四川省成都市新都区2020届高三诊断测试文科数学试题 22页

新都区 2020 届高三毕业班摸底测试 数学试题（文） 本试卷分选择题和非选择题两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟． 注意事项： 1．答题前，务必将姓名、考场号、座位号填写在答题卡规定的位置上，并将考生条形码粘贴 在规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮 擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置 上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回． 一、单选题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．每小题有且只有一个正确选项．） 1.已知全集 U＝R，集合 ，则图中的阴影部分表示的集合 为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 B={x|x2﹣x＞0}={x|x＞1 或 x＜0}， 由题意可知阴影部分对应的集合为∁U（A∩B）∩（A∪B）， ∴A∩B={x|1＜x≤2}，A∪B=R， 即∁U（A∩B）={x|x≤1 或 x＞2}， ∴∁U（A∩B）∩（A∪B）={x|x≤1 或 x＞2}， 即（﹣∞，1]U（2，+∞） 故选：A { } 20 2 , { 0}A x x B x x x= ≤ ≤ = − > ( 1] (2, )−∞ ∪ +∞， ( 0) (1 2)−∞ ∪， ， [1 )2， (1 2]， 2.设 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 对复数 进行运算得 ，从而求得 . 【详解】因为 ， 所以 ，所以 . 故选：B. 【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数和模的概念，考查基本运算求解能力. 3.已知数列 为等差数列， 为其前 n 项和， ，则 （ ） A. 2 B. 7 C. 14 D. 28 【答案】D 【解析】 【分析】 根据等差数列通项公式，将等式 化成 ，再由等差数列的前 项和公式 得 . 【详解】因为 ， 所以 ， 所以 . 故选：D. 【点睛】本题考查等差数列通项公式、前 项和公式，考查基本运算求解能力. 4.已知 ，则 （ ） 1 21 iz ii −= ++ z z+ =— 1 i− − 1 i+ 1 i− 1 i− + z z i= | | 1z z i+ = + 21 (1 ) 22 2 21 (1 )(1 ) 2 i i iz i i i ii i i − − −= + = + = + =+ + − | | 1z = | | 1z z i+ = + { }na nS 5 6 32 a a a+ = + 72S = 5 6 32 a a a+ = + 4 2a = n 7 42S 2 7 28a= ⋅ = 5 6 32 a a a+ = + 1 1 1 1 42 4 5 2 3 2 2a d a d a d a d a+ + = + + + ⇒ + = ⇒ = 7 42S 2 7 28a= ⋅ = n 2sin cos 3 α α+ = sin 2α = A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 直接对等式两边平方，利用倍角公式得 的值. 【详解】因为 ， 所以 . 故选：A. 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系、倍角公式，考查基本运算求解能力. 5.已知定义在 R 上的函数 在 单调递减，且满足对 ，都有 ，则符合上述条件的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意可知函数要满足为偶函数且在 单调递减，对解析式进行逐个验证. 【详解】对 A，函数 为偶函数，但在 单调递增， 故 A 错误； 对 B，函数 为偶函数，且在 单调递减，故 B 正确； 对 C，函数 的定义域为 ，不关于原点对称，不具有奇偶性， 故 C 错误； 对 D，函数 为偶函数，但在 不具有单调性，故 D 错误； 7 9 − 2 9 − 2 9 7 9 sin 2α 2sin cos 3 α α+ = 2 22 2 7(sin cos ) ( ) 1 2sin cos3 9 9sin 2α α α αα+ = ⇒ + = −=⇒ ( )f x (0,, )+∞ x R∀ ∈ ( ) ( ) 0f x f x− − = ( ) 2 1f x x x= + + 1( ) 2 x f x  =    ( ) ln 1f x x= + ( ) cosf x x= (0,, )+∞ ( ) 2 2 2 1, 0,1 1, 0. x x xf x x x x x x  + + ≥= + + =  − + < (0,, )+∞ 1( ) 2 x f x  =    (0, )+∞ ( ) ln 1f x x= + { | 1}x x ≠ − ( ) cosf x x= (0, )+∞ 故选：B. 