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专题十 平面解析几何
———————命题观察·高考定位———————
(对应 生用书第44页)
1.(2016·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1的焦距是________.
2 [∵a2=7,b2=3,∴c2=a2+b2=7+3=10,
∴c=,∴2c=2.]
2.(2016·江苏高考)如图10-1,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆+=1(a>b>0) 的右焦点,直线y= 与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是________.
图10-1
[由题意得B,C,∴=,=,∵·=0,因此c2-2+2=0⇒3c2=2a2⇒e=.]
3.(2015·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为__________.
(x-1)2+y2=2 [直线mx-y-2m-1=0经过定点(2,-1).
当圆与直线相切于点(2,-1)时,圆的半径最大,此时半径r满足r2=(1-2)2+(0+1)2=2.]
4.(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q
的面积是________.
2 [如图所示,双曲线-y2=1的焦点为F1(-2,0),F2(2,0),
所以|F1F2|=4.
双曲线-y2=1的右准线方程为x==,
渐近线方程为y=±x.
由得P.
同理可得Q.
∴|PQ|=,
∴S四边形F1PF2Q=·|F1F2|·|PQ|=×4×=2.]
5.(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若·≤20,则点P的横坐标的取值范围是________.
【导 号:56394068】
[-5,1] [法一:因为点P在圆O:x2+y2=50上,
所以设P点坐标为(x,±)(-5≤x≤5).
因为A(-12,0),B(0,6),
所以=(-12-x,-)或=(-12-x,),
=(-x,6-)或=(-x,6+).
因为·≤20,先取P(x,)进行计算,
所以(-12-x)·(-x)+(-)(6-)≤20,
即2x+5≤.
当2x+5≤0,即x≤-时,上式恒成立;
当2x+5≥0,即x≥-时,(2x+5)2≤50-x2,
解得-≤x≤1,故x≤1.
同理可得P(x,-)时,x≤-5.
又-5≤x≤5,所以-5≤x≤1.
故点P的横坐标的取值范围为[-5,1].
法二:设P(x,y),则=(-12-x,-y),=(-x,6-y).
∵·≤20,
∴(-12-x)·(-x)+(-y)·(6-y)≤20,
即2x-y+5≤0.
如图,作圆O:x2+y2=50,
直线2x-y+5=0与⊙O交于E,F两点,
∵P在圆O上且满足2x-y+5≤0,
∴点P在上.
由得F点的横坐标为1,
又D点的横坐标为-5,
∴P点的横坐标的取值范围为[-5,1].]
6.(2016·江苏高考) 如图10-2,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).
图10-2
(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;
(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得+=,求实数t的取值范围.
【导 号:56394069】
[解] 圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,
所以圆心M(6,7),半径为5.
(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).
因为圆N与x轴相切,与圆M外切,
所以0r时相离.解有关直线与圆的相交问题要灵活运用圆的几何性质,特别是半弦长、弦心距、半径构成直角三角形,满足勾股定理.圆的切线问题一般利用d=r求解,但要注意切线斜率不存在的情形,与圆有关的最值,范围问题要注意数形结合思想的运用.直线与圆中常见的最值问题:①圆外一点与圆上任一点的距离的最值.②直线与圆相离,圆上任一点到直线的距离的最值.③过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最值.④直线与圆相离,过直线上一点作圆的切线,切线长的最小值问题.⑤两圆相离,两圆上点的距离的最值.
[举一反三]
(2017·江苏省无锡市高考数 一模)在平面直角坐标系xOy中,过点M(1,0)的直线l与圆x2+y2=5交于A,B两点,其中A点在第一象限,且=2,则直线l的方程为________.
【导 号:56394071】
x-y-1=0 [由题意,设直线x=my+1与圆x2+y2=5联立,可得(m2+1)y2+2my-4=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y2=-2y1,y1+y2=-,y1y2=-,
联立解得m=1,∴直线l的方程为x-y-1=0.]
圆锥曲线的定义及标准方程
【例4】 (江苏省苏州市2017届高三暑假自主 习测试)如图10-4,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:
图10-4
+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P(3,1)在椭圆上,△PF1F2的面积为2.
(1)①求椭圆C的标准方程;
②若∠F1QF2=,求QF1·QF2的值.
