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- 2021-06-30 发布
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2020届高三模拟考试试卷
数 学
(满分160分,考试时间120分钟)
2020.4
参考公式:
柱体的体积公式:V柱体=Sh,其中S为柱体的底面积,h为高.
锥体的体积公式:V锥体=Sh,其中S为锥体的底面积,h为高.
一、 填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.
1. 已知集合A={1,4},B={a-5,7}.若A∩B={4},则实数a的值是________.
2. 若复数z满足=2+i,其中i是虚数单位,则z的模是________.
(第4题)
3. 在一块土地上种植某种农作物,连续5年的产量(单位:吨)分别为9.4,9.7,9.8,10.3,10.8,则该农作物的年平均产量是________吨.
4. 如图是一个算法流程图,则输出S的值是________.
5. “石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏,其规则是:在石头、剪子和布中,二人各随机选出一种,若相同则平局;若不同,则石头克剪子,剪子克布,布克石头,甲、乙两人玩一次该游戏,则甲不输的概率是________.
6. 在△ABC中,已知B=2A,AC=BC,则A的值是________.
7. 在等差数列{an}(n∈N*)中,若a1=a2+a4,a8=-3,则a20的值是________.
(第8题)
8. 如图,在体积为V的圆柱O1O2中,以线段O1O2上的点O为顶点,上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为V1,V2,则的值是________.
9. 在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1(a>0,b>0)的左顶点为A,右焦点为F,过F作x轴的垂线交双曲线于点P,Q.若△APQ为直角三角形,则该双曲线的离心率是________.
10. 在平面直角坐标系xOy中,点P在直线y=2x上,过点P作圆C:(x-4)2+y2=8的一条切线,切点为T.若PT=PO,则PC的长是________.
11. 若x>1,则2x++的最小值是________.
12. 在平面直角坐标系xOy中,曲线y=ex在点P(x0,ex0)处的切线与x轴相交于点A,其中e为自然对数的底数.若点B(x0,0),△PAB的面积为3,则x0的值是________.
13. 如图(1)是第七届国际数学教育大会(ICME7)的会徽图案,它是由一串直角三角形演化而成的(如图(2)),其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,则·的值是________.
14. 设函数f(x)=若存在实数m,使得关于x的方程f(x)=m有4个不相等的实根,且这4个根的平方和存在最小值,则实数a的取值范围是________.
二、 解答题:本大题共6小题,共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分14分)
在平面直角坐标系xOy中,已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos(α+),sin(α+)),其中0<α<.
(1) 求(b-a)·a的值;
(2) 若c=(1,1),且(b+c)∥a,求α的值.
16.(本小题满分14分)
如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,CA=CB,点P,Q分别为AB1,CC1的中点.求证:
(1) PQ∥平面ABC;
(2) PQ⊥平面ABB1A1.
17. (本小题满分14分)
如图,在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:(x-3)2+y2=1,椭圆E:+=1(a>b>0)的右顶点A在圆C上,右准线与圆C相切.
(1) 求椭圆E的方程;
(2) 设过点A的直线l与圆C相交于另一点M,与椭圆E相交于另一点N.当AN=AM时,求直线l的方程.
18. (本小题满分16分)
某公园有一块边长为3百米的正三角形ABC空地,拟将它分割成面积相等的三个区域,用来种植三种花卉.方案是:先建造一条直道DE将△ABC分成面积之比为2∶1的两部分(点D,E分别在边AB,AC上);再取DE的中点M,建造直道AM(如图).设AD=x,DE=y1,AM=y2(单位:百米).
(1) 分别求y1,y2关于x的函数关系式;
(2) 试确定点D的位置,使两条直道的长度之和最小,并求出最小值.
19. (本小题满分16分)
若函数f(x)在x0处有极值,且f(x0)=x0,则称x0为函数f(x)的“F点”.
(1) 设函数f(x)=kx2-2ln x(k∈R).
