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2010~2014年高考真题备选题库
第8章 平面解析几何
第5节 椭圆
1．（2014安徽，5分）若F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点．当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
解：(1)设F(c,0)，由条件知，＝，得c＝.
又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.
故E的方程为＋y2＝1.
(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
将y＝kx－2代入＋y2＝1，
得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.
当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>时，
x1,2＝.
从而|PQ|＝|x1－x2|＝.
又点O到直线PQ的距离d＝.
所以△OPQ的面积S△OPQ＝d·|PQ|＝.
设 ＝t，则t>0，S△OPQ＝＝.
因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ>0.
所以，当△OPQ的面积最大时，l的方程为y＝x－2或y＝－x－2.
4．（2014江苏，14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连结BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结F1C.
(1)若点C的坐标为，且BF2＝，求椭圆的方程；
(2)若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．
解：设椭圆的焦距为2c，则F1(－c，0)，F2(c,0)．
(1)因为B(0，b)，所以BF2＝＝a.
又BF2＝，故a＝.
因为点C在椭圆上，所以＋＝1.
解得b2＝1.
故所求椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)因为B(0，b)，F2(c,0)在直线AB上，
所以直线AB的方程为＋＝1.
解方程组得或
所以点A的坐标为.
又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，可得点C的坐标为.
因为直线F1C的斜率为＝，直线AB的斜率为－，且F1C⊥AB，
所以·＝－1.
又b2＝a2－c2，整理得a2＝5c2.故e2＝.
因此e＝.
5．（2014福建，14分）设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是( )
A．5 B.＋
C．7＋ D．6
解析：选D 设圆的圆心为C，则C(0,6)，半径为r＝，点C到椭圆上的点Q(cos α，sin α)的距离|CQ|＝＝＝≤＝5，当且仅当sin α＝－时取等号，所以|PQ|≤|CQ|＋r＝5＋＝6，即P，Q两点间的最大距离是6，故选D.
6．（2014江西，14分）过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程相减得＋＝0，根据题意有x1＋x2＝2×1＝2，y1＋y2＝2×1＝2，且＝－，所以＋×＝0，得a2＝2b2，所以a2＝2(a2－c2)，整理得a2＝2c2得＝，所以e＝.
答案：.
7．（2014天津，14分）设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B.已知|AB|＝|F1F2|.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切．求直线的斜率．
解析：(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0)．
由|AB|＝|F1F2|，可得a2＋b2＝3c2，
又b2＝a2－c2，则＝.
所以椭圆的离心率e＝.
(2)由(1)知a2＝2c2，b2＝c2.故椭圆方程为＋＝1.
设P(x0，y0)，由F1(－c,0)，B(0，c)，
有＝(x0＋c，y0)，＝(c，c)．
由已知，有·＝0，即(x0＋c)c＋y0c＝0.
又c≠0，故有x0＋y0＋c＝0. ①
又因为点P在椭圆上，故＋＝1. ②
由①和②可得3x＋4cx0＝0.而点P不是椭圆的顶点，故x0＝－c，代入①得y0＝，则点P的坐标为.
设圆的圆心为T(x1，y1)，
则x1＝＝－c，y1＝＝c，
进而圆的半径r＝＝c.
设直线l的斜率为k，依题意，直线l的方程为y＝kx.由l与圆相切，可得＝r，即＝c，整理得k2－8k＋1＝0，解得k＝4±.
所以直线l的斜率为4＋或4－.
8．（2013新课标全国Ⅰ，5分）已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：本题考查直线与椭圆的位置关系、斜率公式、焦点弦和中点弦问题，意在考查考生通过解方程组求解弦的中点的能力．运用两点式得到直线的方程，代入椭圆方程，消去y，由根与系数的关系得到a，b之间的关系，并由a，b，c之间的关系确定椭圆方程．因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝(x－3)，代入椭圆方程＋＝1消去y，得x2－a2x＋a2－a2b2＝0，所以AB的中点的横坐标为＝1，即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3，选择D.
答案：D
9．（2013广东，5分）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：本题主要考查椭圆的图像、方程、性质等知识，考查数形结合的数学思想方法，意在考查考生的抽象概括能力、运算求解能力．依题意，设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，所以解得a2＝4，b2＝3.
答案：D
10．（2013新课标全国Ⅱ，5分）设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：本题主要考查椭圆离心率的计算，涉及椭圆的定义、方程与几何性质等知识，意在考查考生的运算求解能力．
法一：由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，故离心率e＝＝＝＝＝.
法二：由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±，所以|PF2|＝.又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝|PF2|，故2c＝·，变形可得(a2－c2)＝2ac，等式两边同除以a2，得(1－e2)＝2e，解得e＝或e＝－(舍去)．
答案：D
11．（2013辽宁，5分）已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝，则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：本题主要考查圆锥曲线的定义、离心率，解三角形等知识，意在考查考生对圆锥曲线的求解能力以及数据处理能力．由余弦定理得，|AF|＝6，所以2a＝6＋8＝14，又2c＝10，所以e＝＝.
