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  • 2021-06-30 发布

2016届高考数学(理)5年高考真题备考试题库:第8章 第5节 椭圆

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‎2010~2014年高考真题备选题库 第8章 平面解析几何 第5节 椭圆 ‎1.(2014安徽,5分)若F1,F2分别是椭圆E:x2+=1(0b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.‎ ‎(1)求E的方程;‎ ‎(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点.当△OPQ的面积最大时,求l的方程.‎ 解:(1)设F(c,0),由条件知,=,得c=.‎ 又=,所以a=2,b2=a2-c2=1.‎ 故E的方程为+y2=1.‎ ‎(2)当l⊥x轴时不合题意,故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).‎ 将y=kx-2代入+y2=1,‎ 得(1+4k2)x2-16kx+12=0.‎ 当Δ=16(4k2-3)>0,即k2>时,‎ x1,2=.‎ 从而|PQ|=|x1-x2|=.‎ 又点O到直线PQ的距离d=.‎ 所以△OPQ的面积S△OPQ=d·|PQ|=.‎ 设 =t,则t>0,S△OPQ==.‎ 因为t+≥4,当且仅当t=2,即k=±时等号成立,且满足Δ>0.‎ 所以,当△OPQ的面积最大时,l的方程为y=x-2或y=-x-2.‎ ‎4.(2014江苏,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连结BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连结F‎1C.‎ ‎(1)若点C的坐标为,且BF2=,求椭圆的方程;‎ ‎(2)若F‎1C⊥AB,求椭圆离心率e的值.‎ 解:设椭圆的焦距为‎2c,则F1(-c,0),F2(c,0).‎ ‎(1)因为B(0,b),所以BF2==a.‎ 又BF2=,故a=.‎ 因为点C在椭圆上,所以+=1.‎ 解得b2=1.‎ 故所求椭圆的方程为+y2=1.‎ ‎(2)因为B(0,b),F2(c,0)在直线AB上,‎ 所以直线AB的方程为+=1.‎ 解方程组得或 所以点A的坐标为.‎ 又AC垂直于x轴,由椭圆的对称性,可得点C的坐标为.‎ 因为直线F‎1C的斜率为=,直线AB的斜率为-,且F‎1C⊥AB,‎ 所以·=-1.‎ 又b2=a2-c2,整理得a2=‎5c2.故e2=.‎ 因此e=.‎ ‎5.(2014福建,14分)设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是(  )‎ A.5 B.+ C.7+ D.6 解析:选D 设圆的圆心为C,则C(0,6),半径为r=,点C到椭圆上的点Q(cos α,sin α)的距离|CQ|===≤=5,当且仅当sin α=-时取等号,所以|PQ|≤|CQ|+r=5+=6,即P,Q两点间的最大距离是6,故选D.‎ ‎6.(2014江西,14分)过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:+=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于________.‎ 解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),分别代入椭圆方程相减得+=0,根据题意有x1+x2=2×1=2,y1+y2=2×1=2,且=-,所以+×=0,得a2=2b2,所以a2=2(a2-c2),整理得a2=‎2c2得=,所以e=.‎ 答案:.‎ ‎7.(2014天津,14分)设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B.已知|AB|=|F‎1F2|.‎ ‎(1)求椭圆的离心率;‎ ‎(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆相切.求直线的斜率.‎ 解析:(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0).‎ 由|AB|=|F‎1F2|,可得a2+b2=‎3c2,‎ 又b2=a2-c2,则=.‎ 所以椭圆的离心率e=.‎ ‎(2)由(1)知a2=‎2c2,b2=c2.故椭圆方程为+=1.‎ 设P(x0,y0),由F1(-c,0),B(0,c),‎ 有=(x0+c,y0),=(c,c).‎ 由已知,有·=0,即(x0+c)c+y‎0c=0.‎ 又c≠0,故有x0+y0+c=0. ①‎ 又因为点P在椭圆上,故+=1. ②‎ 由①和②可得3x+4cx0=0.而点P不是椭圆的顶点,故x0=-c,代入①得y0=,则点P的坐标为.‎ 设圆的圆心为T(x1,y1),‎ 则x1==-c,y1==c,‎ 进而圆的半径r==c.‎ 设直线l的斜率为k,依题意,直线l的方程为y=kx.由l与圆相切,可得=r,即=c,整理得k2-8k+1=0,解得k=4±.‎ 所以直线l的斜率为4+或4-.‎ ‎8.