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- 2021-06-30 发布
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第四节
直线与圆、圆与圆的位置关系
【
知识梳理
】
1.
直线与圆的位置关系与判断方法
(1)
几何法
:
利用圆心到直线的距离
d
与半径
r
的大小关系
.
①____⇔
直线与圆相交
;
②____⇔
直线与圆相切
;
③____⇔
直线与圆相离
.
dr
(2)
代数法
:
联立方程
,
消去
x(
或
y)
得一元二次方程
,
计算
Δ=b
2
-4ac.
①Δ>0⇔
直线与圆
_____;
②Δ=0⇔
直线与圆
_____;
③Δ<0⇔
直线与圆
_____.
相交
相切
相离
2.
圆与圆的位置关系
设圆
O
1
:(x-a
1
)
2
+(y-b
1
)
2
=
r
1
2
(r
1
>0),
圆
O
2
:(x-a
2
)
2
+(y-b
2
)
2
=
r
2
2
(r
2
>0).
方法
位置
关系
几何法
:
圆心距
d
与
r
1
,r
2
的关系
代数法
:
两圆方程联立组成方程组的解的情况
外离
_______
___
解
外切
_______
_____
实数解
相交
______________
___________
实数解
内切
d=_______(r
1
≠r
2
)
一组实数解
内含
0___d__|r
1
-r
2
|
(r
1
≠r
2
)
无解
d>r
1
+r
2
无
d=r
1
+r
2
一组
|r
1
-r
2
|0)
相交于
A,B
两点
,
且∠
AOB=120°(O
为坐标原点
),
则
r=__________.
【
解析
】
如图
,
直线
3x-4y+5=0
与圆
x
2
+y
2
=r
2
(r>0)
交于
A,B
两点
,O
为坐标原点
,
且∠
AOB=120
°
,
则圆心
(0,0)
到
直线
3x-4y+5=0
的距离为
r,
即
所以
r=2.
答案
:
2
5.(2016·
武汉模拟
)
已知直线
x-y+a
=0
与圆心为
C
的圆
x
2
+y
2
+2x-4y-4=0
相交于
A,B
两点
,
且
AC⊥BC,
则实数
a
的
值为
________.
【
解析
】
由
x
2
+y
2
+2x-4y-4=0
得
(x+1)
2
+(y-2)
2
=9,
所以圆
C
的圆心坐标为
C(-1,2),
半径为
3,
由
AC⊥BC
可知△
ABC
是直角边长为
3
的等腰直角三角形
,
故可得圆心
C
到直线
x-y+a
=0
的距离为
由点到直线的距离公式可得
解得
a=0
或
a=6.
答案
:
0
或
6
考向一
与圆的切线有关的问题
【
典例
1】
(1)(2015·
山东高考
)
一条光线从点
(-2,-3)
射出
,
经
y
轴反射后与圆
(x+3)
2
+(y-2)
2
=1
相切
,
则反射光线所在直线的斜率为
(
)
(2)
已知圆
C
经过
A(5,2),B(3- ,2- ),
且圆心
C
在
直线
x=3
上
.
①
求圆
C
的方程
;
②
求过点
D(0,1)
且与圆
C
相切的两条切线方程
.
【
解题导引
】
(1)
由圆心到切线的距离等于半径列方程求斜率
.
(2)①
可依据题设条件
,
设圆的标准方程
,
利用待定系数法
,
求解圆的方程
;②
可利用圆的切线方程与圆的方程联立
,
消元后得到一元二次方程
,
令其判别式等于零
,
即可求出切线方程
.
【
规范解答
】
(1)
选
D.
反射光线过点
(2,-3),
设反射光
线所在直线方程为
y+3=k(x-2),
即
kx-y-2k-3=0,
反射
光线与圆相切
,
圆心
(-3,2)
到直线的距离等于半径
1,
即 解得
(2)①
因为圆心
C
在直线
x=3
上
,
所以设圆
C
的方程为
(x-3)
2
+(y-b)
2
=r
2
.
因为圆
C
经过
A(5,2),B( ),
所以
解方程组得
所以圆
C
的方程为
(x-3)
2
+(y-2)
2
=4.
②当斜率不存在时
,
不存在经过
D(0,1)
的切线
;
当斜率存在时
,
设切线的斜率为
k,
则切线方程为
y=kx+1.
解方程组
得
(x-3)
2
+(kx-1)
2
=4,
即
(k
2
+1)x
2
-2(k+3)x+6=0.
