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- 2021-06-30 发布
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第二篇 重点专题分层练
,
中高档题得高分
第
16
练 计数原理
[
小题提速练
]
明晰
考
情
1.
命题角度:考查两个计数原理的简单应用;二项式定理主要考查特定项和系数
.
2
.
题目难度:中低档难度
.
核心考点突破练
栏目索引
易错易混专项练
高考押题冲刺练
考点一 两个计数原理
要点重组
(1)
分类加法计数原理中分类方法中的每一种方法都能完成这件事情,类与类之间是独立的
.
(2)
分步乘法计数原理中每步中的某一方法只能完成这件事的一部分,步与步之间是相关联的
.
核心考点突破练
1.
在
100
,
101
,
102
,
…
,
999
这些数中,各位数字按严格递增
(
如
“
145
”
)
或严格递减
(
如
“
321
”
)
顺序排列的数的个数是
A.120
B.204
C.168
D.216
√
解析
由题意知本题是一个计数原理的应用,首先对数字分类,
当数字不含
0
时,从
9
个数字中选三个,
则这三个数字递增或递减的顺序可以确定两个三位数
,
共有
=
168(
个
)
,
当三个数字中含有
0
时,从
9
个数字中选
2
个数,
它们只有递减一种结果,
共有
=
36(
个
)
,
根据分类加法计数原理知共有
168
+
36
=
204(
个
)
,故选
B.
答案
解析
2.
如图,正五边形
ABCDE
中,若把顶点
A
,
B
,
C
,
D
,
E
染上红、黄、绿三种颜色中的一种,使得相邻顶点所染颜色不相同,则不同的染色方法共有
A.30
种
B.27
种
C.24
种
D.21
种
√
解析
由题意知本题需要分类来解答,
首先
A
选取一种颜色,有
3
种情况
.
如果
A
的两个相邻点颜色相同,有
2
种情况;
这时最后两个点也有
2
种情况;
如果
A
的两个相邻点颜色不同,有
2
种情况;
这时最后两个点有
3
种情况
.
所以共有
3
×
(2
×
2
+
2
×
3)
=
30(
种
)
方法
.
答案
解析
3.
三条边长都是整数,且最大边长为
11
的三角形的个数为
____.
解析
设两条较短边长为
x
,
y
,不妨设
1
≤
x
≤
y
≤
11
,且
x
+
y
≥
12.
对
y
进行分类:
当
y
=
11
时,
x
可以取
1
到
11
的
11
个正整数;
当
y
=
10
时,
x
可以取
2
到
10
的
9
个正整数;
当
y
=
9
时,
x
可以取
3
到
9
的
7
个正整数;
……
;
当
y
=
6
时,
x
可以取
6
这
1
个正整数;
y
≤
5
时不可能
.
所以三角形的个数为
11
+
9
+
7
+
5
+
3
+
1
=
36.
答案
解析
36
4.
将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同的分法种数为
____.(
用数字作答
)
解析
甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同的分组方式有三类:
①
甲单独一组,有
1
种分法;
②
甲和丙或甲和丁两名学生一组,有
2
种分法;
③
甲、丙、丁三名学生一组,有
1
种分法
.
然后把这两组分到两个不同的班级里
,
则
不同的分法种数为
(1
+
2
+
1
)
=
8.
答案
解析
8
考点二 排列组合的应用
方法技巧
(1)
解排列组合问题的三大原则:先特殊后一般,先取后排,先分类后分步
.
(2)
排列组合问题的常用解法
①
特殊元素
(
特殊位置
)
优先安排法;
②
相邻问题捆绑法;
③
不相邻问题插空法;
④
定序问题缩倍法
.
5.3
名医生和
6
名护士被分配到
3
所学校为学生体检,每所学校分配
1
名医生和
2
名护士,则不同的分配方法共有
A.90
种
B.180
种
C.270
种
D.540
种
√
答案
解析
6.
张、王两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩,购票后排队依次入园
.
为安全起见,首尾一定要排两位爸爸,另外,两个小孩一定要排在一起,则这六人的入园顺序排法种数为
A.12
B.24
C.36
D.48
√
解析
将两位爸爸排在两端,有
2
种排法;
将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上
,
有
种
排法
,
故总的排法有
2
×
2
×
=
24(
种
).
答案
解析
7.(2018·
张掖三诊
)
《红海行动》是一部现代海军题材影片,该片讲述了中国海军
“
蛟龙突击队
”
奉命执行撤侨任务的故事
.
撤侨过程中,海军舰长要求队员们依次完成六项任务,并对任务的顺序提出了如下要求:重点任务
A
必须排在前三位,且任务
E
,
F
必须排在一起,则这六项任务的不同安排方案共有
A.240
种
B.188
种
C.156
种
D.120
种
√
∴
共有
24
+
72
+
24
=
120(
种
)
方案
.
答案
解析
8.
为促进城乡一体化进程,某单位选取了
6
户家庭到
4
个村庄体验农村生活,要求将
6
户家庭分成
4
组,其中
2
组各有
2
户家庭,另外
2
组各有
1
户家庭,则不同的分配方案的种数是
A.216
B.420
C.720
D.1
080
√
剩下的
2
户家庭可以直接看成
2
组,然后将分成的
4
组进行全排列,
解析
先分组,每组含有
2
户家庭的有
2
组,
答案
解析
考点三 二项式定理的应用
方法技巧
(1)
求二项展开式的特定项的实质是通项
公式
T
k
+
1
=
的
应用,可通过确定
k
的值再代入求解
.
(2)
二项展开式各项系数和可利用赋值法解决
.
A.10
B.20
C.40
D.80
令
10
-
3
k
=
4
,得
k
=
2.
√
答案
解析
A.4
B.5
C.6
D.7
当
k
=
2
,
n
=
5
时满足题意
.