(2013新课标全国Ⅰ,5分)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为(  )‎ A.+=1            B.+=1‎ C.+=1 D.+=1‎ 解析:本题考查直线与椭圆的位置关系、斜率公式、焦点弦和中点弦问题,意在考查考生通过解方程组求解弦的中点的能力.运用两点式得到直线的方程,代入椭圆方程,消去y,由根与系数的关系得到a,b之间的关系,并由a,b,c之间的关系确定椭圆方程.因为直线AB过点F(3,0)和点(1,-1),所以直线AB的方程为y=(x-3),代入椭圆方程+=1消去y,得x2-a2x+a2-a2b2=0,所以AB的中点的横坐标为=1,即a2=2b2,又a2=b2+c2,所以b=c=3,选择D.‎ 答案:D ‎ ‎9.(2013广东,5分)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于,则C的方程是(  )‎ A.+=1 B.+=1‎ C.+=1 D.+=1‎ 解析:本题主要考查椭圆的图像、方程、性质等知识,考查数形结合的数学思想方法,意在考查考生的抽象概括能力、运算求解能力.依题意,设椭圆方程为+=1(a>b>0),所以解得a2=4,b2=3.‎ 答案:D ‎10.(2013新课标全国Ⅱ,5分)设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F‎1F2,∠PF‎1F2=30°,则C的离心率为(  )‎ A.              B. C. D. 解析:本题主要考查椭圆离心率的计算,涉及椭圆的定义、方程与几何性质等知识,意在考查考生的运算求解能力.‎ 法一:由题意可设|PF2|=m,结合条件可知|PF1|=‎2m,|F‎1F2|=m,故离心率e=====.‎ 法二:由PF2⊥F‎1F2可知P点的横坐标为c,将x=c代入椭圆方程可解得y=±,所以|PF2|=.又由∠PF‎1F2=30°可得|F‎1F2|=|PF2|,故‎2c=·,变形可得(a2-c2)=‎2ac,等式两边同除以a2,得(1-e2)=2e,解得e=或e=-(舍去).‎ 答案:D ‎ ‎11.(2013辽宁,5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=,则C的离心率为(  )‎ A. B. C. D. 解析:本题主要考查圆锥曲线的定义、离心率,解三角形等知识,意在考查考生对圆锥曲线的求解能力以及数据处理能力.由余弦定理得,|AF|=6,所以‎2a=6+8=14,又‎2c=10,所以e==.‎ 答案:B ‎12.(2013四川,5分)从椭圆+=1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1,A是椭圆与x轴正半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB∥OP(O是坐标原点),则该椭圆的离心率是(  )‎ A. B. C. D. 解析:本题主要考查椭圆的简单几何性质,意在考查曲线和方程这一解析几何的基本思想.由已知,点P(-c,y)在椭圆上,代入椭圆方程,得P.∵AB∥OP,∴kAB=kOP,即-=-,则b=c,∴a2=b2+c2=‎2c2,则=,即该椭圆的离心率是.‎ 答案:C ‎13.(2013天津,13分)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.若·+·=8,求k的值.‎ 解:本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、向量的运算等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质,考查考生的运算求解能力以及运用方程思想解决问题的能力.‎ ‎(1)设F(-c,0),由=,知a=c.过点F且与x轴垂直的直线的方程为x=-c,代入椭圆方程有+=1,解得y=±,于是=,解得b=,又a2-c2=b2,从而a=,c=1,所以椭圆的方程为+=1.‎ ‎(2)设点C(x1,y1),D(x2,y2),由F(-1,0)得直线CD的方程为y=k(x+1),由方程组消去y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0.‎ 由根与系数的关系可得x1+x2=-,x1x2=.因为A(-,0),B(,0)所以·+·=(x1+,y1)·(-x2,-y2)+(x2+,y2)·(-x1,-y1)‎ ‎=6-2x1x2-2y1y2‎ ‎=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)‎ ‎=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2‎ ‎=6+.‎ 由已知得6+=8,解得k=±.‎ ‎14.(2012山东,5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为.双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为(  )‎ A.+=1 B.+=1‎ C.+=1 D.+=1‎ 解析:因为椭圆的离心率为,所以e==,c2=a2,c2=a2=a2-b2,所以b2=a2,即a2‎ ‎=4b2.