(2)直线y=x+k与椭圆C相交于A,B两点,若以AB为直径的圆经过坐标原点,求实数k的值.
[解] (1)①由条件
可知+=1,c=2,
又a2=b2+c2,
所以a2=12,b2=4,
所以椭圆的标准方程为+=1.
②当θ=时,有
所以QF1·QF2=.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由,得4x2+6kx+3k2-12=0,
由根与系数的关系及直线方程可知:
x1+x2=-,x1x2=,y1y2=,
因为以AB为直径的圆经过坐标原点,则·=x1x2+y1y2=k2-6=0,
解得k=±,此时Δ=120>0,满足条件,
因此k=±.
[规律方法] (1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记,还要深入理解细节部分:比如椭圆的定义中要求+>,双曲线的定义中要求<.
(2)求圆锥曲线标准方程常用的方法:(1)定义法;(2)待定系数法,①顶点在原点,对称轴为坐标轴的抛物线,可设为y2=2ax或x2=2ay (a≠
0),避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论,此时a不具有p的几何意义.②椭圆的标准方程可设为+=1(m>0,n>0),双曲线的标准方程可设为-=1(mn>0),这样可以避免讨论和繁琐的计算.
[举一反三]
(江苏省如东高级中 2017届高三上 期第二次 情调研)已知椭圆C:+=1的左焦点为F,点M是椭圆C上一点,点N是MF的中点,O是椭圆的中点,ON=4,则点M到椭圆C的左准线的距离为________.
[设点M到右焦点的距离为MF′,则MF′=2×4=8,由定义可知该点到左焦点的距离MF=10-8=2,由圆锥曲线的统一定义可得点M到椭圆C的左准线的距离为d===.]
圆锥曲线的几何性质
【例5】 (江苏省扬州市2017届高三上 期期末)已知抛物线y2=16x的焦点恰好是双曲线-=1的右焦点,则双曲线的渐近线方程为________.
[解析] 根据题意,抛物线的标准方程:y2=16x,其焦点坐标为(4,0),
则双曲线-=1的右焦点坐标为(4,0),则c=4,
有12+b2=16,解可得b=2,
则双曲线的方程为-=1,
则该双曲线的渐近线方程y=±x.
[答案] y=±x
[规律方法] 求椭圆、双曲线的离心率,关键是根据已知条件确定a,b,c的等量关系,然后把b用a,c代换,求的值;在双曲线中由于e2=1+2,故双曲线的渐近线与离心率密切相关,求离心率的范围问题关键是确立一个关于a,b,c的不等式,再根据a,b,c的关系消掉b得到关于a,c
的不等式,由这个不等式确定a,c的关系.
[举一反三]
(苏北四市(淮安、宿迁、连云港、徐州)2017届高三上 期期中)如图10-5,在平面直角坐标系xOy中,已知A,B1,B2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的右、下、上顶点,F是椭圆C的右焦点.若B2F⊥AB1,则椭圆C的离心率是________.
图10-5
[由题意得-×=-1⇒b2=ac⇒a2-c2=ac⇒1-e2=e,0<e<1⇒e=.]
直线与圆锥曲线的位置关系
【例6】 (江苏省扬州市2017届高三上 期期末)如图10-6,椭圆C:
图10-6
+=1(a>b>0),圆O:x2+y2=b2,过椭圆C的上顶点A的直线l:y=kx+b分别交圆O、椭圆C于不同的两点P、Q,设=λ.
(1)若点P(-3,0),点Q(-4,-1),求椭圆C的方程;
(2)若λ=3,求椭圆C的离心率e的取值范围.
【导 号:56394072】
[解] (1)由P(-3,0)在圆O:x2+y2=b2上,可得b=3.
又点Q在椭圆C上,得+=1,解得a2=18.
∴椭圆C的方程为+=1;
(2)联立得x=0或xP=-,
联立得x=0或xQ=-.
∵=λ,λ=3,∴=,
∴·=,即k2==4e2-1.
∵k2>0,∴4e2>1,得e>或e<-.
又0<e<1,∴<e<1.
[规律方法] (1)直线与椭圆的位置关系的判定方法
将直线方程与椭圆方程联立,消去一个未知数,得到一个一元二次方程.若Δ>0,则直线与椭圆相交;若Δ=0,则直线与椭圆相切;若Δ<0,则直线与椭圆相离.