因为方程有唯一一个解
,
所以
Δ=4(k+3)
2
-4×6(k
2
+1)=0,
所以
5k
2
-6k-3=0,
所以解方程得
k=
所以切线方程为
y=
【
一题多解
】
解答本例
(2),
你知道几种解法
?
解答本例
,
还有以下解法
:
①
因为圆
C
经过
A(5,2),B( ),
所以圆心
C
在
AB
的垂直平分线
l
上
,
且
AB
的中点坐标
D
因为
k
AB
=
所以
k
l
=-( +1).
所以直线
l
方程为
因为圆心
C
在直线
x=3
上
,
所以
所以
y=
所以圆心
C(3,2),
因为半径
r=
所以圆
C
的方程为
(x-3)
2
+(y-2)
2
=4.
②当斜率不存在时
,
不存在经过
D(0,1)
的切线
;
当斜率存在时
,
设切线的斜率为
k,
则切线方程为
y=kx+1.
因为直线与圆相切
,
所以圆心
C(3,2)
到直线
kx-y+1=0
的距离等于圆的半径
,
所以
d=r=
所以
所以
4k
2
+4=9k
2
-6k+1,
所以
5k
2
-6k-3=0,
所以解方程得
k=
所以切线方程为
y=
【
规律方法
】
圆的切线方程的求法
(1)
代数法
:
设切线方程为
y-y
0
=k(x-x
0
),
与圆的方程组成方程组
,
消元后得到一个一元二次方程
,
然后令判别式
Δ=0
进而求得
k.
(2)
几何法
:
设切线方程为
y-y
0
=k(x-x
0
),
利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离
d,
然后令
d=r,
进而求出
k.
提醒
:
若点
M(x
0
,y
0
)
在圆
x
2
+y
2
=r
2
上
,
则过
M
点的圆的切线方程为
x
0
x+y
0
y=r
2
.
【
变式训练
】
1.
若直线
l
:y
=kx+1(k<0)
与圆
C:x
2
+4x+y
2
-
2y+3=0
相切
,
则直线
l
与圆
D:(x-2)
2
+y
2
=3
的位置关系是
(
)
A.
相交
B.
相切
C.
相离
D.
不确定
【
解题指南
】
先由直线与圆相切求出
k
值
,
然后再判断直线与另一个圆的位置关系
.
【
解析
】
选
A.
因为圆
C
的标准方程为
(x+2)
2
+(y-1)
2
=2,
所以其圆心坐标为
(-2,1),
半径为
因为直线
l
与圆
C
相切
.
所以 解得
k=±1,
因为
k<0,
所以
k=-1,
所以直线
l
的方程为
x+y-1=0.
圆心
D(2,0)
到直线
l
的距离
所以直线
l
与圆
D
相交
.
2.
已知圆
O:x
2
+y
2
=5
和点
A(1,2),
则过
A
且与圆
O
相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于
__________.
【
解析
】
因为点
A(1,2)
在圆
x
2
+y
2
=5
上
,
故过点
A
的圆的切线方程为
x+2y=5,
令
x=0,
得
y=
令
y=0,
得
x=5,
故
S
△
=
答案
:
【
加固训练
】
1.
圆
(x-1)
2
+(y+2)
2
=6
与直线
2x+y-5=0
的位置关系是
(
)
A.
相切
B.
相交但直线不过圆心
C.
相交过圆心
D.
相离
【
解析
】
选
B.
由题意知圆心
(1,-2)
到直线
2x+y-5=0
的
距离
d=
且
2×1+(-2)-5≠0,
所以直
线与圆相交但不过圆心
.
2.
在直角坐标系
xOy
中
,
以原点
O
为圆心的圆与直线
x-
-4=0
相切
,
则圆
O
的方程为
(
)
A.x
2
+y
2
=4
B.x
2
+y
2
=3
C.x
2
+y
2
=2 D.x
2
+y
2
=1
【
解析
】
选
A.
依题意
,
圆
O
的半径
r
等于原点
O
到直线
x-
-4=0
的距离
,
即
r= =2,
得圆
O
的方程为
x
2
+y
2
=4.
3.
已知集合
A={(x,y)|x,y
为实数
,
且
x
2
+y
2
=1},B=
{(x,y)|x,y
为实数
,
且
x+y
=1},
则
A∩B
的元素个数
为
(
)
A.4 B.3 C.2 D.1
【
解析
】
选
C.
方法一
:(
直接法
)
集合
A
表示圆
,
集合
B
表
示一条直线
,
又圆心
(0,0)
到直线
x+y
=1
的距离
d=
<1=r,
所以直线与圆相交
.
