【推荐】专题2-5 指数与指数函数-2018年高三数学（文）一轮总复习名师伴学 30页

‎【真题回放】‎ ‎1．【2017天津高考文6】 已知奇函数在上是增函数.若，则的大小关系为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】 ‎ ‎【考点解读】本题主要考查函数的奇偶性与指数、对数的运算，为基础题。首先根据奇函数的性质和对数 运算法则，，再比较比较大小.‎ ‎2.【2017山东文10】若函数(e=2.71828,是自然对数的底数)在的定义域上单调递增,则称函数具有M性质,下列函数中具有M性质的是（ ）‎ A . B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由A,令,,在R上单调递增,具有M性质,‎ ‎ 而C，为减函数，B，在R上不单调，D也是。故选A。 ‎ ‎【考点解读】本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可（即函数的单调性）．‎ ‎3.【2017山东高考文14】已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当 时,,则f(919)= .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由f(x+4)=f(x-2)可知，f(x)是周期函数，且T=6，所以 ‎【考点解读】本题以指数函数为载体，考查了函数的奇偶性和周期性及指数运算，为基础题。‎ ‎4. 【2017高考江苏文11】已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，‎ 则实数a的取值范围是 。‎ ‎【答案】‎ ‎【考点解读】本题为函数奇偶性与单调性结合问题，可由函数解析式（含指数型函数），判断出 是奇函数，再通过导数判断出定义域上的单调性，化为比较自变量。对知识综合运用要求较高。‎ ‎5.【2017课标3文16】设函数则满足的x的取值范围是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 令； ， 当时 ； ‎ 当时；‎ ‎ 当时；‎ 写成分段函数的形式：，‎ 函数 在区间 三段区间内均单调递增，‎ 且： ，据此x的取值范围是： .‎ ‎【考点解读】本题以分段函数（含指数函数）为载体，求解不等式。考查了分类思想。解题需注意；‎ ‎ (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值.‎ ‎(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.‎ 考点分析 考点 了解A 掌握B 灵活运用C 有理指数幂的含义 B 实数指数幂的意义 A 幂的运算 C 指数函数的概念、图像及其性质 B 指数与指数函数部分内容，要求学生熟练掌握指数幂的运算，理解指数函数及其图像的概念及其性质，并体会指数函数是一类重要的函数模型。高考对该部分的考查，常与函数性质相结合，常见问题为函数求值，比较数值大小、解不等式、函数零点、求最值、求参数范围等。解决问题中要注意数形结合思想及分类思想的运用。‎ 融会贯通 题型一　指数幂的运算 典例1. （1）(2016昆明模拟)设2x＝8y＋1, 9y＝3x－9，则x＋y的值为(　　)‎ A．18 B．21 C．24 D．27‎ ‎【答案】D ‎（2）(2017抚顺模拟)化简·的结果是(　　)‎ A. B．－ C. D．－ ‎【答案】B ‎【解析】·＝·(－)＝－(－a)·(－a)＝－(－a)＝－.‎ ‎（3）（2017南昌一中期末） (Ⅰ) ‎ ‎(Ⅱ)已知，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】(Ⅰ)原式=‎ ‎ (Ⅱ) 由已知得；，又 ‎ 则原式=‎ 解题技巧与方法总结 指数幂的运算规律 ‎1．有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算．‎ ‎2．先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．‎ ‎3．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．‎ ‎4．若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．‎ ‎5．运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．‎ ‎【变式训练】‎ ‎（1）（2017南昌一中期末）计算的值为（ ）‎ A.5 B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎（2）（2016包头市模拟）已知,则 ‎ ‎【答案】3‎ ‎（3）（2017银川一中月考）(Ⅰ) 已知，计算：；‎ ‎(Ⅱ) 求的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)4 (Ⅱ)‎ 知识链接：‎ 知识点1　根式的概念及重要公式 ‎1．根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果xn＝a，那么x叫做a的n次实数方根 n>1且n∈N*‎ 当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数 ‎ 零的n次实数方根是零 当n为偶数时，正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数 ‎± 负数没有偶次方根 ‎2.两个重要公式;(1)＝ ‎(2)()n＝a(注意a必须使有意义)．‎ 知识点2　有理指数幂 ‎1．分数指数幂 ‎(1)正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；‎ ‎(2)负分数指数幂：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；‎ ‎(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．‎ ‎2．有理数指数幂的运算性质 ‎(1) ar·as＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)； (2) (ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)； (3) (ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．‎ 题型二　指数函数的图像 典例2. （1）（2017青岛模拟）已知函数（ 其中的图象如图所示，则函数的图象是图中的（ ）‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知中函数的图象可得：，，故选A.‎ ‎（2）（2017江西省鹰潭市联考）以依次表示方程的根，则的大小顺序为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎2．（2017银川模拟）若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．‎ ‎【答案】[－1,1] ‎ 解题技巧与方法总结 解决指数函数图象问题的两个关键点 ‎1．指数型函数的图象与性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解． ‎ ‎2．一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解．‎ ‎【变式训练】‎ ‎1.