2021高考数学一轮复习课后限时集训38二元一次不等式组与简单的线性规划问题文北师大版2 7页

课后限时集训38‎ 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 建议用时：45分钟 一、选择题 ‎1．不等式x2－y2≤0表示的平面区域(用阴影部分表示)应是(　　)‎ A　　　　　B　　　　　C　　　　　D D　[x2－y2≤0⇔(x＋y)(x－y)≤0⇔或结合图形可知选D.]‎ ‎2．设x，y满足约束条件则z＝x－y的取值范围是(　　)‎ A．[－3,0]　　　 B．[－3,2]‎ C．[0,2] D．[0,3]‎ B　[画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．‎ 由题意可知，当直线y＝x－z过点A(2,0)时，z取得最大值，即zmax＝2－0＝2；当直线y＝x－z过点B(0,3)时，z取得最小值，即zmin＝0－3＝－3.‎ 所以z＝x－y的取值范围是[－3,2]．‎ 故选B.]‎ ‎3．若变量x，y满足则x2＋y2的最大值是(　　)‎ A．4 B．9　　　　‎ C．10　　　　 D．12‎ C　[作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x2＋y2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由得A(3，－1)，由图易得(x2＋y2)max＝|OA|2＝32＋(－1)2＝10.‎ 故选C.]‎ ‎4．若x，y满足且z＝3x－y的最大值为2，则实数m的值为(　　)‎ - 7 -‎ A. B. ‎ C．1 D．2‎ D　[由选项得m＞0，作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．‎ 因为z＝3x－y，所以y＝3x－z，当直线y＝3x－z经过点A时，直线在y轴上的截距－z最小，即目标函数取得最大值2.‎ 由得A(2，4)，代入直线mx－y＝0得2m－4＝0，所以m＝2.]‎ ‎5．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为(　　)‎ 甲 乙 原料限额 A(吨)‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎12‎ B(吨)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎8‎ A．12万元 B．16万元 C．17万元 D．18万元 D　[设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，每天所获利润为z万元，则有目标函数z＝3x＋4y，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：‎ 可得目标函数在点A处取到最大值．‎ 由得A(2,3)．‎ 则zmax＝3×2＋4×3＝18(万元)．]‎ 二、填空题 ‎6．(2018·全国卷Ⅲ)若变量x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值是________．‎ - 7 -‎ ‎3　[作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，画出直线y＝－3x，平移该直线，由图可知当平移后的直线经过直线x＝2与直线x－2y＋4＝0的交点(2,3)时，z＝x＋y取得最大值，即zmax＝2＋×3＝3.‎ ‎]‎ ‎7．若变量x，y满足约束条件则(x－2)2＋y2的最小值为________．‎ ‎5　[作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示，‎ 设z＝(x－2)2＋y2，‎ 则z的几何意义为区域内的点到定点D(2,0)的距离的平方，‎ 由图知C，D间的距离最小，此时z最小．‎ 由得即C(0,1)，‎ 此时zmin＝(x－2)2＋y2＝4＋1＝5.]‎ ‎8．已知实数x，y满足约束条件则目标函数z＝的最大值为________．‎ ‎－　[作出约束条件所表示的平面区域，其中A(0,1)，B(1,0)，C(3,4)．‎ 目标函数z＝表示过点Q(5，－2)与点(x，y)的直线的斜率，且点(x，y)在△ABC平面区域内．‎ 显然过B，Q两点的直线的斜率z最大，最大值为＝－.]‎ 三、解答题 - 7 -‎ ‎9．如图所示，已知D是以点A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．‎ ‎(1)写出表示区域D的不等式组；‎ ‎(2)设点B(－1，－6)，C(－3,2)在直线4x－3y－a＝0的异侧，求a的取值范围．‎ ‎[解](1)直线AB，AC，BC的方程分别为7x－5y－23＝0，x＋7y－11＝0,4x＋y＋10＝0.原点(0,0)在区域D内，故表示区域D的不等式组为 ‎(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a]·[4×(－3)－3×2－a]＜0，‎ 即(14－a)(－18－a)＜0，‎ 解得－18＜a＜14.故a的取值范围是(－18,14)．‎ ‎10．若x，y满足约束条件 ‎(1)求目标函数z＝x－y＋的最值；‎ ‎(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围．