【数学】2019届一轮复习人教B版　抽象问题有形化，破解抽象函数难题学案 9页

压轴题命题区间(一)函数与方程 增分点 抽象问题有形化，破解抽象函数难题 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征式子的一类函数．由于抽象函数表现形式抽象，对学生思维能力考查的起点较高，使得此类问题成为函数内容的难点之一，使多数学生感觉无从下手，望而生畏．事实上，解决此类问题时，只要准确掌握函数的性质，熟知我们所学的基本初等函数，将抽象函数问题转化为具体函数问题，问题就迎刃而解了．‎ ‎[典例] (2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则(xi＋yi)＝( )‎ A．0 B．m C．‎2m D．‎‎4m ‎[思路点拨]‎ ‎(1)由于题目条件中的f(x)没有具体的解析式，仅给出了它满足的性质f(－x)＝2－f(x)，即f(x)(x∈R)为抽象函数，显然我们不可能求出这些点的坐标，这说明这些交点坐标应满足某种规律，而这种规律必然和这两个函数的性质有关．‎ ‎(2)易知函数y＝关于点(0,1)成中心对称，自然而然的让我们有这样的想法：函数f(x)(x∈R)的图象是否也关于点(0,1)成中心对称？基于这个想法及选择题的特点，那么解题方向不外乎两个：一是判断f(x)的对称性，利用两个函数的对称性求解；二是构造一个具体的函数f(x)来求解．‎ ‎[方法演示]‎ 法一：利用函数的对称性 由f(－x)＝2－f(x)，知f(－x)＋f(x)＝2，所以点(x，f(x))与点(－x，f(－x))连线的中点是(0,1)，故函数f(x)的图象关于点(0,1)成中心对称．(此处也可以这样考虑：由f(－x)＝2－f(x)，知f(－x)＋f(x)－2＝0，即[f(x)－1]＋[f(－x)－1]＝0，令F(x)＝f(x)－1，则F(x)＋F(－x)＝0，即F(x)＝f(x)－1为奇函数，图象关于点(0,0)对称，而F(x)的图象可看成是f(x)的图象向下平移一个单位得到的，故f(x)的图象关于点(0,1)对称)．又y＝＝1＋的图象也关于点(0,1)对称，所以两者图象的交点也关于点(0,1)对称，所以对于每一组对称点xi＋xi′＝0，yi＋yi′＝2，所以(xi＋yi)＝i＋i＝0＋2×＝m，故选B.‎ 法二：构造特殊函数 由f(－x)＝2－f(x)，知f(－x)＋f(x)－2＝0，‎ 即[f(x)－1]＋[f(－x)－1]＝0.‎ 令F(x)＝f(x)－1，则F(x)为奇函数，‎ 即f(x)－1为奇函数，从而可令f(x)－1＝x，‎ 即f(x)＝x＋1，显然该函数满足此条件．‎ 此时y＝f(x)与y＝的交点分别为(1,2)和(－1,0)，‎ 所以m＝2，(xi＋yi)＝1＋2＋(－1)＋0＝2，‎ 结合选项可知选B.‎ 答案：B ‎[解题师说]‎ ‎1．解决抽象函数问题的2个常用方法 函数性 质法 先研究清楚函数的奇偶性、对称性和周期性等性质，这样函数就不再抽象了，而是变得相对具体，我们就可以画出符合性质的草图来解题 特殊 值法 根据对题目给出的抽象的函数性质的理解，我们找到一个符合题意的具体函数或给变量赋值，把抽象函数问题化为具体的数学问题，从而问题得解 ‎2．解决抽象函数问题常用的结论 ‎(1)函数y＝f(x)关于x＝对称⇔f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)＝f(b＋a－x)．‎ 特例：函数y＝f(x)关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(‎2a－x)；‎ 函数y＝f(x)关于x＝0对称⇔f(x)＝f(－x)(即为偶函数)．‎ ‎(2)函数y＝f(x)关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔f(‎2a＋x)＋f(－x)＝2b.‎ 特例：函数y＝f(x)关于点(a,0)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝0⇔f(‎2a＋x)＋f(－x)＝0；‎ 函数y＝f(x)关于点(0,0)对称⇔f(x)＋f(－x)＝0(即为奇函数)．‎ ‎(3)y＝f(x＋a)是偶函数⇔函数y＝f(x)关于直线x＝a对称；y＝f(x＋a)是奇函数⇔函数y＝f(x)关于(a,0)对称．‎ ‎(4)对于函数f(x)定义域内任一自变量的值x：‎ ‎①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝‎2a；‎ ‎②若f(x＋a)＝，则T＝‎2a；‎ ‎③若f(x＋a)＝－，则T＝‎2a；(a>0)‎ ‎④若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，则T＝|a－b|；‎ ‎⑤若f(‎2a－x)＝f(x)且f(2b－x)＝f(x)(a≠b)，则T＝2|b－a|.‎ ‎[应用体验]‎ ‎1．已知函数f(x)在R上是单调函数，且满足对任意x∈R，都有f(f(x)－2x)＝3，则f(3)的值是( )‎ A．