【数学】2020届一轮复习（文）人教通用版1-1集合的概念及运算学案 14页

‎§1.1　集合的概念及运算 最新考纲 考情考向分析 ‎1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．‎ ‎2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．‎ ‎3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．‎ ‎4.在具体情境中，了解全集与空集的含义．‎ ‎5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．‎ ‎6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．‎ ‎7.能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.‎ 集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点，在集合的运算中经常与不等式、函数相结合，解题时常用到数轴和韦恩(Venn)图．考查学生的数形结合思想和计算推理能力．题型以选择题为主，低档难度.‎ ‎1．集合与元素 ‎(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．‎ ‎(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．‎ ‎(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．‎ ‎(4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N＋(或N*)‎ Z Q R ‎2.集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 Venn图 子集 集合A中任意一个元素都是集合B的元素(即若x∈A，则x∈B)‎ A⊆B ‎(或B⊇A)‎ 真子集 如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于A AB ‎(或BA)‎ 集合 相等 如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素 A＝B ‎3.集合的基本运算 运算 自然语言 符号语言 Venn图 交集 由属于集合A又属于集合B的所有元素构成的集合 A∩B＝{x|x∈A且x∈B}‎ 并集 对于给定的两个集合A，B，由两个集合的所有元素构成的集合 A∪B＝{x|x∈A或x∈B}‎ 补集 如果给定集合A是全集U的一个子集，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 ‎∁UA＝{x|x∈U且x∉A}‎ 概念方法微思考 ‎1．若一个集合A有n个元素，则集合A有几个子集，几个真子集．‎ 提示　2n，2n－1.‎ ‎2．从A∩B＝A，A∪B＝A可以得到集合A，B有什么关系？‎ 提示　A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)任何一个集合都至少有两个子集．(　×　)‎ ‎(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　×　)‎ ‎(3)若{x2，1}＝{0,1}，则x＝0,1.(　×　)‎ ‎(4){x|x≤1}＝{t|t≤1}．(　√　)‎ ‎(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(　×　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．若集合A＝{x∈N|x≤}，a＝2，则下列结论正确的是(　　)‎ A．{a}⊆A B．a⊆A C．{a}∈A D．a∉A 答案　D ‎3．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为______．‎ 答案　2‎ 解析　集合A表示以(0,0)为圆心，1为半径的单位圆上的点，集合B表示直线y＝x上的点，圆x2＋y2＝1与直线y＝x相交于两点，，则A∩B中有两个元素．‎ 题组三　易错自纠 ‎4．已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于(　　)‎ A．0或 B．0或3‎ C．1或 D．1或3或0‎ 答案　B 解析　A＝{1,3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，故B⊆A，所以m＝3或m＝，即m＝3或m＝0或m＝1，其中m＝1不符合题意，所以m＝0或m＝3，故选B.‎ ‎5．已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|22}‎ 解析　由已知可得集合A＝{x|12}．‎ ‎6．若集合A＝{x∈R|ax2－4x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________.‎ 答案　0或2‎ 解析　若a＝0，则A＝，符合题意；‎ 若a≠0，则由题意得Δ＝16－8a＝0，解得a＝2.‎ 综上，a的值为0或2.‎ 题型一　集合的含义 ‎1．