(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法
将直线方程与双曲线方程联立,消去y或x,得到一个一元方程ax2+bx+c=0,或ay2+by+c=0,若a≠0,当Δ>0时,直线与双曲线相交;当Δ=0时,直线与双曲线相切;当Δ<0时,直线与双曲线相离;若a=0,直线与渐近线平行,与双曲线有一个交点.
(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法
将直线方程与抛物线方程联立,消去y或x,得到一个一元方程ax2+bx+c=0,或ay2+by+c=0,当a≠0时,用Δ判定,方法同上;当a=0时,直线与抛物线的对称轴平行,与抛物线有一个交点.
抛物线y2=2px(p>0)的过焦点F的弦AB,若A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=,y1y2=-p2,弦长|AB|=x1+x2+p.同样可得抛物线y2=-2px,x2=2py,x2=-2py类似的性质.
(4)解决直线与圆锥曲线相交时的弦长问题方法是:设而不求,根据根与系数的关系,进行整体代入.即当直线与圆锥曲线交于点A(x1,y1),B(x2,y2)时,|AB|=|x1-x2|=|y1-y2|,而|x1-x2|=.
[举一反三]
(2017·江苏省泰州市高考数 一模)如图10-7,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,焦点到相应准线的距离为1.
图10-7
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若P为椭圆上的一点,过点O作OP的垂线交直线y=于点Q,求+的值.
[解] (1)由题意得,=,-c=1,
解得a=,c=1,b=1.
所以椭圆的方程为+y2=1.
(2)由题意知OP的斜率存在.
当OP的斜率为0时,OP=,OQ=,所以+=1.
当OP的斜率不为0时,设直线OP方程为y=kx.
由得(2k2+1)x2=2,解得x2=,所以y2=,
所以OP2=.
因为OP⊥OQ,所以直线OQ的方程为y=-x.
由得x=-k,所以OQ2=2k2+2.
所以+=+=1.
综上,可知+=1.
圆锥曲线中的范围问题
【例7】 (江苏省南京市2017届高三上 期 情调研)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆上一点(在x轴上方),连接PF1并延长交椭圆于另一点Q,设=λ.
(1)若点P的坐标为,且△PQF2的周长为8,求椭圆C的方程;
(2)若PF2垂直于x轴,且椭圆C的离心率e∈,求实数λ的取值范围.
[解] (1) 因为F1,F2为椭圆C的两焦点,且P,Q为椭圆上的点,
所以PF1+PF2=QF1+QF2=2a,从而△PQF2的周长为4a.
由题意,得4a=8,解得a=2.
因为点P的坐标为,所以+=1,
解得b2=3.
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)法一:因为PF2⊥x轴,且P在x轴上方,故设P(c,y0),y0>0.
设Q(x1,y1).
因为P在椭圆上,所以+=1,解得y0=,即P.
因为F1(-c,0),所以=,=(x1+c,y1).
由=λ,得-2c=λ(x1+c),-=λy1,
解得x1=-c,y1=-,所以Q.
因为点Q在椭圆上,所以2e2+=1,
即(λ+2)2e2+(1-e2)=λ2,(λ2+4λ+3)e2=λ2-1,
因为λ+1≠0,
所以(λ+3)e2=λ-1,从而λ==-3.
因为e∈,所以≤e2≤,即≤λ≤5.
所以λ的取值范围为.
法二 因为PF2⊥x轴,且P在x轴上方,故设P(c,y0),y0>0.
因为P在椭圆上,所以+=1,解得y0=,即P.
因为F1(-c,0),故直线PF1的方程为y=(x+c).
由得(4c2+b2)x2+2b2cx+c2(b2-4a2)=0.
因为直线PF1与椭圆有一个交点为P.设Q(x1,y1),
则x1+c=-,即-c-x1=.
因为=λ,
所以λ======-3.
因为e∈,所以≤e2≤,即≤λ≤5.
所以λ的取值范围为.
[规律方法]
(1)求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数,通过求这个函数的值域确定目标的范围.在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件,把需要的量都用我们选用的变量表示,有时为了运算的方便,在建立关系的过程中也可以采用多个变量,只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可,同时要特别注意变量的取值范围.