① 当k=1时,求函数f(x)的极值;
② 若函数f(x)存在“F点”,求k的值;
(2) 已知函数g(x)=ax3+bx2+cx(a,b,c∈R,a≠0)存在两个不相等的“F点”x1,x2,且|g(x1)-g(x2)|≥1,求a的取值范围.
20. (本小题满分16分)
在等比数列{an}中,已知a1=1,a4=.设数列{bn}的前n项和为Sn,且b1=-1,an+bn=-Sn-1(n≥2,n∈N*).
(1) 求数列{an}的通项公式;
(2) 求证:数列是等差数列;
(3) 是否存在等差数列{cn},使得对任意n∈N*,都有Sn≤cn≤an?若存在,求出所有符合题意的等差数列{cn};若不存在,请说明理由.
2020届高三模拟考试试卷
数学附加题(满分40分,考试时间30分钟)
21. 【选做题】 在A,B,C三小题中只能选做两题,每小题10分,共20分.若多做,则按作答的前两题计分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
A. (选修42:矩阵与变换)
已知矩阵A=的逆矩阵A-1=.若曲线C1:+y2=1在矩阵A对应的变换作用下得到另一曲线C2,求曲线C2的方程.
B. (选修44:坐标系与参数方程)
在极坐标系中,已知曲线C的方程为ρ=r(r>0),直线l的方程为ρcos(θ+)=.设直线l与曲线C相交于A,B两点,且AB=2,求r的值.
C. (选修45:不等式选讲)
已知实数x,y,z满足++=2,求证:++≤.
【必做题】 第22,23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
22. 小丽在同一城市开的2家店铺各有2名员工.节假日期间的某一天,每名员工休假的概率都是,且是否休假互不影响.若一家店铺的员工全部休假,而另一家无人休假,则调剂1人到该店铺维持营业,否则该店就停业.
(1) 求发生调剂现象的概率;
(2) 设营业店铺数为X,求X的分布列和数学期望.
23.我们称n(n∈N*)元有序实数组(x1,x2,…,xn)为n维向量,为该向量的范数.已知n维向量a=(x1,x2,…,xn),其中xi∈{-1,0,1},i=1,2,…,n.记范数为奇数的n维向量a的个数为An,这An个向量的范数之和为Bn.
(1) 求A2和B2的值;
(2) 当n为偶数时,求An,Bn(用n表示).
2020届高三模拟考试试卷(七市联考)
数学参考答案及评分标准
1. 9 2. 3. 10 4. 5. 6. 7. -15 8. 9. 2 10. 11. 8 12. ln 6
13. 14. (-∞,1)
15. 解:(1) 因为向量a=(cos α,sin α),b=(cos(α+),sin(α+)),
所以(b-a)·a=a·b-a2(2分)
=cos αcos(α+)+sin αsin(α+)-(cos2α+sin2α)(4分)
=cos(-)-1=-1.(6分)
(2) 因为c=(1,1),所以b+c=(cos(α+)+1,sin(α+)+1).
因为(b+c)∥a,所以[cos(α+)+1]sin α-[sin(α+)+1]cos α=0.(9分)
于是sin α-cos α=sin(α+)cos α-cos(α+)sin α,
从而sin(α-)=sin ,即sin(α-)=.(12分)
因为0<α<,所以-<α-<,于是α-=,即α=.(14分)
16. 证明:(1) 取AB的中点D,连结PD,CD.
在△ABB1中,因为点P,D分别为AB1,AB中点,
所以PD∥BB1,且PD=BB1.
在直三棱柱ABCA1B1C1中,CC1∥BB1,CC1=BB1.
因为点Q为棱CC1的中点,所以CQ∥BB1,且CQ=BB1.(3分)
于是PD∥CQ,PD=CQ.
所以四边形PDCQ为平行四边形,从而PQ∥CD.(5分)
因为CD⊂平面ABC,PQ⊄平面ABC,所以PQ∥平面ABC.(7分)
(2) 在直三棱柱ABCA1B1C1中,BB1⊥平面ABC.