【点睛】本题考查利用函数的解析式研究函数的单调性和奇偶性，考查数形结合思想的应用， 求解时要注意解析式含有绝对值时，要记得进行分类讨论. 6.已知定义在 R 上的函数 满足 ，且函数 在 上为单调递减 函数，若 ， ， ，则下面结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由条件得函数 关于直线 对称，且 ，再利用函数的单调性可 得 的大小关系. 【详解】因为 满足 ，所以 关于直线 对称， 因为 ， ， ， 所以 ， 因为 在 上为单调递减， 所以 . 因为 ， ， 所以 . 故选：C. 【点睛】本题考查指数函数的图象与性质、对数恒等式、函数的对称性、单调性，考查数形 结合思想的应用，在比较大小时要把自变量的值都化到同一单调区间内，再利用函数的单调 性进行大小比较. 7.已知 ， ，若不等式 恒成立，则 n 的最大值为（ ） A. 9 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】B ( )f x (3 ) (3 )f x f x− = + ( )f x ( )0,3 0.52a −= 2log 3b = ln 4c e= ( ) ( ) ( )f a f b f c< < ( ) ( ) ( )f c f a f b< < ( ) ( ) ( )f c f b f a< < ( ) ( ) ( )f a f c f b< < ( )f x 3x = 0 1,1 2, 4a b c< < < < = ( ), ( ), ( )f a f b f c ( )f x (3 ) (3 )f x f x− = + ( )f x 3x = 0.52a −= 2log 3b = ln 4c e= 0 1,1 2, 4a b c< < < < = ( )f x ( )0,3 a b< ( ) ( )f a f b> (4) (2)f f= ( ) (2)f b f> ( ) ( ) ( )f c f b f a< < 0a > 0b > 3 1 3 n a b a b + ≥ + 【解析】 【分析】 对不等式等价变形为 恒成立，利用基本不等式求右边式子的最小值，从而 求得 n 的最大值. 【详解】因为不等式 恒成立， 所以 恒成立. 因为 ，等号成立当且仅当 ， 所以 ，故 的最大值为 . 故选：B. 【点睛】本题考查不等式的恒成立问题、基本不等式求最值，考查逻辑推理能力和运算求解 能力，求解过程中利用基本不等式求最值要注意等号成立的条件. 8.函数 的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 考查该函数的奇偶性，在 处的取值以及该函数在 上的单调性可辨别出图象。 【 详 解 】 令 ， 定 义 域 为 ， ， 该函数为偶函数，且 ，排除 C 选项， 当 时， ，则 ， 3 1( )( 3 )n a ba b ≤ + + 3 1 3 n a b a b + ≥ + 3 1( )( 3 )n a ba b ≤ + + 3 1( )( 3 ) 6 6 6 129 aa ba b a b b+ + = + + ≥ + = 3a b= 12n ≤ n 12 3cos xy x e= − 0x = ( )0, ∞+ ( ) 3cos xf x x e= − R ( ) ( ) ( )3cos 3cosx xf x x e x e f x− = − − = − = ( ) 00 3cos0 2 0f e= − = > 0x > ( ) 3cos xf x x e= − ( ) 3sin xf x x e′ = − − 当 时， ， ，则 ， 当 时， ，则 ， 所以， 函数 在 上单调递减，符合条件的图象为 B 选项中的图象。 故选：B. 【点睛】本题考查利用函数解析式辨别函数的图象，一般从以下几个要素来进行分析：①定 义域；②奇偶性；③单调性；④零点；⑤函数值符号。在考查函数的单调性时，可充分利用 导数来处理，考查分析问题的能力，属于中等题。 9.在由正数组成的等比数列 中，若 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】 根据等比中项得 ，由对数相加真数相乘得 ， 将目标式化简后，利用诱导公式求得式子的值. 【详解】因为 ，所以 ， 所以 . 故选：D. 【点睛】本题考查等比中项性质、对数运算法则、诱导公式的综合运用，考查运算求解能力 和转化与化归思想. 10.