(2)求解特定字母取值范围问题的常用方法:①构造不等式法:根据题设条件以及曲线的几何性质(如:曲线的范围、对称性、位置关系等),建立关于特定字母的不等式(或不等式组),然后解不等式(或不等式组),求得特定字母的取值范围.②构造函数法:根据题设条件,用其他的变量或参数表示欲求范围的特定字母,即建立关于特定字母的目标函数,然后研究该函数的值域或最值情况,从而得到特定字母的取值范围.③数形结合法:研究特定字母所对应的几何意义,然后根据相关曲线的定义、几何性质,利用数形结合的方法求解.
[举一反三]
(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数 二模)已知椭圆C:+=1(a>0,b>0)的左焦点为F(-1,0),左准线为x=-2.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知直线l交椭圆C于A,B两点.
①若直线l经过椭圆C的左焦点F,交y轴于点P,且满足=λ,=μ,求证:λ+μ为常数;
②若OA⊥OB(O为原点),求△AOB的面积的取值范围.
[解] (1) ∵椭圆C:+=1(a>0,b>0)的左焦点为F(-1,0),
左准线为x=-2,
∴由题设知c=1,=2,a2=2c,
∴a2=2,b2=a2-c2=1,
∴椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)①由题设知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x+1),则P(0,k),设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l代入椭圆得x2+2k2(x+1)2=2,
整理,得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0,
∴x1+x2=,x1x2=,
由=λ,=μ,知λ=,μ=,
∴λ+μ=-
=-
=-=-4(定值).
∴λ+μ为常数-4.
②当直线OA,OB分别与坐标轴重合时,△AOB的面积S△AOB=,当直线OA,OB的斜率均存在且不为零时,设OA:y=kx,OB:y=-x,设A(x1,y1),B(x2,y2),将y=kx代入椭圆C,得到x2+2k2x2=2,
∴x=,y=,
同理,x=,y=,
△AOB的面积S△AOB==,
令t=k2+1∈[1,+∞),则S△AOB==,
令μ=∈(0,1],则S△AOB==∈.
综上所述,△AOB的面积的取值范围是.
圆锥曲线中的存在性问题
【例8】 (淮安市2014-2015 年度第二 期高二调查测试)已知椭圆M:+=1(a>b>0),点F1(-1,0)、C(-2,0)分别是椭圆M的左焦点、左顶点,过点F1的直线l(不与x轴重合)交M于A,B两点.
(1)求椭圆M的标准方程;
(2)若A(0,),求△AOB的面积;
(3)是否存在直线l,使得点B在以线段F1C为直径的圆上,若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
[解] (1)由F1(-1,0)、C(-2,0)得:a=2,b=,
所以椭圆M的标准方程为+=1;
(2)因为A(0,),F1(-1,0),所以过A,F1的直线l的方程为:+=1,
即x-y+=0,
解方程组得y1=,y2=-,
S△ABC=×1×|y1-y2|=;
(3)设B(x0,y0)(-2<x0<2),则+=1.因为C(-2,0),F1(-1,0),
所以·=(-1-x0,-y0)·(-2-x0,-y0)=2+3x0+x+y
=x+3x0+5=0,
解得:x0=-2或-10,
又因为-2<x0<2,所以点B不在以F1C为直径的圆上,
即不存在直线l,使得点B在以F1C为直径的圆上.
[规律方法] (1)求解存在性问题时,通常的方法是首先假设满足条件的几何元素或参数值存在,然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算,若不出现矛盾,并且得到了相应的几何元素或参数值,就说明满足条件的几何元素或参数值存在;若在推理与计算中出现了矛盾,则说明满足条件的几何元素或参数值不存在,同时推理与计算的过程就是说明理由的过程.
(2)解决存在性问题应注意以下几点:①当条件和结论不唯一时要分类讨论;②当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件;③当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要思维开放,采取另外的途径.
(3)解决存在性问题的解题步骤:第一步:先假设存在,引入参变量,根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组);第二步:解此方程(组)或不等式(组),若有解则存在,若无解则不存在;第三步:得出结论.
[举一反三]
(江苏省南通市如东高中2017届高三上 期第二次调研)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,1),P是动点,且△POA的三边所在直线的斜率满足kOP+kOA=kPA.