又CD⊂平面ABC,所以BB1⊥CD.
因为CA=CB,点D为AB中点,所以CD⊥AB.(10分)
由(1)知CD∥PQ,所以BB1⊥PQ,AB⊥PQ.(12分)
因为AB∩BB1=B,AB⊂平面ABB1A1,BB1⊂平面ABB1A1,
所以PQ⊥平面ABB1A1.(14分)
17. 解:(1) 记椭圆E的焦距为2c(c>0).
因为右顶点A(a,0)在圆C上,右准线x=与圆C:(x-3)2+y2=1相切,
所以解得于是b2=a2-c2=3,
所以椭圆E的方程为+=1.(4分)
(2) (解法1)设N(xN,yN),M(xM,yM),
显然直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-2).
由方程组消去y,得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.
所以xN·2=,解得xN=.(6分)
由方程组消去y,得(k2+1)x2-(4k2+6)x+4k2+8=0,
所以xM·2=,解得xM=.(8分)
因为AN=AM,所以2-xN=(xM-2),(10分)
即=·,解得k=±1.(12分)
所以直线l的方程为x-y-2=0或x+y-2=0.(14分)
(解法2)设N(xN,yN),M(xM,yM),当直线l与x轴重合时,不符题意.
设直线l的方程为x=ty+2(t≠0).
由方程组消去x,得(3t2+4)y2+12ty=0,所以yN=.(6分)
由方程组消去x,得(t2+1)y2-2ty=0,所以yM=.(8分)
因为AN=AM,所以yN=-yM.(10分)
即=-·,解得t=±1.(12分)
所以直线l的方程为x-y-2=0或x+y-2=0.(14分)
18. 解:(1) 因为S△ADE=S△ABC,△ABC是边长为3的等边三角形,又AD=x,
所以AD·AE·sin =(×32×sin ),所以AE=.(2分)
由得2≤x≤3.
(解法1)在△ADE中,由余弦定理得DE2=AD2+AE2-2AD·AE·cos =x2+-6.
所以,直道 DE的长度y1关于x的函数关系式为y1=,x∈[2,3].(6分)
在△ADM和△AEM中,由余弦定理得AD2=DM2+AM2-2DM·AM·cos∠AMD ①,
AE2=EM2+AM2-2EM·AM·cos(π-∠AMD) ②.(8分)
因为点M为DE的中点,所以DM=EM=DE.
由①+②,得AD2+AE2=DM2+EM2+2AM2=DE2+2AM2.
所以x2+()2=(x2+-6)+2AM2,所以AM2=++.
所以,直道AM的长度y2关于x的函数关系式为y2=,x∈[2,3].(10分)
(解法2)在△ADE中,因为=-,
所以2=2-2·+2=()2-2··xcos +x2=x2+-6.
所以,直道DE的长度y1关于x的函数关系式为y1=,x∈[2,3].(6分)
在△ADE中,因为点M为DE的中点,所以=(+).(8分)
所以2=(2+2+2·)=(x2++6).
所以,直道AM的长度y2关于x的函数关系式为y2=,x∈[2,3].(10分)
(2) 由(1)得,两条直道的长度之和为DE+AM=y1+y2=+
≥+(12分)
=+(当且仅当即x=时取“=”).(14分)
答:当AD=百米时,两条直道的长度之和取得最小值(+)百米.(16分)
19. 解:(1) ① 当k=1时,f(x)=x2-2ln x(k∈R),
所以f′(x)=(x>0).令f′(x)=0,得x=1.(2分)
列表如下:
x
(0,1)
1
(1,+∞)
f′(x)
-
0
+
f(x)
极小值
所以函数f(x)在x=1处取得极小值,极小值为1,无极大值.(4分)
② 设x0是函数f(x)的一个“F点”(x0>0).
因为f′(x)=(x>0),所以x0是函数f′(x)的零点.