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图 1 是八卦模型图，其平面图形记为图 2 中的正八边 形 ABCDEFGH，其中 ，则给出下列结论： ① ； ② ； 【 0 πx< < 3sin 0x− < 0xe− < ( ) 3sin 0xf x x e′ = − − < x π≥ 3>xe ( ) 3sin 3 0x xf x x e e′ = − − ≤ − < 3cos xy x e= − ( )0, ∞+ { }na 3 4 5 3a a a π= ( )3 1 3 2 3 7sin log log loga a a+ +…+ 1 2 3 2 − 1 2 − 3 2 3 4 3a π= 3 1 3 7 3 43 7 2log log log loga a a a=+ +…+ 3 4 5 3a a a π= 3 3 4 43 3a a π π= ⇒ = ( ) 7 3 1 3 42 3 7 3 3sin log log log si 2 7) s nn( i sinl 3og 3a a a a π π+ … = =+ =+ = | | 1OA = 2 2OA OD⋅ = −  2OB OH OE+ = −   ③ 在 向量上的投影为 ． 其中正确结论的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】 对①，利用数量积的定义计算；对②，先求 ，结合图象发现 的方 向与 是相反向量；对③，利用投影的定义求解. 【详解】对①， 的夹角为 ，所以 ，故① 正确； 对②， ，所以 ， ，利用向量的加法法则，由图可发现 的方向与 方向相反， 所以 ，故②正确； 对③， 在 向量上的投影为 ，因为 ，所以 ，故③错误. 故选：B. 【点睛】本题以数学文化为背景，考查向量的相关概念，向量数量积的定义、投影，考查数 形结合思想和运算求解能力，求解过程中要充分利用图形提取信息，特别对③可以减少计算 量. AH AB 2 2 − | | 2OB OH+ =  OB OH+  2OE ,OA OD  135 2| || | cos135 2OA OD OA OD⋅ = = −    2 22( ) 2 2OB OH OB OH OB OH+ = + + ⋅ =      | | 2OB OH+ =  | 2 | 2OE− = OB OH+  2OE 2OB OH OE+ = −   AH AB | | cos135AH  | | 1AH ≠ 2| | cos135 2AH ≠ − 11.已知定义在 上的函数 ，且 ，若方程 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 方程 有两个不相等的实数根 函数 与函数 图象有两个 交点，分别作出两个函数图象，通过观察图象得到 的取值. 【详解】方程 有两个不相等的实数根 函数 与函数 图 象有两个交点. 因为 ，所以函数 的周期 ， 所以函数 的周期 ， 因为函数 ，函数 的图象如图所示： 观察图象，当直线的斜率为 时，两个函数图象有且仅有两个交点， 结合选项和图象分析，所以实数 k 的取值集合是 . 故选：C. 【点睛】本题考查函数的零点与两个函数图象交点横坐标的等价关系、函数的周期，考查转 R ( ) [ ) [ ) 2 2 2, 0,1 2 , 1,0 x xf x x x  + ∈=  − ∈ − ( ) ( )2f x f x+ = ( ) 2 0f x kx− − = 1,13     1 1,3 3  −   { 1,1}− 11, 3  − −   ( ) 2 0f x kx− − = ⇔ ( ) 2y f x= − y kx= k ( ) 2 0f x kx− − = ⇔ ( ) 2y f x= − y kx= ( ) ( )2f x f x+ = ( )y f x= 2T = ( ) 2y f x= − 2T = ( ) [ ) [ ) 2 2 , 0,12 , 1,0 x xf x x x  ∈− = − ∈ − y kx= 1k = ± { 1,1}− 化与化归思想、数形结合思想的灵活运用，求解时要注意作图的准确性. 12.已知定义在 R 上的奇函数 ，对任意 且 ，都有 ，若不等式 对 恒成立，则实数 a 的取值 范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据函数的奇偶性、单调性，将不等式 化成 在 恒成立，接利用参变分离、构造函数，求得 的取值范围. 【详解】由题意知，函数在 单调递减， 因为 为奇函数，所以 在 R 上单调递减. 因为 对 恒成立， 所以 对 恒成立， 所以 对 恒成立， 令 ，则 在 恒成立， 所以 在 单调递减，且 ， 所以 . 故选：D. 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合运用，考查参变分离及利用导数研究函数的 最值，考查数形结合思想、转化与化归思想的运用，求解时注意恒成立问题的等价转化，即 在 恒成立，等价于 . 