双曲线的渐近线方程为y=±x,代入椭圆方程得+=1,即+==1,所以x2=b2,x=±b,y2=b2,y=± b,则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为(b,b),所以四边形的面积为4× b× b=b2=16,所以b2=5,所以椭圆方程为+=1.‎ 答案:D ‎15.(2012新课标全国,5分)设F1,F2是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为(  )‎ A. B. C. D. 解析:由题意可得|PF2|=|F‎1F2|,所以2(a-c)=‎2c,所以‎3a=‎4c,所以e=.‎ 答案:C ‎16.(2011浙江,5分)已知椭圆C1:+=1(a>b>0)与双曲线C2:x2-=1有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点.若C1恰好将线段AB三等分,则(  )‎ A.a2=            B.a2=13‎ C.b2= D.b2=2‎ 解析:对于直线与椭圆、圆的关系,如图所示,设直线AB与椭圆C1的一个交点为C(靠近A的交点),则|OC|=,‎ 因tan∠COx=2,‎ ‎∴sin∠COx=,‎ cos∠COx=,‎ 则C的坐标为(,),代入椭圆方程得+=1,∴a2=11b2.∵5=a2-b2,∴b2=.‎ 答案:C ‎17.(2011新课标全国,5分)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为.过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么C的方程为____.‎ 解析:根据椭圆焦点在x轴上,可设椭圆方程为+=1(a>b>0),∵e=,∴=.根据△ABF2的周长为16得‎4a=16,因此a=4,b=2,‎ 所以椭圆方程为+=1.‎ 答案:+=1‎ ‎18.(2012陕西,13分)已知椭圆C1:+y2=1,椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率.‎ ‎(1)求椭圆C2的方程;‎ ‎(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆C1和C2上,=2,求直线AB的方程.‎ 解:(1)由已知可设椭圆C2的方程为+=1(a>2),‎ 其离心率为,故=,则a=4,‎ 故椭圆C2的方程为+=1.‎ ‎(2)法一:A,B两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),由=2及(1)知,O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上,因此可设直线AB的方程为y=kx.‎ 将y=kx代入+y2=1中,得(1+4k2)x2=4,‎ 所以x=,‎ 将y=kx代入+=1中,得(4+k2)x2=16,‎ 所以x=,‎ 又由=2,得x=4x,即=,‎ 解得k=±1,故直线AB的方程为y=x或y=-x.‎ 法二:A,B两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),‎ 由=2及(1)知,O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上,‎ 因此可设直线AB的方程为y=kx.‎ 将y=kx代入+y2=1中,得(1+4k2)x2=4,所以 x=,由=2,得x=,y=,‎ 将x,y代入+=1中,得=1,即4+k2=1+4k2, ‎ 解得k=±1,故直线AB的方程为y=x或y=-x.‎ ‎19.(2010天津,12分)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率e=,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A,B,已知点A的坐标为(-a,0),点Q(0,y0)在线段AB的垂直平分线上,且·=4,求y0的值.‎ 解:(1)由e==,得‎3a2=‎4c2,再由c2=a2-b2,得a=2b.‎ 由题意可知×‎2a×2b=4,即ab=2.‎ 解方程组得a=2,b=1.‎ 所以椭圆的方程为+y2=1.‎ ‎(2)由(1)可知A(-2,0),设B点的坐标为(x1,y1),直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x+2).‎ 于是A,B两点的坐标满足方程组 由方程组消去y并整理,得 ‎(1+4k2)x2+16k2x+(16k2-4)=0.‎ 由-2x1=,得 x1=,从而y1=.‎ 设线段AB的中点为M,则M的坐标为(-,).‎ 以下分两种情况:‎ ‎①当k=0时,点B的坐标为(2,0),线段AB的垂直平分线为y轴,‎ 于是=(-2,-y0),=(2,-y0).‎ 由·=4,得y0=±2.‎ ‎②当k≠0时,线段AB的垂直平分线的方程为y-=-(x+).‎ 令x=0,解得y0=-.‎ 由=(-2,-y0),=(x1,y1-y0),‎ ‎·=-2x1-y0(y1-y0)=+(+)‎ ‎==4,‎ 整理得7k2=2,故k=±,‎ 所以y0=±.‎ 综上,y0=±2或y0=±.‎

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