶贫”的工作．某单位甲在开展“精准扶贫”中，为帮扶“精准扶贫”对象--农户乙早日脱贫致富，与乙协商如下脱贫致富方案：让乙种植一年生易种药材，当乙种植面积不超过4亩时，甲投入2万元的成本；当乙种植面积超过4亩时，每超过1亩（不足1亩时按1亩计算），甲再追加投入2千元的成本，且甲投入的成本乙必须全部用于该药材种植．而每年该药材的总收益R（x）（单位：元）满足R（x）=-100x2+3200x+45000（其中x为种植药材面积，其单位为亩，且x∈N ，x≤20）．‎ ‎（l）试表示甲这一年扶贫乙时所投入的成本g（x）（单位：元）关于种植该药材面积x的函数；‎ ‎（2）试表示乙这一年的纯收益f（x）（单位：元）（注：纯收益一总收益一成本），当乙种植多少亩该药材时，才能使他当年的纯收益最大？其最大纯收益为多少元？‎ ‎【答案】（1）；（2）当乙种植亩时，纯收益最大，最大值为元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接由题意可得g（x）关于种植该药材面积x的函数； ‎ ‎（2）写出一年的纯收益f（x），利用配方法求出两段的最值，取最大值得答案．‎ ‎【详解】解：（1）由题意，g（x）=‎ ‎=；‎ ‎（2）f（x）=．‎ 当0＜x≤4时，f（x）为增函数，∴f（x）max=f（4）=36200；‎ 当4＜x≤20时，f（x）=-100（x-6）2+36600．‎ 故当x=6时，f（x）max=36600．‎ 又36600＞36200．‎ 故当乙种植该药材的面积为6亩时，其纯收益最大，且最大纯收益36600元．‎ ‎【点睛】本题考查简单的数学建模思想方法，训练了利用配方法求函数的最值，是中档题．‎ ‎22.已知函数f（x）=ax2+2ax+3-b（a≠0，b＞0）在[0，3 上有最小值2，最大值17，函数g（x）=．‎ ‎（l）求函数g（x）的解析式；‎ ‎（2）证明：对任意实数m，都有g（m2+2）≥g（2 m +l）；‎ ‎（3）若方程g（ log2x-1 ）+3 （-1）=0有四个不同的实数解，求实数 的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）只需要利用好所给的在区间[0，3 上有最大值4，最小值1，即可列出方程求的两个未知数； ‎ ‎（2）可判断g（x）在（0，+∞）上为增函数，又（m2+2）-（2 m +l）=（ m -l）2≥0，即可判定； ‎ ‎（3）可直接对方程进行化简、换元结合函数图象即可获得问题的解答．‎ ‎【详解】解：（1）∵f（x）=ax2+2ax+3-b=a（x+1）2+3-a-b，故抛物线的对称轴为x=-1．‎ ‎①当a＞0时，抛物线开口向上，∴f（x）在[0，3 上为增函数．‎ f（x）min=f（0）=3-b=2，f（x）max=f（3）=15a-b+3=17．‎ ‎∴a=1，b=1‎ ‎②当a＜0时，抛物线开口向下，f（x）在[0，3 上为减函数．‎ f（x）min=f（3）=15a-b+3=2，f（x）max=f（0）=3-b=17．‎ ‎∴a=-1，b=-14．又b＞0，∴a=1，b=1符合题意 ‎∴f（x）=x2+2x+2．g（x）=x-+2． ‎ ‎（2）证明：任取x2＞x1＞0，则g（x2）-g（x1）=（ ‎ ‎∵x2-x1＞0，x1x2＞0．∴g（x2）-g（x1）＞0，．‎ 故g（x）在（0，+∞）上为增函数．‎ 又（m2+2）-（2 m +l）=（ m -l）2≥0；‎ ‎∴m2+2≥（2 m +l）>0．∴g（m2+2）≥g（2 m +l）．‎ ‎（3）令t= log2x-1 ，则方程为g（t）+3 （-1）=0，即t-+2+3 （-1）=0‎ 可化为t2+（2-3 ）t+3 -2=0 （△）．‎ 因为当t>0时，t= log2x-1 有两个x,‎ 当t=0时，t= log2x-1 有一个x，‎ 当t<0时，t= log2x-1 无解 当原方程有四个不同实数解时，关于t的（△）方程有两个不相等的正实根．‎ ‎∴，即 ∴ ＞2．‎ 故实数 的取值范围为（2，+∞）．‎ ‎【点睛】本题考查的是函数与方程以、恒成立问题以及解的个数的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、恒成立的思想以及数形结合和问题转化的思想．属于中档题．‎