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．） ( )f x [ )1 2, 0,x x ∈ +∞ 1 2x x≠ ( ) ( )1 2 1 2 0f x f x x x − <− ( )( ln 1) 1f ax x f− − ≥ [1,3]x∀ ∈ ( ,2]−∞ 2 ln30, 3 +     (0,2] 2 ln3, 3 + −∞   ( )( ln 1) 1f ax x f− − ≥ ln 1 1ax x− − ≤ [1,3]x∈ a [ )0,+∞ ( )f x ( )f x ( )( ln 1) 1f ax x f− − ≥ [1,3]x∀ ∈ ln 1 1ax x− − ≤ [1,3]x∀ ∈ ln 2xa x +≤ [1,3]x∀ ∈ ln 2( ) xg x x += ' 2 2 1 (ln 2) ln 1( ) 0x xg x x x − + − −= = < [1,3]x∈ ( )g x [1,3]x∈ min 2 ln3( ) (3) 3g x g += = 2 ln3 3a +≤ ( )a g x≤ x D∈ min( )a g x≤ 13.曲线 在 时的切线方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】 对函数进行求导得 ，则切线的斜率 ，再求出切点坐标，从而利 用点斜式方程得到切线的方程. 【详解】因为 ，所以 ， 因为 ，所以切点坐标为 ， 所以切线方程为 . 故答案为： . 【点睛】本题考查导数的几何意义，曲线在某点处的切线方程，考查逻辑推理能力和运算求 解能力. 14.《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿， 大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是： “有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也 进一尺，以后每天减半．”如果一墙厚 10 尺，请问两只老鼠最少在第________天相遇． 【答案】4 【解析】 【分析】 设大老鼠每天打洞的长度构成等比数列 ，则 ，小老鼠每天打洞的长度构成等 比数列 ，则 ，再分别求和构造不等式求出 的值. 【详解】设大老鼠每天打洞的长度构成等比数列 ， 则 ，所以 . 设小老鼠每天打洞的长度构成等比数列 ， ln( ) xf x x = x e= 1y e = ' 2 1 ln( ) xf x x −= ' ( ) 0k f e= = ' 2 2 1 ln 1 ln( ) x x xxf x x x − −= = ' ( ) 0f e = 1( )f e e = 1( , )e e 1y e = 1y e = { }na 1 11, 2a q= = { }nb 1 11, 2b q= = n { }na 1 1, 2a q= = 1 2 2 11 2 n n nS −= = −− { }nb 则 ，所以 . 所以 ，即 ， 解得： 且 ， 所以两只老鼠最少在第 4 天相遇. 故答案为： . 【点睛】本题以数学文化为背景，建立等比数列模型进行问题解决，考查学生的数学建模能 力、运算求解能力，考查不等式的求解，注意利用 为整数的特点，直接求得不等式的解. 15.已知函数 满足 ， ，且 在区间 上单调，则 的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据函数在区间 上单调得 ，再由 ， 得到区间 的 长度恰好为 ，再根据 的范围求得 的最大值，进而得到 的最大值. 【详解】因为 在区间 上单调， 所以 ， 因为 ， ， 所以 ， 所以 ， 当 ， 1 11, 2b q= = 11 ( ) 12 2[1 ( ) ]1 21 2 n n nT − = = − − 1(2 1) 2[1 ( ) ] 102 n n n nS T+ = − + − ≥ 12 2 13 0n n−+ − ≥ 4n ≥ n N∈ 4 n ( ) ( )( )2sin 0f x xω ϕ ω= + > 24f π  =   ( ) 0f π = ( )f x ,4 3 π π     ω 34 3 ,4 3 π π     2 12 T π≥ 24f π  =   ( ) 0f π = [ , ]4 π π 2 1 4 k T − ω k ω ( )f x ,4 3 π π     2 0 122 3 4 12 6 6 T T π π π π π π ωω≥ − = ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ < ≤ 24f π  =   ( ) 0f π = *2 1 3 ,4 4 4 k T k N π ππ− = − = ∈ *3 2 3 4 2 ,2 1 2 1 3 kT k Nk k π π π ωω −= ⇒ = ⇒ = ∈− − 4 2 12 93 k kω −= ≤ ⇒ ≤ 所以 . 故答案为： . 【点睛】本题考查利用三角函数的图象与性质，研究 的最大值，考查逻辑推理能力和运算 求解能力，考查数形结合思想、转化与化归思想，求解时要充分挖掘题干中的隐含条件. 16.已知函数 ， ．若对任意 ，总存在 ， 使得 成立，则实数 的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】 将问题转化为 ，根据二次函数和分式的单调性可求得 在 上的 最小值和最大值及 在 上的最大值；分别讨论 最大值小于零、最小值小于零且 最大值大于零、最小值大于零三种情况，得到 每种情况下的最大值，从而得到不等式， 解不等式求得结果. 