方法二
:(
数形结合法
)
画图可得
.
4.
过点
P(4,1)
作圆
C:(x-1)
2
+y
2
=1
的两条切线
,
切点分别为
A,B,
则直线
AB
的方程为
(
)
A.3x-y-4=0 B.3x+y-4=0
C.4x-y-4=0 D.4x+y-4=0
【
解析
】
选
B.
如图所示
,A
点的坐标为
(1,1),
因为
AB⊥PC,k
PC
=
所以
k
AB
=-3,
所以直线
AB
的方程为
y-1=-3(x-1),
即
3x+y-4=0.
考向二
圆与圆的位置关系
【
典例
2】
已知圆
C
1
:x
2
+y
2
-2mx+4y+m
2
-5=0,
圆
C
2
: x
2
+y
2
+2x-2my+m
2
-3=0,m
为何值时
,
(1)
圆
C
1
与圆
C
2
外切
.
(2)
圆
C
1
与圆
C
2
内含
.
【
解题导引
】
可由两圆的位置关系与两圆的圆心距、半径和、半径差的绝对值之间的关系求解
.
【
规范解答
】
对于圆
C
1
与圆
C
2
的方程
,
经配方后得
C
1
:(x-m)
2
+(y+2)
2
=9;C
2
:(x+1)
2
+(y-m)
2
=4.
(1)
如果
C
1
与
C
2
外切
,
则有
(m+1)
2
+(-2-m)
2
=25.
m
2
+3m-10=0,
解得
m=-5
或
m=2.
所以当
m=-5
或
m=2
时
,
圆
C
1
与圆
C
2
外切
.
(2)
如果圆
C
1
与圆
C
2
内含
,
则有
(m+1)
2
+(-2-m)
2
<1,m
2
+3m+2<0,
解得
-20)
的公共弦长
为 则
a=________.
【
解析
】
方程
x
2
+y
2
+2ay-6=0
与
x
2
+y
2
=4.
两式相减得
:2ay=2,
则
y=
由已知条件 即
a=1.
答案
:
1
考向三
直线与圆的综合问题
【
考情快递
】
命题方向
命题视角
直线与圆的位置关系的最值
(
范围
)
、弦长问题
主要考查直线与圆相交、相关的弦长、参数范围、最值问题
由直线与圆的位置关系确定直线
(
或圆
)
的方程问题
主要考查由位置关系求圆或直线的方程
【
考题例析
】
命题方向
1:
直线与圆的位置关系的最值
(
范围
)
、弦长
问题
【
典例
3】
(1)(2016·
承德模拟
)
若
a
2
+b
2
=2c
2
(c≠0),
则
直线
ax+by+c
=0
被圆
x
2
+y
2
=1
所截得的弦长为
(
)
(2)(2016·
长沙模拟
)
在平面直角坐标系中
,
点
A,B
分别是
x
轴和
y
轴上的动点
,
若以
AB
为直径的圆
C
与直线
2x+y-4=0
相切
,
则圆
C
面积的最小值为
(
)
【
解题导引
】
(1)
先求圆心到直线的距离
,
再利用弦长公式求弦长
.(2)
依据题设条件
,
当点
O
、圆心、切点三点共线时
,
圆的半径最小
,
即圆的面积最小
.
【
规范解答
】
(1)
选
D.
因为圆心
(0,0)
到直线
ax+by+c
=0
的距离
d=
因此根据直角三角形的
关系
,
弦长的一半就等于 所以弦长为
(2)
选
A.
因为∠
AOB=90°,
所以点
O
在圆
C
上
.
设直线
2x+y-4=0
与圆
C
相切于点
D,
则圆心
C
与点
O
间的
距离等于它到直线
2x+y-4=0
的距离
,
所以当且仅当
O,C,D
共线时
,
圆的直径最小为
|OD|.
又
|OD|=
所以圆
C
的最小半径为
所以圆
C
面积的最小值为
命题方向
2:
由直线与圆的位置关系确定直线
(
或圆
)
的
方程问题
【
典例
4】
(2015·
武汉模拟
)
已知圆的方程是
x
2
+y
2
=1,
则在
y
轴上截距为 的切线方程为
(
)
【
解题导引
】
可设直线方程的斜截式
,
利用直线与圆相
切可求
k
的值
.
【
规范解答
】
选
C.
在
y
轴上截距为 且斜率不存在的
直线显然不是切线
,
故设切线方程为
y=kx
+
则
=1,
所以
k=±1,
故所求切线方程为
y=x+
或
y=
-x+
【
技法感悟
】
1.