所以k>0.由f′(x0)=0,得kx=1,x0=.
由f(x0)=x0,得kx-2ln x0=x0,即x0+2ln x0-1=0.(6分)
设φ(x)=x+2ln x-1,则φ′(x)=1+>0,
所以函数φ(x)=x+2ln x-1在(0,+∞)上单调递增,注意到φ(1)=0,
所以方程x0+2ln x0-1=0存在唯一实数根1,所以x0==1,得k=1.
根据①知,k=1时,x=1是函数f(x)的极小值点,所以1是函数f(x)的“F点”.
综上,实数k的值为1.(9分)
(2) 因为g(x)=ax3+bx2+cx(a,b,c∈R,a≠0),
所以g′(x)=3ax2+2bx+c(a≠0).
因为函数g(x)存在不相等的两个“F点”x1和x2,
所以x1,x2是关于x的方程的两个相异实数根.
由ax3+bx2+cx=x得x=0,ax2+bx+c-1=0.(11分)
① 当x=0是函数g(x)一个“F点”时,c=0且x=-,
所以a(-)2+b(-)-1=0,即9a=-2b2.
又|g(x1)-g(x2)|=|x1-x2|=≥1,
所以4b2≥9a2,所以9a2≤2(-9a).
又a≠0,所以-2≤a<0.(13分)
② 当x=0不是函数g(x)一个“F点”时,
则x1,x2是关于x的方程的两个相异实数根.
又a≠0,所以解得
所以ax2=-,得x1,2=±.
所以|g(x1)-g(x2)|=|x1-x2|=2≥1,得-2≤a<0.
综上,实数a的取值范围是[-2,0).(16分)
20. (1) 解:设等比数列{an}的公比为q,
因为a1=1,a4=,所以q3=,解得q=.
所以数列{an}的通项公式为an=()n-1.(3分)
(2) 证明:由(1)得,当n≥2,n∈N*时,()n-1+bn=-Sn-1 ①,
所以()n+bn+1=-Sn ②,
②-①,得bn+1-bn=()n,(5分)
所以-=1,即-=1,n≥2,n∈N*.
因为b1=-1,由①得b2=0,所以-=0-(-1)=1,所以-=1,n∈N*.
所以数列是以-1为首项,1为公差为等差数列.(8分)
(3) 解:由(2)得=n-2,所以bn=,Sn=-2(an+1+bn+1)=-2(+)=-.
假设存在等差数列{cn},其通项cn=dn+c,使得对任意n∈N*,都有Sn≤cn≤an,
即对任意n∈N*,都有-≤dn+c≤ ③.(10分)
首先证明满足③的d=0.若不然,d≠0,则d>0,或d<0.
(ⅰ) 若d>0,则当n>,n∈N*时,cn=dn+c>1≥=an,这与cn≤an矛盾.
(ⅱ) 若d<0,则当n>-,n∈N*时,cn=dn+c<-1.
而Sn+1-Sn=-+=≥0,S1=S2<S3<…,所以Sn≥S1=-1.
故cn=dn+c<-1≤Sn,这与Sn≤cn矛盾.
所以d=0.(12分)
其次证明:当x≥7时,f(x)=(x-1)ln 2-2ln x>0.
因为f′(x)=ln 2->ln 2->0,所以f(x)在[7,+∞)上单调递增,
所以当x≥7时,f(x)≥f(7)=6ln 2-2ln 7=ln >0.
所以当n≥7,n∈N*时,2n-1>n2.(14分)
再次证明c=0.
(ⅲ) 若c<0时,则当n≥7,n>-,n∈N*,Sn=->->c,这与③矛盾.
(ⅳ) 若c>0时,同(ⅰ)可得矛盾.
所以c=0.
当cn=0时,因为Sn=≤0,an=()n-1>0,
所以对任意n∈N*,都有Sn≤cn≤an.所以cn=0,n∈N*.