答案：B
12．（2013四川，5分）从椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
解析：本题主要考查椭圆的简单几何性质，意在考查曲线和方程这一解析几何的基本思想．由已知，点P(－c，y)在椭圆上，代入椭圆方程，得P.∵AB∥OP，∴kAB＝kOP，即－＝－，则b＝c，∴a2＝b2＋c2＝2c2，则＝，即该椭圆的离心率是.
答案：C
13．（2013天津，13分）设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若·＋·＝8，求k的值．
解：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、向量的运算等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查考生的运算求解能力以及运用方程思想解决问题的能力．
(1)设F(－c,0)，由＝，知a＝c.过点F且与x轴垂直的直线的方程为x＝－c，代入椭圆方程有＋＝1，解得y＝±，于是＝，解得b＝，又a2－c2＝b2，从而a＝，c＝1，所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1,0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)，由方程组消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.
由根与系数的关系可得x1＋x2＝－，x1x2＝.因为A(－，0)，B(，0)所以·＋·＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)
＝6－2x1x2－2y1y2
＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)
＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2
＝6＋.
由已知得6＋＝8，解得k＝±.
14．（2012山东，5分）已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：因为椭圆的离心率为，所以e＝＝，c2＝a2，c2＝a2＝a2－b2，所以b2＝a2，即a2
＝4b2.双曲线的渐近线方程为y＝±x，代入椭圆方程得＋＝1，即＋＝＝1，所以x2＝b2，x＝±b，y2＝b2，y＝± b，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为(b，b)，所以四边形的面积为4× b× b＝b2＝16，所以b2＝5，所以椭圆方程为＋＝1.
答案：D
15．（2012新课标全国，5分）设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：由题意可得|PF2|＝|F1F2|，所以2(a－c)＝2c，所以3a＝4c，所以e＝.
答案：C
16．（2011浙江，5分）已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)与双曲线C2：x2－＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则( )
A．a2＝ B．a2＝13
C．b2＝ D．b2＝2
解析：对于直线与椭圆、圆的关系，如图所示，设直线AB与椭圆C1的一个交点为C(靠近A的交点)，则|OC|＝，
因tan∠COx＝2，
∴sin∠COx＝，
cos∠COx＝，
则C的坐标为(，)，代入椭圆方程得＋＝1，∴a2＝11b2.∵5＝a2－b2，∴b2＝.
答案：C
17．（2011新课标全国，5分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为____．
解析：根据椭圆焦点在x轴上，可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，∵e＝，∴＝.根据△ABF2的周长为16得4a＝16，因此a＝4，b＝2，
所以椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
18．（2012陕西，13分）已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．
(1)求椭圆C2的方程；
(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，＝2，求直线AB的方程．
解：(1)由已知可设椭圆C2的方程为＋＝1(a>2)，
其离心率为，故＝，则a＝4，
故椭圆C2的方程为＋＝1.
(2)法一：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.
将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，
所以x＝，
将y＝kx代入＋＝1中，得(4＋k2)x2＝16，
所以x＝，
又由＝2，得x＝4x，即＝，
解得k＝±1，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.
法二：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，
由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，
因此可设直线AB的方程为y＝kx.
将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以
x＝，由＝2，得x＝，y＝，
将x，y代入＋＝1中，得＝1，即4＋k2＝1＋4k2，
解得k＝±1，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.
19．(2010天津，12分)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为(－a,0)，点Q(0，y0)在线段AB的垂直平分线上，且·＝4，求y0的值．
解：(1)由e＝＝，得3a2＝4c2，再由c2＝a2－b2，得a＝2b.
由题意可知×2a×2b＝4，即ab＝2.
解方程组得a＝2，b＝1.
所以椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)由(1)可知A(－2,0)，设B点的坐标为(x1，y1)，直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋2)．
于是A，B两点的坐标满足方程组
由方程组消去y并整理，得
(1＋4k2)x2＋16k2x＋(16k2－4)＝0.
由－2x1＝，得
x1＝，从而y1＝.
设线段AB的中点为M，则M的坐标为(－，)．
以下分两种情况：
①当k＝0时，点B的坐标为(2,0)，线段AB的垂直平分线为y轴，
于是＝(－2，－y0)，＝(2，－y0)．
由·＝4，得y0＝±2.
②当k≠0时，线段AB的垂直平分线的方程为y－＝－(x＋)．
令x＝0，解得y0＝－.
由＝(－2，－y0)，＝(x1，y1－y0)，
·＝－2x1－y0(y1－y0)＝＋(＋)
＝＝4，
整理得7k2＝2，故k＝±，
所以y0＝±.
综上，y0＝±2或y0＝±.
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