【数学】2019届一轮复习人教A版理第3章第8节　正弦定理、余弦定理应用举例教案 8页

第八节　正弦定理、余弦定理应用举例 ‎[考纲传真]　(教师用书独具)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．‎ ‎(对应学生用书第64页)‎ ‎[基础知识填充]‎ ‎1．仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图381①)．‎ ‎①　　　　　　　　　②‎ 图381‎ ‎2．方位角和方向角 ‎(1)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图381②)．‎ ‎(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°等．‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　　)‎ ‎(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(　　)‎ ‎(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．(　　)‎ ‎(4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是.(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√‎ ‎2．(教材改编)海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10 n mile，从A望C和B 成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC等于(　　)‎ A．10 n mile　 B． n mile C．5 n mile D．5 n mile D　[如图，在△ABC中，‎ AB＝10，∠A＝60°，‎ ‎∠B＝75°，∠C＝45°，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴BC＝5.]‎ ‎3．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的(　　)‎ A．北偏东15°　　 B．北偏西15°‎ C．北偏东10° D．北偏西10°‎ B　[如图所示，∠ACB＝90°，‎ 又AC＝BC，‎ ‎∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°，‎ ‎∴点A在点B的北偏西15°.]‎ ‎4．如图382，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得AC＝50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为(　　)‎ 图382‎ A．50 m B．25 m C．25 m D．50 m D　[因为∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，所以∠B＝30°.由正弦定理可知＝，即＝，解得AB＝50 m．]‎ ‎5．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h，15 n mile/h，则下午2时两船之间的距离是________ n mile.‎ ‎70　[设两船之间的距离为d，‎ 则d＝50＋30－2×50×30×cos 120°＝4 900，‎ ‎∴d＝70，即两船相距70 n mile.]‎ ‎(对应学生用书第65页)‎ 测量距离问题 ‎　如图383，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，≈1.73) ‎ ‎【导学号：97190136】‎ 图383‎ ‎60　[如图所示，过A作AD⊥CB且交CB的延长线于D．‎ 在Rt△ADC中，‎ 由AD＝46 m，∠ACB＝30°得AC＝92 m.‎ 在△ABC中，∠BAC＝67°－30°＝37°，‎ ‎∠ABC＝180°－67°＝113°，AC＝92 m，‎ 由正弦定理＝，得 ＝，‎ 即＝，‎ 解得BC＝≈60(m)．]‎ ‎[规律方法]　求解距离问题的一般步骤 (1)画出示意图，将实际问题转化成三角形问题；‎ (2)明确所求的距离在哪个三角形中，有几个已知元素；‎ (3)使用正弦定理、余弦定理解三角形(对于解答题，应作答).‎ ‎[跟踪训练]　如图384所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离，即AB＝.‎ 若测得CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝60°，试计算AB的长．‎ 图384‎ ‎[解]　在△ABC中，由余弦定理得 AB＝AC＋BC－2AC·BCcos∠ACB，‎ ‎∴AB＝400＋600－2×400×600cos 60°＝280 000，‎ ‎∴AB＝200(m)，‎ 即A，B两点间的距离为200 m.‎ 测量高度问题 ‎　如图385，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝______m.‎ 图385‎ ‎100　[由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.‎ 又AB＝600 m，‎ 故由正弦定理得＝，‎ 解得BC＝300 m.‎ 在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300× ‎＝100(m)．]‎ ‎[易错警示]　解决高度问题的注意事项 (1)在测量高度时，要准确理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角.‎ (2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面) 同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.‎ (3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.‎ ‎[跟踪训练]　如图386，从某电视塔CO的正东方向的A处，测得塔顶的仰角为60°，在电视塔的南偏西60°的B处测得塔顶的仰角为45°，AB间的距离为35米，则这个电视塔的高度为________米．‎ 图386‎ ‎5　[如图，‎ 可知∠CAO＝60°，∠AOB＝150°，‎ ‎∠OBC＝45°，AB＝35米．‎ 设OC＝x米，则OA＝x米，OB＝x米．‎ 在△ABO中，由余弦定理，‎ 得AB＝OA＋OB－2OA·OB·cos ∠AOB，‎ 即35＝＋x－x·cos 150°，‎ 整理得x＝5，‎ 所以此电视塔的高度是5米．]‎ 测量角度问题 ‎　某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离A为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10海里/时的速度向小岛B靠拢，我海军舰艇立即以10海里/时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．‎ ‎[解]　如图所示，设所需时间为t小时，‎ 则AB＝10t，CB＝10t，‎ 在△ABC中，根据余弦定理，则有AB＝AC＋BC－2AC·BC·cos 120°，‎ 可得(10t)＝10＋(10t)－2×10×10tcos 120°.‎ 整理得2t－t－1＝0，解得t＝1或t＝－(舍去)，‎ ‎∴舰艇需1小时靠近渔船，此时AB＝10，BC＝10.‎ 在△ABC中，由正弦定理得＝，‎ ‎∴sin∠CAB＝＝＝.‎ ‎∴∠CAB＝30°.‎ 所以舰艇航向为北偏东75°.‎ ‎[易错警示]　解决测量角度问题的注意事项 (1)应明确方位角或方向角的含义.‎ (2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步.‎ (3)将实际问题转化为解三角形的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用.‎ ‎[跟踪训练]　如图387，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cos θ的值. ‎ ‎【导学号：97190137】‎ 图387‎ ‎[解]　在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得，BC＝AB＋AC－2AB·AC·cos 120°＝2 800⇒BC＝20.‎ 由正弦定理，得＝⇒sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.‎ 由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝.‎ 由θ＝∠ACB＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB＋30°)＝－sin∠ACB sin 30°＝.‎