【详解】不等式 恒成立可转化为： 当 时， ， 当 时， ①若 ，即 时， ，解得： （舍） ②若 ，即 时， 又 ， 当 ，即 时， ，解得： （舍） 当 ，即 时， max 4 9 2 34 3 3 ω × −= = 34 3 ω ( ) 2 2 3f x x x a= − + ( ) 2 1g x x = − [ ]1 0,3x ∈ [ ]2 2,3x ∈ ( ) ( )1 2f x g x≤ a 1 3 − ( ) ( )maxmaxf x g x≤ ( )f x [ ]0,3 ( )g x [ ]2,3 ( )f x ( )f x ( ) ( )1 2f x g x≤ ( ) ( )maxmaxf x g x≤ [ ]0,3x∈ ( ) ( )min 1 1 3f x f a= = − + ( ) ( )max 3 3 3f x f a= = + [ ]2,3x∈ ( ) ( )max 2 2g x g= = 3 3 0a+ ≤ 1a ≤ − ( ) max 1 3 1 3f x a a= − + = − 1 3 2a∴ − ≤ 1 3a ≥ − 1 3 0 3 3a a− + ≤ < + 11 3a− < ≤ ( ) ( ) ( ){ } max max 1 , 3f x f f= − ( )1 1 3f a− = − ( )3 3 3f a= + 1 3 3 3a a− > + 11 3a− < < − ( ) max 1 3f x a= − 1 3 2a∴ − ≤ 1 3a ≥ − 1 3 3 3a a− ≤ + 1 1 3 3a− ≤ ≤ ( ) max 3 3f x a= + ，解得： ③若 ，即 时， ，解得： （舍） 综上所述： 本题正确结果： 【点睛】本题考查恒成立和能成立综合应用 问题，关键是能够将不等式转化为两个函数最 值之间的大小关系，从而根据函数的单调性求得函数的最值，通过最值的比较构造不等式求 得结果. 三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分．） 17.等差数列 中， ， . （1）求 通项公式； （2）求 的前 n 项和 . 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）由 得出等差数列 的公差为 ，再利用 ，得出 的值， 再利用等差数列的通项公式求出数列 的通项公式； （2）求出数列 的通项公式，再利用分组求和法求出 .s 【详解】（1） ， 等差数列 的公差为 ， ，解得 ， 因此， ； （2） ， 的 的 3 3 2a∴ + ≤ 1 3a ≤ − 1 3a∴ = − 1 3 0a− + > 1 3a > ( ) max 3 3 3 3f x a a= + = + 3 3 2a∴ + ≤ 1 3a ≤ − 1 3a = − 1 3 − { }na 1 2 3 9a a a+ + = 1 2n na a+ − = { }na { }2n na + nS 2 1na n= − 2 12 2n nS n += + − 1 2n na a+ − = { }na 2 1 2 3 9a a a+ + = 1a { }na { }2n na + nS 1 2n na a+ − = ∴ { }na 2 ( ) ( )1 2 3 1 1 1 12 2 2 3 6 9a a a a a a a∴ + + = + + + + × = + = 1 1a = ( )1 2 1 2 1na n n= + − = − ( )2 2 1 2n n na n∴ + = − + ( ) ( ) ( ) ( )1 2 31 2 3 2 5 2 2 1 2n nS n ∴ = + + + + + + + − +  ( ) ( )1 2 31 3 5 2 1 2 2 2 2nn= + + + + − + + + + +    ， 因此， . 【点睛】本题考查等差数列的通项与分组求和法，对于等差数列通项，一般利用首项和公差 建立方程组求解，对于等差与等比相加所构成的新数列，一般利用分组求和法进行求和，考 查计算能力，属于基础题。 18.如图 1,在直角梯形 中， ， ， ，将 沿 折起,使平面 平面 ，得到几何体 ，如图 2 所示， （1）求证： 平面 ； （2）求几何体 的体积. 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】 （1）由题中数量关系和勾股定理，得出 AC⊥BC，再证 BC 垂直与平面 ACD 中的一条直线即可， △ADC 是等腰 Rt△，底边上的中线 OD 垂直底边，由面面垂直的性质得 OD⊥平面 ABC，所以 OD⊥BC，从而证得 BC⊥平面 ACD； （2）由高和底面积，求得三棱锥 B﹣ACD 的体积即是几何体 D﹣ABC 的体积． 