【数学】2020届一轮复习人教版（理）第10章第5讲古典概型学案 11页

第 5 讲　古典概型 [考纲解读]　1.理解古典概型及其概率计算公式，能计算一些随机事件包含基本事 件及其事件发生的概率．(重点、难点) 2.了解随机数意义，能运用模拟方法估计概率． [考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点之一. 预测 2020 年 将会考查：①古典概型的基本计算； ②古典概型与其他知识相结合. 题型以解答题的形式呈现，与实际背景相结合， 试题难度中等. 1．基本事件的特点 (1)任何两个基本事件都是□01 互斥的． (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成□02 基本事件的和． 2．古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件□01 只有有限个． (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性□02 相等． 3．如果一次试验中可能出现的结果有 n 个，而且所有结果出现的可能性都 相等，那么每一个基本事件的概率都是□01 1 n ；如果某个事件 A 包括的结果有 m 个， 那么事件 A 的概率 P(A)＝□02 m n. 4．古典概型的概率公式 P(A)＝A包含的基本事件的个数 基本事件的总数 . 1．概念辨析 (1)在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的. (　　) (2)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基 本事件是“发芽与不发芽”．(　　) (3)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个 结果是等可能事件．(　　) (4)从市场上出售的标准为 500±5 g 的袋装食盐中任取一袋测其重量，属于古 典概型．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．小题热身 (1)袋中装有 6 个白球，5 个黄球，4 个红球，从中任取一球，则取到白球的 概率为(　　) A.2 5 B. 4 15 C.3 5 D.2 3 答案　A 解析　由题意得，取到白球的概率为 P＝ 6 15 ＝2 5. (2)从 1,2,3,4 四个数字中任取两个不同数字，则这两个数字之积小于 5 的概 率为(　　) A.1 3 B.1 2 C.2 3 D.5 6 答案　B 解析　从 1,2,3,4 四个数字中任取两个不同数字，共有(1,2)，(1,3)，(1,4)， (2,3)，(2,4)，(3,4)共 6 个基本事件，其中这两个数字之积小于 5 的有(1,2)，(1,3)， (1,4)共 3 个基本事件，则这两个数字之积小于 5 的概率为 P＝3 6 ＝1 2.故选 B. (3)从 5 名医生(3 男 2 女)中随机等可能地选派两名医生，则恰选 1 名男医生 和 1 名女医生的概率为(　　) A. 1 10 B.2 5 C.1 2 D.3 5 答案　D 解析　从 5 名医生中选派两名医生的基本事件总数 n＝C25＝10，恰选 1 名男 医生和 1 名女医生的基本事件 m＝C13C12＝6，所以所求事件概率 P＝ 6 10 ＝3 5.故选 D. (4)将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行，则 2 本数学 书相邻的概率为(　　) A.1 2 B.1 3 C.2 3 D.5 6 答案　C 解析　所有可能的排列方法有 A33＝6 种，2 本数学书相邻的排列方法有 A22·A22＝4 种(先排列数学书，再把两本数学书作为整体和语文书进行排列)．所以 根据概率的计算公式，所求概率为4 6 ＝2 3.故选 C. 题型 一 　古典概型的简单问题 1．(2018·全国卷Ⅱ)从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务， 则选中的 2 人都是女同学的概率为(　　) A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 答案　D 解析　设 2 名男同学为 A1，A2,3 名女同学为 B1，B2，B3，从以上 5 名同学 中任选 2 人总共有 A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，B1B2，B1B3，B2B3 共 10 种可能，选中的 2 人都是女同学的情况共有 B1B2，B1B3，B2B3 共 3 种可能， 则选中的 2 人都是女同学的概率为 P＝ 3 10 ＝0.3.故选 D. 2．(2017·全国卷Ⅱ)从分别写有 1,2,3,4,5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回 后再随机抽取 1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 (　　) A. 1 10 B.1 5 C. 3 10 D.2 5 答案　D 解析　从 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张的情况如图： 基本事件总数为 25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为 10，∴所求概率 P＝10 25 ＝2 5.故选 D. 3．