3 B．7‎ C．9 D．12‎ 解析：选C 由题意，知对任意x∈R，都有f(f(x)－2x)＝3，不妨令f(x)－2x＝c，其中c是常数，则f(c)＝3，所以f(x)＝2x＋c.再令x＝c，则f(c)＝‎2c＋c＝3，即‎2c＋c－3＝0.易得‎2c与3－c至多只有1个交点，即c＝1.所以f(x)＝2x＋1，所以f(3)＝23＋1＝9.‎ ‎2．已知奇函数f(x)(x∈D)，当x>0时，f(x)≤f(1)＝2.给出下列命题：‎ ‎①D＝[－1,1]；‎ ‎②对∀x∈D，|f(x)|≤2；‎ ‎③∃x0∈D，使得f(x0)＝0；‎ ‎④∃x1∈D，使得f(x1)＝1.‎ 其中所有正确命题的个数是( )‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ 解析：选A 由奇函数f(x)(x∈D)，当x>0时，f(x)≤f(1)＝2，只说明函数有最值，与定义域无关，故①错误；对于②，可能f(3)＝－3，|f(3)|＝3>2，故②错误；对于③，当0不在D中，且x轴为渐近线时，则不满足③；当y＝1为渐近线时，不满足④，因此选A.‎ ‎3．已知定义域为R的函数y＝f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)，当x>2时，f(x)单调递增，若x1＋x2<4且(x1－2)·(x2－2)<0，则f(x1)＋f(x2)的值( )‎ A．恒大于0 B．恒小于0‎ C．可能等于0 D．可正可负 解析：选B 法一：由f(－x)＝－f(x＋4)，‎ 得f(－x＋2)＝－f(x－2＋4)＝－f(x＋2)，‎ 即f(x＋2)＝－f(－x＋2)，‎ 故函数f(x)的对称中心为M(2,0)．‎ 令x＝－2，得f(2)＝－f(2)，解得f(2)＝0.‎ 又函数f(x)在[2，＋∞)上单调递增，画出函数的大致图象如图所示．‎ 由(x1－2)(x2－2)<0，可得x1－2与x2－2异号，即x1，x2分布在直线x＝2的两侧，不妨设x1<2|x2－2|，由函数的对称性，可知必有f(x1)＋f(x2)<0.‎ 法二：由f(－x)＝－f(x＋4)可知，f(2＋x)＝－f(2－x)，则函数图象关于点(2,0)中心对称．因为x<2时，f(x)单调递增，所以x>2时，f(x)单调递增．因为x1＋x2<4且(x1－2)·(x2－2)<0，设x1<20时，f(x)>0，‎ 所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，且g(x)>0.‎ 又a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，‎ ‎20．8<2＝log24时，f＝f，则f(6)＝( )‎ A．－2 B．－1‎ C．0 D．2‎ 解析：选D 由题意知当x>时，‎ f＝f，则f(x＋1)＝f(x)．‎ 又当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，‎ ‎∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)．‎ 又当x<0时，f(x)＝x3－1，‎ ‎∴f(－1)＝－2，∴f(6)＝2.‎ ‎5．已知定义在R上的函数f(x)，对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立，若函数y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，则f(2 018)的值为( )‎ A．2 018 B．－2 018‎ C．0 D．4‎ 解析：选C 依题意得，函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0对称，因此函数y＝f(x)是偶函数，且f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，即f(2)＝f(2)＋f(2)，所以f(2)＝0，所以f(x＋4)＝f(x)，即函数y＝f(x)是以4为周期的函数，f(2 018)＝f(4×504＋2)＝f(2)＝0.‎ ‎6．(2018·广西三市联考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，若实数a满足f(2log‎3a)>f(－)，则实数a的取值范围是( )‎ A．(－∞，) B．(0，)‎ C．(，＋∞) D．(1，)‎ 解析：选B ∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，∴f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减．根据函数的对称性，可得f(－)＝f()，∴f(2log‎3a)>f()．∵2log‎3a>0，f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，∴0<2log‎3a<⇒log‎3a<⇒0