【详解】（1）在图 1 中， △ADC 是等腰 Rt△，且 ，可得 ， 在 中由余弦定理可得 从而 ，故 ， 取 中点 连结 ，则 ，又面 面 ， ( ) ( ) 2 12 1 21 2 1 2 22 1 2 n nn n n + −+ −= + = + −− 2 12 2n nS n += + − ABCD 90ADC∠ = ° / /CD AB 2, 1AB AD CD= = = ADC∆ AC ADC ⊥ ABC D ABC− BC ⊥ ACD D ABC− 2 6  1AD CD= = 2AC = ABC∆ 2BC = 2 2 2AC BC AB+ = AC BC⊥ AC O DO DO AC⊥ ADC ⊥ ABC 面 面 ，且 面 ，从而 平面 ， ∴ ，又 ， ，∴ 平面 . (2) 由（1）可知 为三棱锥 的高， ，得 ， 所以 ， 由等体积性可知几何体 的体积为 . 【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面 面间的位置关系等基础知识，属于中档题． 19.已知函数 (1)求函数 单调递增区间； (2) 内角 的对边分别为 ，若 ， ， ，且 ， 试求角 和角 . 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）将 解析式第一项利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理 后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的递增区间列出关于 x 的不等式，求出不等式的解集即可得到 的递增区间； （2）由（1）确定的 解析式，及 求出 的值，由 B 为三角形的 内角，利用特殊角的三角函数值求出 B 的度数，再由 b 与 c 的值，利用正弦定理求出 的 值，由 C 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出 C 的度数，由 a 大于 b 得到 A 大于 B，检验后即可得到满足题意的 B 和 C 的度数. 【详解】（1） ， 的 ADC  ABC AC= DO ⊂ ACD OD ⊥ ABC OD BC^ AC BC⊥ AC OD O∩ = BC ⊥ ACD BC B ACD− 2BC = 1 11 12 2ACDS∆ = × × = 1 1 1 223 3 2 6B ACD ACD BCV S h− ∆= = × × = D ABC− 2 6B ACDV − = 2( ) cos 2 cos2 ( )3f x x x x R π = − − ∈   ( )f x ABC∆ , ,A B C , ,a b c 3( )2 2 Bf = − 1b = 3c = a b> B C 5, ( )12 12k k k π ππ π − + ∈   Z ,6 3B C π π= = ( )f x ( )f x ( )f x 3 2 2 Bf   = −   sin 3B π −   sinC 2 3 3( ) cos 2 cos2 sin 2 cos2 3sin 23 2 2 3f x x x x x x π π   = − − = − = −       令 ，解得 故函数 的递增区间为 . （2） ， ， 由正弦定理得： ， ， ， 或 . 当 时， ：当 时， （不合题意，舍） 所以 . 【点睛】本题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，正弦定理，正弦函数的单调性，以 及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键. 20.《中华人民共和国道路交通安全法》第 47 条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当 减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《中华人民共和 国道路交通安全法》第 90 条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣 3 分，罚款 50 元的处罚． （1）交警从这 5 个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了 50 人，调查驾驶员不“礼让斑马 线”行为与驾龄的关系，得到如下列联表：能否据此判断有 97.5%的把握认为“礼让斑马线” 行为与驾龄有关？ 不礼让斑马线 礼让斑马线 合计 驾龄不超过 1 年 22 8 30 驾龄 1 年以上 8 12 20 合计 30 20 50 （2）下图是某市一主干路口监控设备所抓拍的 5 个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为的折线 2 2 2 ,2 3 2k x k k Z π π ππ π− − + ∈  5 ,12 12k x k k Z π ππ π− + ∈  ∴ ( )f x 5, ( )12 12k k k π ππ π − + ∈   Z 3 13sin , sin2 3 2 3 2 Bf B B π π     = − = − ∴ − = −           20 , , ,3 3 3 3 6 6B B B B π π π π π ππ< < ∴− < − < ∴ − = − = 即 1 3 sin sinsin 6 a A Cπ= = 3sin 2C∴ = 0 C π< < 3C π∴ = 2 3 π 3c π= 2A π= 2 3C π= 6A π= ,6 3B C π π= = 图： 请结合图形和所给数据求违章驾驶员人数 y 与月份 x 之间的回归直线方程 ，并预测 该路口 7 月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数． 