图10-8
(1)求点P的轨迹C的方程;
(2)若Q是轨迹C上异于点P的一个点,且=λ,直线OP与QA交于点M.
问:是否存在点P,使得△PQA和△PAM的面积满足SPQA=2S△PAM?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
【导 号:56394073】
[解] (1)设点P(x,y).∵kOP+kOA=kPA,∴+(-1)=,化为y=x2(x≠0且x≠-1).
即为点P的轨迹方程.
(2)假设存在点P(x1,x),Q(x2,x),使得△PQA和△PAM的面积满足S△PQA=2S△PAM,
①如图所示,点M为线段AQ的中点.
∵=λ,∴PQ∥OA,得kPQ=kAO=-1.
∴
解得
此时P(-1,1),Q(0,0)分别与A,O重合,因此不符合题意.
故假设不成立,此时不存在满足条件的点P.
②如图所示,当点M在QA的延长线时,由S△PQA=2S△PAM,可得=2,
∵=λ,∴=2,PQ∥OA.
由PQ∥OA,可得kPQ=kAO=-1.
设M(m,n).
由=2,=2,
可得:-1-x2=2(m+1),-x1=2m,
化为x1-x2=3.
联立
解得
此时,P(1,1)满足条件.
综上可知:P(1,1)满足条件.
圆锥曲线中的定值问题
【例9】 (2017·江苏省无锡市高考数 一模)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1(a>b>0)的焦距为2,离心率为,椭圆的右顶点为A.
图10-9
(1)求该椭圆的方程;
(2)过点D(,-)作直线PQ交椭圆于两个不同点P,Q,求证:直线AP,AQ的斜率之和为定值.
[解] (1)由题意可知:椭圆+=1(a>b>0),焦点在x轴上,2c=1,c=1,
椭圆的离心率e==,则a=,b2=a2-c2=1,
则椭圆的标准方程为+y2=1;
(2)证明:设P(x1,y1),Q(x2,y2),A(,0),
由题意PQ的方程:y=k(x-)-,
则整理得:(2k2+1)x2-(4k2+4k)x+4k2+8k+2=0,
由根与系数的关系可知:x1+x2=,x1x2=,
则y1+y2=k(x1+x2)-2k-2
=,
则kAP+kAQ=+
=,
由y1x2+y2x1=[k(x1-)-]x2+[k(x2-)-]x1=2kx1x2-(k+)(x1+x2)=-,
kAP+kAQ=
==1,
∴直线AP,AQ的斜率之和为定值1.
[规律方法] (1)解析几何中的定值问题是指某些几何量线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关,不依参数的变化而变化,而始终是一个确定的值.
(2)求定值问题常见的方法有两种:①从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;②
直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.
(3)定点、定值问题必然是在变化中所表现出 的不变的量,那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等,这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值,就是要求的定点、定值.化解这类问题的关键就是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等,根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.
[举一反三]
(江苏省南京市2017届高考三模)如图10-10,在平面直角坐标系xOy中,椭圆+=1(a>b>0)的右顶点和上顶点分别为点A,B,M是线段AB的中点,且·=-b2.
图10-10
(1)求椭圆的离心率;
(2)若a=2,四边形ABCD内接于椭圆,AB∥CD,记直线AD,BC的斜率分别为k1,k2,求证:k1·k2为定值.
[解] (1)A(a,0),B(0,b),线段AB的中点M.
=(-a,b),=.
∵·=-b2.
∴-+b2=-b2,化为:a=2b.
∴椭圆的离心率e===.
(2)证明:由a=2,可得b=1,
∴椭圆的标准方程为+y2=1,A(2,0),B(0,1).
设直线BC的方程为y=k2x+1,联立化为:(1+4k)x2+8k2x=0,
解得xC=,∴yC=.即C.
直线AD的方程为y=k1(x-2),联立化为(1+4k)x2-16kx+16k-4=0,
∴2xD=,解得xD=,yD=,可得D,
∴kCD==-,化为:1-16kk+2k1-2k2+8k1k-8k2k=0.
∴(4k1k2+4k1-4k2+1)=0,
∴k1k2=.
圆锥曲线中的最值问题
【例10】 如图10-11,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1
(a>b>0)的左,右顶点分别为A1(-,0),A2(,0),若直线3x+4y+5=0上有且仅有一个点M,使得∠F1MF2=90°.