(2017甘肃武威期末) 已知，则函数和 在同一坐标系中的图象只可能是图中的（ ）‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意，由，函数在上为减函数，可排除选项A、C，又，则函数的图象是开口向下.故选D.‎ ‎2.（2017四川双流中学期末）已知函数（且）的图象如下图所示，则的值是________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】由函数（且）过点代入表达式得： ，‎ 所以 ‎3. (2016重庆模拟)若函数y＝2－x＋1＋m的图象不经过第一象限，则m的取值范围是________．‎ ‎【答案】　m≤－2‎ ‎ 4.（2017南昌调研）直线 与函数 的图象有且仅有两个公共点，则实数的取值范围是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】的图象由的图象向下平移一个单位，再将轴下方的图象翻折到轴上方得到，分和两种情况分别作图，如图所示，当时不合题意；时，需要，即，故答案为.‎ 知识链接：‎ 知识点3　指数函数的定义、图象与性质 定义 函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x为自变量 底数 a>1‎ ‎00时，y>1；当x<0时，00时，01‎ 在R上是增函数 在R上是减函数 必会结论；在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象越高，底数越大．‎ 必清误区；指数函数的单调性是由底数a的大小决定的，当底数a不确定时，‎ 应按01进行分类讨论．‎ 题型三　指数函数的性质及应用 命题点1　　比较指数幂的大小 典例3.（1）(2017黑龙江省大庆实验中学期末) ，则的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎ (2)（2017大庆一中期末）指数函数、、、在同一坐标系中的图象如图所示，则与1的大小关系为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由、为增函数可知，由、为减函数可知结合指数函数的渐进性可知 命题点2　简单的指数方程或不等式的应用 ‎(3) （2017宁夏大学附属中学期中）满足的的取值集合是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得 ‎(4)(2017甘肃天水一中期末)函数的最大值与函数的最值相等，则a的值为________．‎ ‎【答案】或，‎ ‎【解析】，函数的最小值是2，当时，函数的最大值是，解得，当时，函数的最大值是，解得：，所以或。‎ ‎（5）(2016石家庄模拟)设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是________．‎ ‎【答案】　(－3,1)‎ ‎（6）（2017潍坊模拟）函数 的值域是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将函数转化为分段函数，图象如下图所示，‎ 所以函数的值域为 ‎（7）（2017南昌调研）已知当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得，，所以要使得不等式恒成立，‎ 即在上恒成立，令，即，即 在上恒成立，令，可得当时，函数 ‎，所以实数的取值范围为.‎ 命题点3　　探究指数型函数的奇偶性、单调性等性质 ‎（8）(2017安徽无为县联考)函数（是自然对数的底数）的部分图象大致是（ ）‎ ‎【答案】C ‎【解析】易得为偶函数，故排除A,B，又由，故排除D,故选C. ‎ ‎（9）（2016西安铁一中模拟）函数（，且）的图像过一个定点，则这个定点坐标是（ ）‎ A．（5，1） B．（1，5） C．（1，4） D．（4，1）‎ ‎【答案】B ‎【解析】令，解得，则时，函数 ‎，即函数图象恒过一个定点。‎ ‎（10）（2017哈尔滨模拟）函数的单调递增区间是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【变式训练】‎ ‎1.（2016银川模拟）已知函数，若，则（ ）‎ A.3 B.4 C.5 D.25‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎2. (2017大连理工附中期末) 已知，，，则，，的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数单调递减，由，则，即，函数单调递增，由，则，则，故，故选D.‎ ‎3．（山东省鄄城县一中月考）若函数在上是减函数，则关于的不等式 的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为在上是减函数，且在上是增函数，所以函数在上是减函数，所以.由得，选D. ‎ ‎4.（2017兰州模拟）已知函数 的定义域和值域都是 ，‎ 则_________.‎ ‎【答案】‎ ‎5.(2016武汉模拟)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝－＋，则此函数的值域为________．‎ ‎【答案】　 ‎【解析】设t＝，当x≥0时，2x≥1，∴00‎ ，则原函数可化为y=t‎2‎-2t-a=t-1‎‎2‎-1-a≥‎ ‎ -1-a> 0⇒a<-1‎‎ ‎ 考点：函数的零点 ‎6.（2017青岛调研）利若直角坐标平面内的两不同点、满足条件：①、都在函数的 图象上；②、关于原点对称。则称点对是函数的一对“友好点对”（注：点对与看作同一对“友好点对”）。已知函数，则此函数的“友好点对”有（ ）对 A．0 B．1 C. 2 D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意得:函数 “友好点对”的对数,等于函数的图象可以知道,两个图象只有一个交点.所以B选项是正确的. ‎ 考点：指数与二次函数的图象.‎ ‎7.（2017兰州模拟）不等式的解集为______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因,故,即,应填答案.‎ 考点：指数函数的单调性及运用．‎ ‎8.（2017山西省孝义市质检）定义，如，且当时 恒成立，则实数的取值范围是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】＝2ex－3>－3，所以k≤－3．‎ 考点：指数函数性质 ‎9．（2017保定模拟）函数的图象恒过定点A，若点在直线上，‎ 则的最大值为__________‎ ‎【答案】‎ 考点：指数函数过定点与基本不等式 ‎ ‎10.（2017石家庄一中模拟）已知实数满足，则的取值范围是_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵实数满足，∴，‎ ‎∴，∴，，‎ ‎∴．∴，‎ ‎∴，∴．∴．故答案为：．‎ ‎11．（2016甘肃武威模拟）设函数，则:‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）计算：.‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）.‎ ‎【解析】（1）证明：‎ ‎.‎ ‎（2）令，则 ‎，两式相加，‎ 由（1）得.‎ 考点：指数函数的性质、倒序求和；‎ ‎12．（2017台州模拟）设函数是定义在上的减函数，并且满足；‎ ‎， .‎ ‎（1）求和的值；‎ ‎（2）如果，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ 解；得；‎ 则得：‎ 考点：赋值法，单调性，不等式.‎ ‎ ‎