设集合A＝{x∈Z||x|≤2}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，则B中的元素有(　　)‎ A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 答案　C 解析　依题意有A＝{－2，－1,0,1,2}，代入y＝x2＋1得到B＝{1,2,5}，故B中有3个元素．‎ ‎2．已知集合A＝，则集合A中的元素个数为(　　)‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ 答案　C 解析　因为∈Z，所以2－x的取值有－3，－1,1,3，又因为x∈Z，所以x的值分别为5,3,1，－1，故集合A中的元素个数为4.‎ ‎3．已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．‎ 答案　－ 解析　由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，‎ 则m＝1或m＝－，‎ 当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；‎ 当m＝－时，m＋2＝，而2m2＋m＝3，故m＝－.‎ 思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．‎ ‎(2)如果是根据已知列方程求参数值，一定要将参数值代入集合中检验是否满足元素的互异性．‎ 题型二　集合间的基本关系 例1 (1)集合M＝，N＝，则两集合M，N的关系为(　　)‎ A．M∩N＝∅ B．M＝N C．M⊆N D．N⊆M 答案　D 解析　由题意，对于集合M，当n为偶数时，设n＝2k(k∈Z)，则x＝k＋1(k∈Z)，当n 为奇数时，设n＝2k＋1(k∈Z)，则x＝k＋1＋(k∈Z)，∴N⊆M，故选D.‎ ‎(2)已知集合A＝{x|x2－2 019x＋2 018<0}，B＝{x|x0时，因为A＝{x|－12}‎ D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}‎ 答案　B 解析　∵x2－x－2>0，∴(x－2)(x＋1)>0，∴x>2或x<－1，即A＝{x|x>2或x<－1}．在数轴上表示出集合A，如图所示．‎ 由图可得∁RA＝{x|－1≤x≤2}．‎ 故选B.‎ ‎(2)已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|－2或x<0}，∴A∪B＝R.‎ 命题点2　利用集合的运算求参数 例3　(1)(2018·锦州模拟)已知集合A＝{x|x2 D．a≥2‎ 答案　D 解析　集合B＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|13}，B－A＝{x|－3≤x<0}，‎ A*B＝(A－B)∪(B－A)＝[－3,0)∪(3，＋∞)．‎ ‎(2)设数集M＝，N＝，且M，N都是集合U＝{x|0≤x≤1}的子集，定义b－a为集合{x|a≤x≤b}的“长度”，则集合M∩N的长度的最小值为________．‎ 答案　 解析　在数轴上表示出集合M与N(图略)，‎ 可知当m＝0且n＝1或n－＝0且m＋＝1时，M∩N的“长度”最小．‎ 当m＝0且n＝1时，M∩N＝，‎ 长度为－＝；‎ 当n＝且m＝时，M∩N＝，‎ 长度为－＝.‎ 综上，M∩N的长度的最小值为.‎ 思维升华 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中．(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素．‎ 跟踪训练3 用C(A)表示非空集合A中元素的个数，定义A*B＝若A＝{1,2}，B＝{x|(x2＋ax)(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)＝________.‎ 答案　3‎ 解析　因为C(A)＝2，A*B＝1，所以C(B)＝1或C(B)＝3.由x2＋ax＝0，得x1＝0，x2＝－a.关于x的方程x2＋ax＋2＝0，当Δ＝0，即a＝±2时，易知C(B)＝3，符合题意；当Δ>0，即 a<－2或a>2时，易知0，－a均不是方程x2＋ax＋2＝0的根，故C(B)＝4，不符合题意；当Δ<0，即－2，故选D.‎ ‎2．设集合M＝{－1,1}，N＝，则下列结论中正确的是(　　)‎ A．NM B．MN C．N∩M＝∅ D．M∪N＝R 答案　B 解析　由题意得，集合N＝＝，所以MN.故选B.‎ ‎3．设集合A＝{x∈Z|x2－3x－4<0}，B＝{x|2x≥4}，则A∩B等于(　　)‎ A．[2,4) B．{2,4}　C．{3} D．{2,3}‎ 答案　D 解析　由x2－3x－4<0，得－10}，若A⊆B，则实数c的取值范围是________．‎ 答案　[1，＋∞)‎ 解析　由题意知，A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0,1)，B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c)．由A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1.‎ ‎13．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝______，n＝________.‎ 答案　－1　1‎ 解析　A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－52a－1时，a<.符合题意．‎ 当B≠∅时，令 解得≤a<1.‎ 综上，实数a的取值范围是(－∞，1)．‎