(2018·沈阳模拟)将 A，B，C，D 这 4 名同学从左至右随机地排成一排， 则“A 与 B 相邻且 A 与 C 之间恰好有 1 名同学”的概率是(　　) A.1 2 B.1 4 C.1 6 D.1 8 答案　B 解析　A，B，C，D 4 名同学排成一排有 A44＝24 种排法．当 A，C 之间是 B 时，有 2×2＝4 种排法，当 A，C 之间是 D 时，有 2 种排法，所以所求概率为4＋2 24 ＝1 4. 条件探究　把举例说明 2 的条件“放回后”改为“不放回”，其他条件不变， 结果又如何？ 解　画出树状图如图： 所有的基本事件共有 20 个，满足题意的基本事件有 10 个，故所求概率 P＝ 10 20 ＝1 2. 结论探究　举例说明 2 条件不变，求抽到第一张卡片上的数与第二张卡片上 的数的和为偶数的概率． 解　所有基本事件共有 25 个，满足条件的基本事件有(1,1)，(1,3)，(1,5)， (2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共 13 个．故 所求概率 P＝13 25. 1．求古典概型概率的步骤 (1)判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件 A； (2)分别求出基本事件的总数 n 与所求事件 A 中所包含的基本事件个数 m； (3)利用公式 P(A)＝m n ，求出事件 A 的概率． 2．基本事件个数的确定方法 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．用两个字母 G，A 与十个数字 0,1,2，…，9 组成 5 位的车牌号码，两个 字母不能重复，且每个号码中都包含这两个字母．其中两个字母排在前两位的概 率为(　　) A. 1 20 B. 1 10 C.1 5 D.1 2 答案　B 解析　总的基本事件的个数为 A25×103，其中两个字母排在前两位的情况有 A22×103，由古典概型的概率公式，得 P＝A22 × 103 A25 × 103 ＝2 × 1 5 × 4 ＝ 1 10. 2．在 5 件产品中，有 3 件一等品和 2 件二等品，从中任取 2 件，以 7 10 为概 率的事件是(　　) A．都不是一等品 B．恰有 1 件一等品 C．至少有 1 件一等品 D．至多有 1 件一等品 答案　D 解析　从 5 件产品中任取 2 件有 10 种取法，设 3 件一等品为 1,2,3；2 件二 等品为 4,5.这 10 种取法是(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)， (3,5)，(4,5)，其中 2 件均为一等品的取法有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共 3 种．所以至 多有 1 件一等品的概率 P＝1－ 3 10 ＝ 7 10. 题型 二 　古典概型的交汇问题 角度 1　古典概型与平面向量相结合 1．设连续掷两次骰子得到的点数分别为 m，n，平面向量 a＝(m，n)，b＝ (1，－3)． (1)求使得事件“a⊥b”发生的概率； (2)求使得事件“|a|≤|b|”发生的概率． 解　由题意知，m∈{1,2,3,4,5,6}，n∈{1,2,3,4,5,6}，故(m，n)所有可能的取 法共有 36 种． (1)若 a⊥b，则有 m－3n＝0，即 m＝3n，符合条件的(m，n)有(3,1)，(6,2)， 共 2 种，所以事件“a⊥b”发生的概率为 2 36 ＝ 1 18. (2)若|a|≤|b|，则有 m 2＋n2≤10，符合条件的(m，n)有(1,1)，(1,2)，(1,3)， (2,1)，(2,2)，(3,1)，共 6 种，故所求概率为 6 36 ＝1 6. 角度 2　古典概型与函数、方程相结合 2．(2019·河北武邑中学模拟)已知 a∈{－2,0,1,3,4}，b∈{1，2}，则函数 f(x)＝ (a2－2)x＋b 为增函数的概率是(　　) A.2 5 B.3 5 C.1 2 D. 3 10 答案　B 解析　从集合{－2,0,1,3,4}中任选一个数有 5 种选法，使函数 f(x)＝(a2－2)x ＋b 为增函数的是 a2－2>0， 解得 a> 2或 a<－ 2， 所以满足此条件的 a 有－2,3,4，共有 3 个， 由古典概型公式得函数 f(x)＝(a2－2)x＋b 为增函数的概率是3 5. 角度 3　古典概型与几何问题结合 3．将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数 a，b，则直线 ax＋by＝0 与圆(x－ 2)2＋y2＝2 有公共点的概率为________． 答案　 7 12 解析　依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a，b)有 (1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共 36 种，其中满足直线 ax＋by＝0 与圆(x－2)2＋ y2＝2 有公共点，即满足 2a a2＋b2 ≤ 2，即 a≤b，则当 a＝1 时，b＝1,2,3,4,5,6， 共 6 种，当 a＝2 时，b＝2,3,4,5,6，共 5 种，同理当 a＝3 时，有 4 种，a＝4 时， 有 3 种，a＝5 时，有 2 种，a＝6 时，有 1 种，故共有 6＋5＋4＋3＋2＋1＝ 21(种)，因此所求的概率等于21 36 ＝ 7 12. 角度 4　古典概型与统计相结合 4．(2019·贵州省黔东南州第一次联考)经研究，城市公交车的数量太多容易 造成资源浪费，太少又难以满足乘客需求．为此，某市公交公司从某站点的 40 名候车乘客中随机抽取 15 人，将他们的候车时间(单位：min)作为样本分成 5 组 如下表： (1)估计这 40 名乘客中候车时间不少于 20 分钟的人数； (2)若从上表候车时间不少于 10 分钟的 7 人中选 2 人作进一步的问卷调查， 求抽到的两人候车时间都不少于 20 分钟的概率． 