图10-11
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设圆T的圆心T(0,t)在x轴上方,且圆T经过椭圆C两焦点.点P,Q分别为椭圆C和圆T上的一动点.若·=0时,PQ取得最大值为,求实数t的值.
【导 号:56394074】
[解] (1)因为椭圆C:+=1(a>b>0)左,右顶点分别为A1(-,0),A2(,0),所以a2=2.
又因为直线3x+4y+5=0上恰存在一个点M,使得∠F1MF2=90°,
即以原点O为圆心,半径为r=OF1=c作圆O,使得圆O与直线3x+4y+5=0相切即可(图略).
又圆心O到直线3x+4y+5=0的距离d==1,
所以c=1,b2=a2-c2=1,所以椭圆C的标准方程为+y2=1;
(2)设P(x0,y0),因为点P在椭圆上,所以有+y=1,因为圆T的圆心T(0,t)在x轴上方,且圆T经过椭圆C两焦点,所以圆T的方程为x2+(y-t)2=t2+1(t>0),由·=0得PQ2=PT2-QT2=x+(y0-t)2-(t2+1),又+y=1,所以PQ2=-(y0+t)2+t2+1,
①当-t≤-1即t≥1时,当y0=-1时,PQ取得最大值,因为PQ的最大值为,所以=,解得t=,又t≥1,故舍去.
②当-t>-1即0<t<1时,当y0=-t时,PQ取最大值,
所以=,解得t2=,又0<t<1,所以t=.
综上,当t=时,PQ的最大值为.
[规律方法] (1)圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法:一是利用几何方法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是利用代数方法,即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式),然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.
(2)常见的几何方法有:①直线外一定点P到直线上各点距离的最小值为该点P到直线的垂线段的长度;②圆C外一定点P到圆上各点距离的最大值为|PC|+R,最小值为|PC|-R(R为圆C半径);③过圆C内一定点P的圆的最长的弦即为经过P点的直径,最短的弦为过P点且与经过P点直径垂直的弦;④圆锥曲线上本身存在最值问题,如a.椭圆上两点间最大距离为
2a(长轴长);b.双曲线上两点间最小距离为2a(实轴长);c.椭圆上的点到焦点的距离的取值范围为[a-c,a+c],a-c与a+c分别表示椭圆焦点到椭圆上点的最小与最大距离;d.抛物线中顶点与抛物线的准线距离最近.
(3)常用的代数方法有:a.利用二次函数求最值;b.通过三角换元,利用正、余弦函数的有界性求最值;c.利用基本不等式求最值;d.利用导数法求最值;e.利用函数单调性求最值.
[举一反三]
已知圆M:x2+(y-4)2=4,点P是直线l:x-2y=0上的一动点,过点P作圆M的切线PA、PB,切点为A、B.
(1)当切线PA的长度为2时,求点P的坐标;
(2)若△PAM的外接圆为圆N,试问:当P运动时,圆N是否过定点?若存在,求出所有的定点的坐标;若不存在,说明理由;
(3)求线段AB长度的最小值.
[解] (1)由题可知,圆M的半径r=2,设P(2b,b),
因为PA是圆M的一条切线,所以∠MAP=90°,
所以MP===4,解得b=0或b=,
所以P(0,0)或P.
(2)设P(2b,b),因为∠MAP=90°,所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径,
其方程为:(x-b)2+2=,
即(2x+y-4)b-(x2+y2-4y)=0,
由
解得或
所以圆过定点(0,4),.
(3)因为圆N方程为(x-b)2+2=,
即x2+y2-2bx-(b+4)y+4b=0.
圆M:x2+(y-4)2=4,即x2+y2-8y+12=0.
②-①得圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为
2bx+(b-4)y+12-4b=0,
点M到直线AB的距离d=.
相交弦长即:AB=2=4=4,b=时,AB有最小值.
[第3步▕ 高考易错明辨析]
1.忽视直线斜率不存在的情况
已知圆C的方程为x2+y2=4,直线l过点P(1,2),且与圆C交于A、B两点.若|AB|=2,求直线l的方程.
[错解] 方程可设为y-2=k(x-1),又设圆心到直线l的距离为d.