综上,存在唯一的等差数列{cn},其通项公式为cn=0,n∈N*满足题设.(16分)
2020届高三模拟考试试卷(七市联考)
数学附加题参考答案及评分标准
21. A. 解:因为AA-1=E,所以=,即=.
所以解得所以A=.(4分)
设P(x′,y′)为曲线C1上任一点,则+y′2=1.
又设P(x′,y′)在矩阵A变换作用下得到点Q(x,y),
则=,即=,所以即
代入+y′2=1,得y2+x2=1,
所以曲线C2的方程为x2+y2=1.(10分)
B. 解:以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy,
于是曲线C:ρ=r(r>0)的直角坐标方程为x2+y2=r2,
表示以原点为圆心,半径为r的圆.(3分)
由直线l的方程ρcos(θ+)=,化简得ρcos θcos -ρsin θsin =,
所以直线l的直角坐标方程为x-y-2=0.(6分)
记圆心到直线l的距离为d,则d==.
又r2=d2+()2,即r2=2+7=9,所以r=3.(10分)
C. 证明:因为++=2,
所以++=1-+1-+1-=1.(5分)
由柯西不等式得
(++)(++)≥(++)2,
所以(++)2≤2.
所以++≤.(10分)
22. 解:(1) 记2家小店分别为A,B,A店有i人休假记为事件Ai(i=0,1,2),B店有i人休假记为事件Bi(i=0,1,2),发生调剂现象的概率为P,
则P(A0)=P(B0)=C()2=,
P(A1)=P(B1)=C()2=,
P(A2)=P(B2)=C()2=.
所以P=P(A0B2)+P(A2B0)=×+×=.
答:发生调剂现象的概率为.(4分)
(2) 依题意,X的所有可能取值为0,1,2,则
P(X=0)=P(A2B2)=×=,
P(X=1)=P(A1B2)+P(A2B1)=×+×=.
P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1--=.(8分)
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
所以E(X)=2×+1×+0×=.(10分)
23. 解:(1) 范数为奇数的二元有序实数对有(-1,0),(0,-1),(0,1),(1,0),
它们的范数依次为1,1,1,1,故A2=4,B2=4.(3分)
(2) 当n为偶数时,在向量a=(x1,x2,x3…,xn)的n个坐标中,要使得范数为奇数,则0的个数一定是奇数,所以可按照含0个数为1,3,…,n-1进行讨论:
a的n个坐标中含1个0,其余坐标为1或-1,共有C·2n-1个,每个a的范数为n-1;
a的n个坐标中含3个0,其余坐标为1或-1,共有C·2n-3个,每个a的范数为n-3;…
a的n个坐标中含n-1个0,其余坐标为1或-1,共有C·2个,每个a的范数为1;
所以An=C·2n-1+C·2n-3+…+C·2,
Bn=(n-1)·C·2n-1+(n-3)·C·2n-3+…+C·2.(6分)
因为(2+1)n=C·2n+C·2n-1+C·2n-2+…+C ①,
(2-1)n=C·2n-C·2n-1+C·2n-2-…+(-1)nC ②,
得C·2n-1+C·2n-3+…=,
所以An=.(8分)
(解法1)因为(n-k)C=(n-k)·=n·=nC,
所以Bn=(n-1)·C·2n-1+(n-3)·C·2n-3+…+C·2
=n(C·2n-1+C·2n-3+…+C·2)
=2n(C·2n-2+C·2n-4+…+C)
=2n·()=n·(3n-1-1).(10分)
(解法2)得C·2n+C·2n-2+…=.
因为kC=k·=n·=nC,
所以Bn=(n-1)·C·2n-1+(n-3)·C·2n-3+…+C·2
=n(C·2n-1+C·2n-3+…+C·2)-[C·2n-1+3·C·2n-3+…+(n-1)·C·2]
=nAn-n(C·2n-1+C·2n-3+…+C·2)
=n·(-)=n·(3n-1-1).(10分)