解　(1)候车时间不少于 20 分钟的概率为 3 15 ＝1 5 ，所以估计候车时间不少于 20 分钟的人数为 40×1 5 ＝8. (2)将候车时间在范围[10,20)的 4 名乘客编号为 a1，a2，a3，a4；候车时间在 范围[20,60)的 3 名乘客编号为 b1，b2，b3. 从 7 人中任选两人包含以下 21 个基本 事件： (a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，a3)，(a2， a4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a3，a4)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，b3)，(a4， b1)，(a4，b2)，(a4，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，其中抽到的两人候车时间 都不少于 20 分钟包含以下 3 个基本事件：(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)， 故所求概率为 P＝ 3 21 ＝1 7. 1．求解古典概型的交汇问题的步骤 (1)根据相关知识构建事件满足的条件． (2)根据条件列举所有符合的基本事件． (3)利用古典概型的概率计算公式求概率． 2．破解概率与统计图表综合问题的“三步曲” 1．已知函数 f(x)＝1 3x3＋ax2＋b2x＋1，若 a 是从 1,2,3 三个数中任取的一个数， b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为(　　) A.7 9 B.1 3 C.5 9 D.2 3 答案　D 解析　f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要使函数 f(x)有两个极值点，则有 Δ＝(2a)2－ 4b2>0，即 a2>b2.由题意知所有的基本事件有 9 个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)， (2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示 a 的取值，第二个数表示 b 的取值．满足 a2>b2 的有 6 个基本事件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)， (3,2)，所以所求事件的概率为6 9 ＝2 3. 2．在集合 A＝{2,3}中随机取一个元素 m，在集合 B＝{1,2,3}中随机取一个 元素 n，得到点 P(m，n)，则点 P 在圆 x2＋y2＝9 内部的概率为________． 答案　1 3 解析　点 P(m，n)共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，6 种情况，只 有(2,1)，(2,2)这 2 个点在圆 x2＋y2＝9 的内部，所求概率为2 6 ＝1 3. 3．已知AB→ ＝(1，k)，AC→ ＝(4,2)，|AB→ |≤5，k∈Z，则△ABC 是钝角三角形的 概率为________． 答案　5 9 解析　因为|AB→ |＝ 1＋k2≤5，所以－2 6≤k≤2 6. 又因为 k∈Z，所以 k＝0，±1，±2，±3，±4. 因为BC→ ＝AC→ －AB→ ＝(3,2－k)， 若AB→ ·AC→ <0，则 k<－2，k＝－3，－4； 若BA→ ·BC→ <0，则－18(舍去)．所求概率为5 9. 4．(2018·吉林省梅河口五中二模)某大型超市在 2018 年元旦举办了一次抽奖 活动，抽奖箱里放有 2 个红球，1 个黄球和 1 个蓝球(这些小球除颜色外大小形状 完全相同)，从中随机一次性取 2 个小球，每位顾客每次抽完奖后将球放回抽奖 箱．活动另附说明如下： ①凡购物满 100(含 100)元者，凭购物打印凭条可获得一次抽奖机会； ②凡购物满 188(含 188)元者，凭购物打印凭条可获得两次抽奖机会； ③若取得的 2 个小球都是红球，则该顾客中得一等奖，奖金是一个 10 元的 红包； ④若取得的 2 个小球都不是红球，则该顾客中得二等奖，奖金是一个 5 元的 红包； ⑤若取得的 2 个小球只有 1 个红球，则该顾客中得三等奖，奖金是一个 2 元 的红包； 抽奖活动的组织者记录了该超市前 20 位顾客的购物消费数据(单位：元)， 绘制得到如图所示的茎叶图． (1)求这 20 位顾客中获得抽奖机会的人数与抽奖总次数(假定每位获得抽奖 机会的顾客都会去抽奖)； (2)求这 20 位顾客中获得抽奖机会的顾客的购物消费数据的中位数与平均 数(结果精确到整数部分)； (3)分别求在一次抽奖中获得红包奖金 10 元，5 元，2 元的概率． 解　(1)这 20 位顾客中获得抽奖机会的人数为 5＋3＋2＋1＝11. 这 20 位顾客中，有 8 位顾客获得一次抽奖的机会，有 3 位顾客获得两次抽 奖的机会，故共有 14 次抽奖机会． (2)获得抽奖机会的数据的中位数为 110， 平均数为 1 11 ×(101＋102＋104＋108＋109＋110＋112＋115＋188＋189＋ 200)＝1438 11 ≈131. (3)记抽奖箱里的 2 个红球为红 1，红 2，从箱中随机取 2 个小球的所有结果 为(红 1，红 2)，(红 1，蓝)，(红 1，黄)，(红 2，蓝)，(红 2，黄)，(蓝，黄)，共 6 个基本事件． 在一次抽奖中获得红包奖金 10 元的概率为 P1＝1 6 ， 获得 5 元的概率为 P2＝1 6 ，获得 2 元的概率为 P3＝4 6 ＝2 3.