求直线被圆截得的弦长的常用方法
在由弦心距
(
即圆心到直线的距离
)
、弦长的一半及半径构成的直角三角形中利用勾股定理计算
.
2.
由直线与圆的位置关系确定圆的方程时
,
常用到的圆的三个性质
(1)
圆心在过切点且与切线垂直的直线上
.
(2)
圆心在任一弦的中垂线上
.
(3)
两圆内切或外切时
,
切点与两圆圆心三点共线
.
【
题组通关
】
1.(2016·
厦门模拟
)
已知直线
3x+4y-15=0
与圆
O: x
2
+y
2
=25
交于
A,B
两点
,
点
C
在圆
O
上
,
且
S
△ABC
=8,
则满足条件的点
C
的个数为
(
)
A.1
个
B.2
个
C.3
个
D.4
个
【
解析
】
选
C.
圆心
O
到已知直线的距离为
d=
因此
|AB|=
设点
C
到直线
AB
的距离为
h,
则
S
△ABC
= ×8×h=8,h=2,
由于
d+h
=3+2=5=r(
圆的半径
),
因此与直线
AB
距离为
2
的两条直线中一条与圆相切
,
一条与圆相交
,
故符合条件的点
C
有三个
.
2.(2016·
长春模拟
)
设集合
A={(x,y)|y
= },
B={(x,y)|y
=k(x-b)+1},
若对任意
0≤k≤1
都有
A∩B
≠
∅
,
则实数
b
的取值范围是
(
)
【
解析
】
选
C.
集合
A
表示圆
O:x
2
+y
2
=4
的上半圆
.
如图所示
,
集合
B
是一条直线
,
过
y=1
上的一点
,
利用斜
率为
k
的临界条件
k=1.
要想使
A∩B≠∅,
只需直线在与
圆相切和过
(2,0)
之间
,
这时可求出
b∈[1- ,3].
3.(2016·
阜新模拟
)
过点
(1, )
的直线
l
将圆
(x-2)
2
+y
2
=4
分成两段弧
,
当劣弧所对的圆心角最小
时
,
直线
l
的斜率
k=________.
【
解析
】
因为
(1-2)
2
+( )
2
=3<4,
所以点
(1, )
在圆
(x-2)
2
+y
2
=4
的内部
,
当劣弧所对的圆心角最小时
,
即直线
l
交圆的弦长最短
,
此时圆心
(2,0)
与点
(1, )
的连线垂直于直线
l
.
因为
所以所求直线
l
的斜率
k=
答案
:
4.(2016·
南宁模拟
)
直线
ax+by
=1
与圆
x
2
+y
2
=1
相交
于
A,B
两点
(a,b
是实数
),
且△
AOB
是直角三角形
(O
是坐
标原点
),
则点
P(a,b
)
与点
(0,1)
之间的距离的最大值
为
________.
【
解析
】
由于△
AOB
为直角三角形
,OA=OB=1,
故应为等腰直角三角形
,
故圆心到直线
AB
的距离为
即
所以
2a
2
+b
2
=2(-1≤a≤1, ).
P(a,b
)
与
(0,1)
的距离为
因为
b∈[ ],
所以
b-2∈[ ],
所以
|b-2|∈[ ],
故点
P
与点
(0,1)
之间的距离的最大值为
答案
:
【
加固训练
】
1.(2016·
衡水模拟
)
已知圆
x
2
+y
2
+2x-2y+a=0
截直线
x+y+2=0
所得弦的长度为
4,
则实数
a
的值是
(
)
A.-2 B.-4 C.-6 D.-8
【
解析
】
选
B.
由圆的方程
x
2
+y
2
+2x-2y+a=0
可得
,
圆心
为
(-1,1),
半径
r=
圆心到直线
x+y+2=0
的距离
为
d=
由
r
2
=d
2
+
得
2-a=2+4,
所以
a=-4.
2.(2016·
洛阳模拟
)
在平面直角坐标系
xOy
中
,
圆
C
的方程为
x
2
+y
2
-4x=0.
若直线
y=k(x+1)
上存在一点
P,
使过点
P
所作的圆的两条切线相互垂直
,
则实数
k
的取值范围是
_______.
【
解析
】
圆
C
的方程可化为
(x-2)
2
+y
2
=4.
先将
“
圆的两条切线相互垂直
”
转化为
“
点
P
到圆心
的距离为
”
.
再将
“
直线上存在点
P
到圆心的距离为
”
转化
为
“
圆心到直线的距离小于等于
”
.
即
答案
:
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