‎ ‎[解](1)作出可行域如图，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)．‎ 平移初始直线x－y＋＝0，过A(3,4)时z取最小值－2，过C(1,0)时z取最大值1.‎ 所以z的最大值为1，最小值为－2.‎ ‎(2)直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，由图像可知－1＜－＜2，‎ 解得－4＜a＜2.‎ 故a的取值范围是(－4,2)．‎ ‎1．已知实数x，y满足约束条件若目标函数z＝y－ax(a≠0)取得最大值时的最优解有无数个，则a的值为(　　)‎ A．2 B．1‎ C．1或2 D．－1‎ - 7 -‎ B　[不等式组表示的平面区域如图所示：‎ 由z＝y－ax得y＝ax＋z，当a＜0时，不合题意．‎ 当a＞0时，直线y＝ax＋z与AC重合时，z取得最大值的最优解有无数个，则a＝1，故选B.]‎ ‎2．若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为(　　)‎ A．－3 B．1 ‎ C. D．3‎ B　[作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A，B，C，D的坐标分别为A(2,0)，B(1－m,1＋m)，C，D(－2m,0)．‎ S△ABC＝S△ADB－S△ADC＝|AD|·|yB－yC|＝(2＋2m)·＝(1＋m)＝，解得m＝1或m＝－3(舍去)．]‎ ‎3．(2019·南阳模拟)已知O是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是________．‎ ‎[0,2]　[作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，‎ 因为点A(－1,1)，点M(x，y)，所以·＝y－x，令y－x＝m，平移直线y－x＝m，由图可知，当直线经过点D(1,1)时，m取得最小值，且最小值为0，当直线经过点C(0,2)时，m取得最大值，且最大值为2，所以y－x的取值范围是[0,2]，故·的取值范围是[0,2]．]‎ ‎4．某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：‎ ‎　　原料 肥料　　‎ A B C - 7 -‎ 甲 ‎4‎ ‎8‎ ‎3‎ 乙 ‎5‎ ‎5‎ ‎10‎ 现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨．在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．‎ ‎(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；‎ ‎(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．‎ ‎[解](1)由已知，x，y满足的数学关系式为 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．‎ 图1‎ ‎(2)设利润为z万元，则目标函数为z＝2x＋3y.‎ 考虑z＝2x＋3y，将它变形为y＝－x＋，它的图像是斜率为－，随z变化的一组平行直线，为直线在y轴上的截距，当取最大值时，z的值最大．根据x，y满足的约束条件，由图2可知，当直线z＝2x＋3y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．‎ 图2‎ 解方程组得点M的坐标为(20,24)，‎ 所以zmax＝2×20＋3×24＝112.‎ 即生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．‎ ‎1．已知不等式组表示的平面区域为D，若对任意的(x，y)∈D，不等式t－4＜x－2y＋6＜t - 7 -‎ ‎＋4恒成立，则实数t的取值范围是________．‎ ‎(3,5)　[作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．‎ 可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)，设z＝x－2y＋6，平移直线y＝x，可知z＝x－2y＋6在A(3,4)处取得最小值1，在C(1,0)处取得最大值7，所以解得3＜t＜5，故实数t的取值范围是(3,5)．]‎ ‎2．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的图像与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，且0＜x1＜1＜x2＜2，求b＋2c的取值范围．‎ ‎[解]　由函数f(x)＝x2＋bx＋c的图像与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，‎ 且0＜x1＜1＜x2＜2，‎ 则设z＝b＋2c，‎ 作出约束条件所表示的平面区域(如图阴影部分，不含边界)，如图所示，‎ 由图像可知，当z＝b＋2c经过点A时，目标函数z＝b＋2c取得最大值，‎ 当z＝b＋2c经过点B时，目标函数z＝b＋2c取得最小值，‎ 又由解得A(－3,2)，‎ 此时zmax＝－3＋2×2＝1，‎ 由解得B(－2,0)，‎ 此时zmin＝－2＋2×0＝－2，‎ 所以b＋2c的取值范围是(－2,1)．‎ - 7 -‎