附注：参考数据： ， ． 参考公式： ， ， （其 中 ） 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5 024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）能判断有 97.5%的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关（2）y 与 x 之间的 回归直线方程 ；预测该路口 7 月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员有 66 人 【解析】 【分析】 （1）将数据直接代入公式计算 ，并与 进行比较，再下结论； （2）根据参考数据和参考公式，先求 的平均数，再对公式 进行变 . ˆˆ ˆy bx a= + 5 1 500i i y = = ∑ 5 1 1415i i i x y = =∑ ( ) 1 2 1 ( ) ( ) n i i i n i i x x y y b x x ∧ = = − − = − ∑ ∑ a y b x ∧ ∧ = − ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bck a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + + ( )2P K k≥ k  8.5 125.5y x= − + 2K 5.024 ,x y ( ) 1 2 1 ( ) ( ) n i i i n i i x x y y b x x ∧ = = − − = − ∑ ∑ 形得 ，再将数据代入求得 的值，从而得到回归方程. 【详解】解：（1）由列联表中数据，计算 ， 由此能判断有 97.5%的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关 （2）利用所给数据，计算 ， ； ； ∴ 与 之间的回归直线方程 ； 当 时， ， 即预测该路口 7 月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员有 66 人． 【点睛】本题考查 列联表、 计算、最小二乘法求回归直线，考查阅读理解和数据处理 能力、基本的运算求解能力. 21.已知椭圆 的左、右焦点为 、 ， ，若圆 Q 方 程 ，且圆心 Q 在椭圆上． 5 1 5 2 2 1 5 5 i i i i i y b xx y x x = = = − − ∑ ∑  b 2 2 50 (22 12 8 8) 50 5.556 5.02430 20 30 20 9K × × − ×= = ≈ >× × × 1 (1 2 3 4 5) 35x = × + + + + = 5 1 1 500 105 i i y y = = × = =∑ ( )5 1 5 2 1 5 1 5 2 2 1 ( ) ( ) 5 5 i i i i i i i i i i yx x y x x y b x y x x x = = = = − − = − − − = ∑ ∑ ∑ ∑  2 1415 5 3 100 8.555 5 3 − × ×= = −− × ˆˆ 100 ( 8.5) 3 125.5a y bx= − = − − × = y x ˆ 8.5 125.5y x= − + 7x = ˆ 8.5 7 125.5 66y = − × + = 2 2× 2K ( )2 2 1 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > 1F 2F 1 2 2 2F F = ( ) ( )2 22 1 1x y− + − = （1）求椭圆 的方程； （2）已知直线 交椭圆 于 A、B 两点，过直线 上一动点 P 作与 垂直的直 线 交圆 Q 于 C、D 两点，M 为弦 CD 中点， 的面积是否为定值？若为定值，求出此定 值；若不为定值，说明你的理由． 【答案】（1） （2）为定值，定值是 【解析】 【分析】 （1）由椭圆的定义求得 ，再根据焦点坐标得 ，再由 得到 的值， 从而得到椭圆的方程； （2）设 ， ，将直线 的方程代入椭圆方程，利用弦长公式求得 ；由 题设条件得 ，从而有 ，所以 的面积为定值，利用面积公式可 得答案. 