由d2=r2-2,得k=,
代入y-2=k(x-1),得y-2=(x-1),
即3x-4y+5=0.所以直线l的方程为3x-4y+5=0.
[错解分析] 在利用直线的点斜式与斜截式解题时,要防止由于“无斜率”而漏解,本题就是忽略斜率不存在导致圆的切线方程只有一条.
[正解] (1)当直线l的斜率不存在时,画出图象可知,直线x=1也符合题意.
(2)当直线l的斜率k存在时,其方程可设为y-2=k(x-1),又设圆心到直线l的距离为d.
由d2=r2-2,得k=,代入y-2=k(x-1),得y-2=(x-1),
即3x-4y+5=0.所以直线l的方程为3x-4y+5=0和x=1.
2.忽略对直线与圆锥曲线位置关系的判断的情况
已知双曲线x2-=1,问过点A(1,1)能否作直线l,使l与双曲线交于P、Q两点,并且A为线段PQ的中点?若存在,求出直线l
的方程,若不存在,说明理由.
[错解] 设符合题意的直线l存在,并设P(x1,y1)、Q(x2,y2),
则
①-②得(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2),③
因为A(1,1)为线段PQ的中点,所以
将④⑤代入③得x1-x2=(y1-y2),若x1≠x2,则直线l的斜率k==2,
所以符合题设条件的直线l存在,其方程为2x-y-1=0.
[错解分析] 由于点A(1,1)在双曲线外,过点A(1,1)的直线,不一定都与双曲线相交,故应对所求直线进行检验,上述错解没有做到这一点,故是错误的.
[正解] 设符合题意的直线l存在,并设P(x1,y1)、Q(x2,y2),则
①-②得(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2),③
因为A(1,1)为线段PQ的中点,所以
将④⑤代入③得x1-x2=(y1-y2),
若x1≠x2,则直线l的斜率k==2,
再由得2x2-4x+3=0,
根据Δ=-8<0,说明所求直线不存在.
3.忽略对定义的理解的情况
已知圆O1:x2+y2=1,圆O2:x2+y2-10x+9=0都内切于动圆,试求动圆圆心的轨迹方程.
[错解] 圆O2:x2+y2-10x+9=0,即为(x-5)2+y2=16,
所以圆O2的圆心为O2(5,0),半径r2=4,而圆O1:x2+y2=1的圆心为O1(0,0),半径r1=1,
设所求动圆圆心M的坐标为(x,y),半径为r,则r=|O1M|+1且r=|O2M
|+4,所以|O1M|-|O2M|=3,
即-=3,化简得16x2-80x-9y2+64=0,
即-=1为所求动圆圆心的轨迹方程.
[错解分析] 上述解法将|O1M|-|O2M|=3看成||O1M|-|O2M||=3,误认为动圆圆心的轨迹为双曲线,这是双曲线的概念不清所致.
[正解] 圆O2:x2+y2-10x+9=0,即为(x-5)2+y2=16,
所以圆O2的圆心为O2(5,0),半径r2=4,而圆O1:x2+y2=1的圆心为O1(0,0),半径r1=1,
设所求动圆圆心M的坐标为(x,y),半径为r,则r=|O1M|+1且r=|O2M|+4,所以|O1M|-|O2M|=3,即-=3,化简得16x2-80x-9y2+64=0,又因为|O1M|-|O2M|=3,表示动点M到定点O1及O2的距离差为常数3.
且|O1O2|=5>3,点M的轨迹为双曲线右支,方程为-=1(x≥4).
4.忽略直线与双曲线的渐进线平行只有一个交点
过点(0,3)作直线l,如果它与双曲线-=1只有一个公共点,则直线l的条数是________.
[错解] 2
[错解分析] 在探讨直线与双曲线的位置关系时,可以考虑直线方程与双曲线方程的解的情况,但容易忽视直线与渐进线平行的特殊情况,这时构成的方程是一次的.
直线与双曲线的位置关系分为:相交、相离、相切三种.其判定方法有两种:一是将直线方程与双曲线的方程联立消去一个未知数,得到一个一元二次方程ax2+bx+c=0.
若a≠0,Δ>0,直线与双曲线相交,有两个交点;若a
=0,直线与渐进线平行,有一个交点.
若a≠0,Δ=0,直线与双曲线相切,有且只有一个公共点.
