2018版高考数学（人教A版理）一轮复习：第5章 第4节 课时分层训练31 6页

课时分层训练(三十一)　数列求和 A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．数列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n项和Sn的值等于(　　) ‎ ‎【导学号：01772189】‎ A．n2＋1－　　　　　 B.2n2－n＋1－ C．n2＋1－ D.n2－n＋1－ A　[该数列的通项公式为an＝(2n－1)＋，‎ 则Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋ ‎＝n2＋1－.]‎ ‎2．(2016·安徽江南十校3月联考)在数列{an}中，an＋1－an＝2，Sn为{an}的前n项和．若S10＝50，则数列{an＋an＋1}的前10项和为(　　)‎ A．100 B.110‎ C．120 D.130‎ C　[{an＋an＋1}的前10项和为a1＋a2＋a2＋a3＋…＋a10＋a11＝2(a1＋a2＋…＋a10)＋a11－a1＝2S10＋10×2＝120.故选C.]‎ ‎3．(2016·湖北七校2月联考)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了(　　)‎ A．192里 B.96里 C．48里 D.24里 B　[由题意，知每天所走路程形成以a1为首项，公比为的等比数列，则＝378，解得a1＝192，则a2＝96，即第二天走了96里．故选B.]‎ ‎4．(2016·江西高安中学第九校联考)已知数列5,6,1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S16等于(　　)‎ A．5 B.6‎ C．7 D.16‎ C　[根据题意这个数列的前8项分别为5,6,1，－5，－6，－1,5,6，发现从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.‎ 又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S16＝2×0＋7＝7.故选C.]‎ ‎5．已知函数f(x)＝xa的图象过点(4,2)，令an＝，n∈N*，记数列{an}的前n项和为Sn，则S2 017＝(　　) ‎ ‎【导学号：01772190】‎ A.－1 B.－1‎ C.－1 D.＋1‎ C　[由f(4)＝2得4a＝2，解得a＝，则f(x)＝x.‎ ‎∴an＝＝＝－，‎ S2 017＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 017＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝－1.]‎ 二、填空题 ‎6．设数列{an }的前n项和为Sn，且an＝sin，n∈N*，则S2 016＝__________. ‎ ‎【导学号：01772191】‎ ‎0　[an＝sin，n∈N*，显然每连续四项的和为0.‎ S2 016＝S4×504＝0.]‎ ‎7．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝__________.‎ ‎2n ＋1－2　[∵an＋1－an＝2n，‎ ‎∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1‎ ‎＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n－2＋2＝2n.‎ ‎∴Sn＝＝2n＋1－2.]‎ ‎8．(2017·广州综合测试(二))设数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝12，Sn＝kn2－1(n∈N*)，则数列的前n项和为__________．‎ 　[令n＝1得a1＝S1＝k－1，令n＝2得S2＝4k－1＝a1＋a2＝k－1＋12，解得k＝4，所以Sn＝4n2－1，＝＝＝，则数列的前n项和为＋＋…＋＝＝.]‎ 三、解答题 ‎9．(2017·成都二诊)已知数列{an}满足a1＝1，(n＋1)an＝(n－1)an－1(n≥2，n∈N*)．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式an；‎ ‎(2)设数列{an }的前n项和为Sn，证明：Sn<2.‎ ‎[解]　(1)∵当n≥2时，(n＋1)an＝(n－1)an－1，‎ 得＝，＝，…，＝.‎ 将上述式子相乘得＝.3分 又a1＝＝1，‎ ‎∴an＝.5分 ‎(2)证明：∵an＝＝2，‎ ‎∴Sn＝2 ‎＝2＝2－，‎ ‎∴Sn<2.12分 ‎10．(2016·全国卷Ⅱ)Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28.记bn＝[lg an]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.‎ ‎(1)求b1，b11，b101；‎ ‎(2)求数列{bn}的前1 000项和．‎ ‎[解]　(1)设{an}的公差为d，据已知有7＋21d＝28，解得d＝1.‎ 所以{an}的通项公式为an＝n.3分 b1＝[lg 1]＝0，b11＝[lg 11]＝1，b101＝[lg 101]＝2.5分 ‎(2)因为bn＝ 所以数列{bn}的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893.12分 B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．已知等比数列{an}的各项都为正数，且当n≥3时，a4a2n－4＝102n，则数列lg a1,2lg a2,22lg a3,23lg a4，…，2n－1lg an，…的前n项和Sn等于(　　) ‎ ‎【导学号：01772192】‎ A．n·2n B.(n－1)·2n－1－1‎ C．(n－1)·2n＋1 D.2n＋1‎ C　[∵等比数列{an}的各项都为正数，且当n≥3时，‎ a4a2n－4＝102n，∴a＝102n，即an＝10n，‎ ‎∴2n－1lg an＝2n－1lg 10n＝n·2n－1，‎ ‎∴Sn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n·2n－1，①‎ ‎2Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，②‎ ‎∴①－②得－Sn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n＝(1－n)·2n－1，‎ ‎∴Sn＝(n－1)·2n＋1.]‎ ‎2．(2017·合肥二次质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－2n，则Sn＝__________.‎ n·2n(n∈N*)　[由Sn＝2an－2n得当n＝1时，S1＝a1＝2；当n≥2时，Sn＝2(Sn－Sn－1)－2n，即－＝1，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，则＝n，Sn＝n·2n(n≥2)，当n＝1时，也符合上式，所以Sn＝n·2n(n∈N*)．]‎ ‎3．(2017·广州综合测试(二))设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1＝3，an＋1＝2Sn＋3(n∈N*)．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)令bn＝(2n－1)an，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎[解]　(1)当n≥2时，由an＋1＝2Sn＋3得an＝2Sn－1＋3，‎ 两式相减，得an＋1－an＝2Sn－2Sn－1＝2an，‎ ‎∴an＋1＝3an，∴＝3.‎ 当n＝1时，a1＝3，a2＝2S1＋3＝2a1＋3＝9，则＝3. 3分 ‎∴数列{an}是以a1＝3为首项，公比为3的等比数列．‎ ‎∴an＝3×3n－1＝3n. 5分 ‎(2)法一：由(1)得bn＝(2n－1)an＝(2n－1)·3n，7分 ‎∴Tn＝1×3＋3×32＋5×33＋…＋(2n－1)·3n，①‎ ‎3Tn＝1×32＋3×33＋5×34＋…＋(2n－1)·3n＋1，②‎ ‎①－②得－2Tn＝1×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－(2n－1)·3n＋1‎ ‎＝3＋2×(32＋33＋…＋3n)－(2n－1)·3n＋1‎ ‎＝3＋2×－(2n－1)·3n＋1‎ ‎＝－6－(2n－2)·3n＋1.10分 ‎∴Tn＝(n－1)·3n＋1＋3. 12分 法二：由(1)得bn＝(2n－1)an＝(2n－1)·3n.7分 ‎∵(2n－1)·3n＝(n－1)·3n＋1－(n－2)·3n，‎ ‎∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ‎＝(0＋3)＋(33＋0)＋(2×34－33)＋…＋[(n－1)·3n＋1－(n－2)·3n]‎ ‎＝(n－1)·3n＋1＋3. 12分