【详解】解：（1）由题意可知： ， ， ， ∴ ， ， ∴椭圆 的方程为 . （2）设 ， ，由 消去 y，得 ， ∴ , ∵M 为线段 CD 中点，∴ ， 又∵ ， ，∴ ， 1C 1 : 2 1l y x= − + 1C 1l 1l 2l MAB∆ 2 2 14 2 x y+ = 6 2 5 2a = 2c = 2 2 2b a c= − b ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1l AB //MQ AB MAB QABS S∆ ∆= MAB∆ ( )1 2,0F − ( )2 2,0F ( )2,1Q 1 22 4 2a QF QF a= + = ⇒ = 2 2 2 2b a c∴ = − = 1C 2 2 14 2 x y+ = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 2 2 2 1 2 4 y x x y  = − + + = 25 4 2 2 0x x− − = 2 1 2 6 61 5AB k x x= + − = MQ CD⊥ 1 2l l⊥ //MQ AB MAB QABS S∆ ∆= 又点 Q 到 的距离 ， ∴ . 【点睛】本题考查利用待定系数法求椭圆的方程、直线与椭圆位置关系中的定值问题，考查 坐标法思想、数形结合思想的应用，考查运算求解能力，求解过程中注意平面几何知识的应 用，即两平行线间的距离处处相等. 22.已知函数 ． （1）讨论 的单调性并指出相应单调区间； （2）若 ，设 是函数 的两个极值点，若 ， 且 恒成立，求实数 k 的取值范围． 【答案】（1）答案见解析（2） 【解析】 【分析】 （1）先对函数进行求导得 ，对 分成 和 两种情况讨论，从而得到 相应的单调区间； （2）对函数 求导得 ，从而有 ， ， ， 三个方程中利用 得到 .将不等式 的左边转化成关于 的 函数，再构造新函数利用导数研究函数的最小值，从而得到 的取值范围. 【详解】解：（1）由 ， ， 则 ， 当 时，则 ，故 在 上单调递减； 当 时，令 ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增． 1l 2 2 2 1 1 2 2 3 31 d × + − = = + 1 6 2 2 5MABS AB d∆ = ⋅ = ( ) ln 1( )f x ax x a R= − − ∈ ( )f x 21( ) )1 (2g x x xx f− − −= ( )1 2 1 2,x x x x< ( )g x 3 2a ≥ ( ) ( )1 2g x g x k− ≥ 15, 2ln 28  −∞ −   1( ) axf x x −=′ a 0a ≤ 0a > ( )g x 2 ( 1) 1( ) x a xg x x − + +′ = 1 2 1x x a+ = + 1 2 1=x x 2 1 1x x = 3 2a ≥ 1 10 2x< ≤ ( ) ( )1 2g x g x k− ≥ 1x k ( ) ln 1f x ax x= − − (0, )x∈ +∞ 1 1( ) axf x a x x ′ −= − = 0a ≤ ( ) 0f x′ ≤ ( )f x (0, )+∞ 0a > 1( ) 0f x x a ′ = ⇒ = ( )f x 10, a      1 ,a  +∞   综上所述：当 时， 在 上单调递减； 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增． （2）∵ ， , 由 得 ， ∴ ， ，∴ ∵ ∴ 解得 . ∴ . 设 ， 则 , ∴ 在 上单调递减； 当 时， . ∴ ，即所求 的取值范围为 . 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查分类讨论思想和数形结合思想， 求解双元问题的常用思路是：通过换元或消元，将双元问题转化为单元问题，然后利用导数 研究单变量函数的性质. 0a ≤ ( )f x (0, )+∞ 0a > ( )f x 10, a      1 ,a  +∞   21( ) ln ( 1)2g x x x a x= + − + 21 ( 1) 1( ) ( 1) x a xg x x ax x − + +′ = + − + = ( ) 0g x′ = 2 ( 1) 1 0x a x− + + = 1 2 1x x a+ = + 1 2 1=x x 2 1 1x x = 3 2a ≥ 1 1 1 1 1 5 2 10 x x x x  + ≥  < < 1 10 2x< ≤ ( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1ln ( 1) 2ln2 2 xg x g x x x a x x x xx x  − = + − − + − = − −    2 2 1 1 1( ) 2ln 02 2h x x x xx   = − − < ≤     ( )22 3 3 12 1( ) 0 x h x xx x x ′ − − = − − = < ( )h x 10, 2      1 1 2x = min 1 15( ) 2ln 22 8h x h = = −   15 2ln 28k ≤ − k 15, 2ln 28  −∞ −  