若a≠0,Δ<0,直线与双曲线相离,没有公共点.
二是可以利用数形结合的思想.
[正解] 用数形结合的方法:过点(0,3)与双曲线只有一个公共点的直线分两类.一类是平行于渐进线的,有两条;一类是与双曲线相切的有两条.如图所示:
故填4.
———————专家预测·巩固提升———————
(对应 生用书第53页)
1.(改编题)已知抛物线y2=4x与双曲线-=1(a>0,b>0)有相同的焦点F,点A,B是两曲线的交点,若(+)·=0,则双曲线的离心率为________.
+1 [因为抛物线y2=4x与双曲线-=1(a>0,b>0)有相同的焦点F,点A,B是两曲线的交点,且(+)·=0,由二次曲线对称性可得,AF⊥x轴,所以F(1,0),AF=2,A(1,2),则
解得a=-1,所以e===+1.]
2.(改编题)已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且倾斜角为135°的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的横坐标为6,则该抛物线的准线方程为________.
x=-2 [因为直线倾斜角为135°,故它的斜率为-1,又∵焦点为,
∴设直线为y=-,
∵直线交抛物线于A,B两点,∴∴消参得4x2-12px+p2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),∴x1+x2=3p,
∵线段AB的中点的横坐标为6,
∴=6,∴p=4,
∴抛物线的准线方程为x=-2.]
3.(改编题)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点是(1,0),两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.
(1)求椭圆C的方程;
(2)如图10-12,动直线l:y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点,点M,N是直线l上的两点,且F1M⊥l,F2N⊥l.求四边形F1MNF2面积S的最大值.
【导 号:56394075】
图10-12
[解] (1)椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点是(1,0),所以半焦距c=1,又因为椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形,所以=,解得a=2,b=,所以椭圆C的标准方程为+=1; 4分
(2)将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程3x2+4y2=12中,得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,由直线l与椭圆C仅有一个公共点知,
Δ=64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,化简得:m2=4k2+3. 6分
设d1=|F1M|=,d2=|F2N|=,
法一:当k≠0时,设直线l的倾斜角为θ,则|d1-d2|=|MN|×|tan θ|,
∴|MN|=,S=(d1+d2)====,
8分
∵m2=4k2+3,∴当k≠0时,|m|>,|m|+>+=,S<2.
当k=0时,四边形F1MNF2是矩形,S=2.
所以四边形F1MNF2面积S的最大值为2. 12分
法二:∵d+d=2+2==,
d1d2=·===3.
∴|MN|=
==. 8分
四边形F1MNF2的面积
S=|MN|(d1+d2)=(d1+d2),
S2=(d+d+2d1d2)==16-42≤12.
当且仅当k=0时,S2=12,S=2,故Smax=2.
所以四边形F1MNF2的面积S的最大值为2. 12分
4.(改编题)设定圆M:(x+)2+y2=16,动圆N过点F(,0)且与圆M相切,记动圆N圆心N的轨迹为N.过曲线N上任一点P作PQ⊥x轴,垂足为Q,点C在QP的延长线上,且|QP|=|PC|.
(1)求动圆N圆心N的轨迹N与动点C的轨迹E的方程;
(2)设椭圆的左右顶点分别为A,B,直线AC(C点不同于A,B)与直线x=2交于点R,D为线段RB的中点.试判断直线CD与曲线E的位置关系,并证明你的结论.
[解] (1)∵点F(,0)在圆M:(x+)2+y2=16内,∴圆N内切于圆M,
∴|NM|+|NF|=4>|FM|,
∴点N的轨迹N的方程为+y2=1.
设C(x,y),P(x0,y0),由题意得
即又+y=1,
代入得+2=1,
即x2+y2=4.
即动点C的轨迹E的方程为x2+y2=4.6分
(2)设C(m,n),点R的坐标为(2,t),
∵A,C,R三点共线,∴∥,而=(m+2,n),=(4,t),则4n=t(m+2),∴t=,8分
∴点R的坐标为,点D的坐标为,
∴直线CD的斜率为k===,而m2+n2=4,
∴m2-4=-n2,∴k==-,10分
∴直线CD的方程为y-n=-(x-m),化简得mx+ny-4=0,
∴圆心O到直线CD的距离d===2=r,所以直线CD与圆O相切.
12分