2019届二轮复习（理）专题跟踪训练19数列的通项与求和作业（全国通用） 6页

专题跟踪训练(十九)‎ 一、选择题 ‎1．(2018·安徽淮南一模)已知{an}中，an＝n2＋λn，且{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是(　　)‎ A．(－2，＋∞) B．[－2，＋∞)‎ C．(－3，＋∞) D．[－3，＋∞)‎ ‎[解析]　∵{an}是递增数列，∴∀n∈N*，an＋1>an，‎ ‎∴(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn，‎ 化简得λ>－(2n＋1)，∴λ>－3.故选C.‎ ‎[答案]　C ‎2．(2018·信阳二模)已知数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝则数列{an}的前20项和为(　　)‎ A．1121 B．1122 C．1123 D．1124‎ ‎[解析]　由题意可知，数列{a2n}是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a2n－1}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{an}的前20项和为＋10×1＋×2＝1123.选C.‎ ‎[答案]　C ‎3．(2018·石家庄一模)已知正项数列{an}中，a1＝1，且(n＋2)a－(n＋1)a＋anan＋1＝0，则它的通项公式为(　　)‎ A．an＝ B．an＝ C．an＝ D．an＝n ‎[解析]　因为(n＋2)a－(n＋1)a＋anan＋1＝0，所以[(n＋2)an＋1－(n＋1)an]·(an＋1＋an)＝0.又{an}为正项数列，所以(n＋2)an＋1－(n＋1)‎ an＝0，即＝，‎ 则当n≥2时，an＝··…··a1＝··…··1＝.又∵a1＝1也适合，∴an＝，故选B.‎ ‎[答案]　B ‎4．(2018·广东茂名二模)Sn是数列{an}的前n项和，且∀n∈N*都有2Sn＝3an＋4，则Sn＝(　　)‎ A．2－2×3n B．4×3n C．－4×3n－1 D．－2－2×3n－1‎ ‎[解析]　∵2Sn＝3an＋4，∴2Sn＝3(Sn－Sn－1)＋4(n≥2)，变形为Sn－2＝3(Sn－1－2)，又n＝1时，2S1＝3S1＋4，解得S1＝－4，∴S1－2＝－6.∴数列{Sn－2}是等比数列，首项为－6，公比为3.∴Sn－2＝－6×3n－1，可得Sn＝2－2×3n.故选A.‎ ‎[答案]　A ‎5．(2018·河北石家庄一模)若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，则a2018的值为(　　)‎ A．2 B．－3 C．－ D. ‎[解析]　∵a1＝2，an＋1＝，∴a2＝＝－3，同理可得：a3＝－，a4＝，a5＝2，…，可得an＋4＝an，则a2018＝a504×4＋2＝a2＝－3.故选B.‎ ‎[答案]　B ‎6．数列{an}满足a1＝2，an＋1＝a(an>0，n∈N*)，则an＝(　　)‎ A．10n－2 B．10n－1 C．102n－1 D．22n－1‎ ‎[解析]　因为数列{an}满足a1＝2，an＋1＝a(an>0，n∈N*)，‎ 所以log2an＋1＝2log2an，‎ 即＝2.‎ 又a1＝2，所以log2a1＝log22＝1.‎ 故数列{log2an}是首项为1，公比为2的等比数列．‎ 所以log2an＝2n－1，即an＝22n－1.‎ ‎[答案]　D 二、填空题 ‎7．(2018·河南新乡三模)若数列{an＋1－an}是等比数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝5，则an＝________.‎ ‎[解析]　∵a2－a1＝1，a3－a2＝3，∴q＝3，‎ ‎∴an＋1－an＝3n－1，∴当n≥2时，an－a1＝a2－a1＋a3－a2＋…＋an－1－an－2＋an－an－1＝1＋3＋…＋3n－2＝，‎ ‎∵a1＝1，∴an＝.a1＝1也适合，∴an＝.‎ ‎[答案]　 ‎8．