√
答案
解析
11.
已知
(1
+
x
)
10
=
a
0
+
a
1
(1
-
x
)
+
a
2
(1
-
x
)
2
+
…
+
a
10
(1
-
x
)
10
,则
a
8
等于
A.
-
5
B.5
C.90
D.180
解析
∵
(1
+
x
)
10
=
[2
-
(1
-
x
)]
10
=
a
0
+
a
1
(1
-
x
)
+
a
2
(1
-
x
)
2
+
…
+
a
10
(1
-
x
)
10
,
√
答案
解析
A.
-
12
B.12
C
.
-
172
D.172
√
答案
解析
1.
在航天员进行的一项太空实验中,要先后实施
6
个程序,其中程序
A
只能出现在第一步或最后一步,程序
B
和
C
在实施时必须相邻,则在该实验中程序顺序的编排方法共有
A.34
种
B.48
种
C.96
种
D.144
种
易错易混专项练
解析
由题意知,程序
A
只能出现在第一步或最后一步
,
所以有
=
2(
种
)
结果
.
因为程序
B
和
C
在实施时必须相邻,
所以把
B
和
C
看作一个元素,
有
=
48(
种
)
结果,
根据
分步乘法计数原理可知,共有
2
×
48
=
96(
种
)
结果,故选
C.
√
答案
解析
2.
某公司有五个不同的部门,现有
4
名在校大学生来该公司实习,要求安排到该公司的两个部门,且每部门安排两名,则不同的安排方案种数为
A.60
B.40
C.120
D.240
√
答案
解析
-
84
若存在常数项
答案
解析
解题秘籍
(1)
解有限制条件的排列组合问题,要按照元素
(
或位置
)
的性质进行分类,按事件发生的顺序进行分步
.
(2)
平均分组问题中
,
平均分成的组
,
不管它们的顺序如何
,
都是一种情况
.
(3)
求各项系数和要根据式子整体结构,灵活赋值;对复杂的展开式的指定项,可利用转化思想,通过二项展开式的通项解决
.
高考押题冲刺练
1.(2017·
全国
Ⅱ
)
安排
3
名志愿者完成
4
项工作,每人至少完成
1
项,每项工作由
1
人完成,则不同的安排方式共有
A.12
种
B.18
种
C.24
种
D.36
种
√
解析
由题意可得,其中
1
人必须完成
2
项工作,其他
2
人各完成
1
项工作,
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
解析
2.(2018·
长沙雅礼中学等联考
)
某大型花展期间,安排
6
位志愿者到
4
个展区提供服务,要求甲、乙两个展区各安排一个人,剩下两个展区各安排两个人,其中的小李和小王不在一起,则不同的安排方案共有
A.168
种
B.156
种
C.172
种
D.180
种
√
∴
共有
12
+
96
+
48
=
156(
种
)
方案
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
解析
3.
将
18
个参加青少年科技创新大赛的名额分配给
3
所学校,要求每所学校至少有
1
个名额且各校分配的名额互不相等,则不同的分配方法种数为
A.96
B.114
C.128
D.136
√
分配名额相等有
22
种
(
可以逐个数
)
,
则满足题意的方法有
136
-
22
=
114(
种
).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
解析
A.15
B.20
C.30
D.35
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
解析
5.(2018·
莆田期末
)
从
5
位男实习教师和
4
位女实习教师中选出
3
位教师派到
3
个班实习班主任工作,每班派一名,要求这
3
位实习教师中男女都要有,则不同的选派方案共有
A.210
种
B.420
种
C.630
种
D.840
种
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
解析
6.
已知
(1
+
ax
)(1
+
x
)
5
的展开式中
x
2
的系数为
5
,则
a
等于
A.
-
4
B
.
-
3
C.
-
2
D
.
-
1
√
所以
10
+
5
a
=
5
,
a
=-
1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
解析
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7.(2
x
-
1)
10
=
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
…
+
a
9
x
9
+
a
10
x
10
,则
a
2
+
a
3
+
…
+
a
9
+
a
10
的值为
A.
-
20
B.0
C.1
D.20
√
所以
a
2
+
a
3
+
…
+
a
9
+
a
10
=
20.
答案
解析
解析
令
x
=
1
,得
a
0
+
a
1
+
a
2
+
…
+
a
9
+
a
10
=
1
,
再令
x
=
0
,得
a
0
=
1
,所以
a
1
+
a
2
+
…
+
a
9
+
a
10
=
0
,
8.
登山运动员
10
人,平均分为两组,其中熟悉道路的有
4
人,每组都需要
2
人,那么不同的分配方法种数是
A.30
B.60
C.120
D.240
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
解析
9.(2018·
浙江
)
从
1
,
3
,
5
,
7
,
9
中任取
2
个数字,从
0
,
2
,
4
,
6
中任取
2
个数字,一共可以组成
______
个
没有重复数字的四位数
.(
用数字作答
)
1 260
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
解析
综上,四位数的个数为
720
+
540
=
1 260.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7
答案
解析
11.
设
m
为正整数,
(
x
+
y
)
2
m
展开式的二项式系数的最大值为
a
,
(
x
+
y
)
2
m
+
1
展开式的二项式系数的最大值为
b
.
若
13
a
=
7
b
,则
m
=
___.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
6
答案
解析
12.
公安部新修订的《机动车登记规定》正式实施后,小型汽车的号牌已经可以采用
“
自主编排
”
的方式进行编排
.
某人欲选由
A
,
B
,
C
,
D
,
E
中的两个不同的字母和
1
,
2
,
3
,
4
,
5
中的三个不同数字
(
三个数字都相邻
)
组成一个号牌,则他选择号牌的方法种数为
_______.
3 600
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
解析
本课结束
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