已知数列{an}中，a1＝3，且点Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线4x－y＋1＝0上，则数列{an}的通项公式为________．‎ ‎[解析]　因为点Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线4x－y＋1＝0上，‎ 所以4an－an＋1＋1＝0.‎ 所以an＋1＋＝4.‎ 因为a1＝3，所以a1＋＝.‎ 故数列是首项为，公比为4的等比数列．‎ 所以an＋＝×4n－1，故数列{an}的通项公式为an＝×4n－1－.‎ ‎[答案]　an＝×4n－1－ ‎9．(2018·山西大同模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n(2n－1)·cos＋1(n∈N*)，其前n项和为Sn，则S60＝________.‎ ‎[解析]　由题意可得，当n＝4k－3(k∈N*)时，an＝a4k－3＝1；当n＝4k－2(k∈N*)时，an＝a4k－2＝6－8k；当n＝4k－1(k∈N*)时，an＝a4k－1＝1；当n＝4k(k∈N*)时，an＝a4k＝8k.∴a4k－3＋a4k－2＋a4k－1＋a4k＝8，‎ ‎∴S60＝8×15＝120.‎ ‎[答案]　120‎ 三、解答题 ‎10．(2018·郑州质检)已知数列{an}的首项a1＝1，前n项和Sn，且数列是公差为2的等差数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若bn＝(－1)nan，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎[解]　(1)由已知条件得＝1＋(n－1)×2＝2n－1，‎ ‎∴Sn＝2n2－n.‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－n－[2(n－1)2－(n－1)]＝4n－3.‎ 当n＝1时，a1＝S1＝1，而4×1－3＝1，∴an＝4n－3.‎ ‎(2)由(1)可得bn＝(－1)nan＝(－1)n(4n－3)，‎ 当n为偶数时，‎ Tn＝－1＋5－9＋13－17＋…＋(4n－3)＝4×＝2n，‎ 当n为奇数时，n＋1为偶数，‎ Tn＝Tn＋1－bn＋1＝2(n＋1)－(4n＋1)＝－2n＋1.‎ 综上，Tn＝ ‎11．(2018·南昌市二模)已知数列{an}满足＋＋＋…＋＝n2＋n.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.‎ ‎[解]　(1)＋＋＋…＋＝n2＋n①，‎ ‎∴当n≥2时，＋＋＋…＋＝(n－1)2＋n－1②，‎ ‎①－②得，＝2n(n≥2)，∴an＝n·2n＋1(n≥2)．‎ 又当n＝1时，＝1＋1，a1＝4也适合an＝n·2n＋1，∴an＝n·2n＋1.‎ ‎(2)由(1)得，bn＝＝n(－2)n，‎ ‎∴Sn＝1×(－2)1＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋n×(－2)n③，‎ ‎－2Sn＝1×(－2)2＋2×(－2)3＋3×(－2)4＋…＋(n－1)×(－2)n＋n×(－2)n＋1④，‎ ‎③－④得，3Sn＝(－2)＋(－2)2＋(－2)3＋…＋(－2)n－n×(－2)n＋1‎ ‎＝－n×(－2)n＋1，‎ ‎∴Sn＝－.‎ ‎12．(2018·北京海淀模拟)数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎[解]　(1)∵Sn＝2an－a1，‎ ‎∴当n≥2时，Sn－1＝2an－1－a1，‎ ‎∴an＝2an－2an－1，化为an＝2an－1.‎ 由a1，a2＋1，a3成等差数列得，2(a2＋1)＝a1＋a3，‎ ‎∴2(2a1＋1)＝a1＋4a1，解得a1＝2.‎ ‎∴数列{an}是等比数列，首项为2，公比为2.‎ ‎∴an＝2n.‎ ‎(2)∵an＝2n，∴Sn＝＝2n＋1－2，Sn＋1＝2n＋2－2.‎ ‎∴bn＝＝＝.‎ ‎∴数列{bn}的前n项和 Tn＝ ‎＝.‎