2020届二轮复习数列的通项公式与前n项和课时作业（全国通用） 18页

‎ 第二十九讲 数列的通项公式与前n项和 A组 一、选择题 ‎1．已知是等差数列，公差不为零，前项和是.若，，成等比数列，则 A.， B.，‎ C.， D.，‎ 解：由于是等差数列，故，由于，，成等比数列，则.‎ 故，化简可得:.因此有:,.‎ ‎2．设，则( )‎ A．4 B． ‎5 C． 6 D． 10‎ 解：若则 ‎，‎ ‎∴ .故选A ‎3．设等差数列的前项和为，且满足，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解：设公差为，则 ‎ ‎ 所以，所以 所以选C ‎4．已知数列满足，且，则数列的前6项和（ ）‎ A.6 B‎.7 ‎C.8 D.9‎ 解：因为，所以，两边同时除以得，又，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，‎ 从而，，故选B 二、填空题 ‎5．（2017年全国2卷理）等差数列的前项和为，，，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设等差数列的首项为，公差为，所以 ，解得 ，所以，那么 ，那么 .‎ ‎6．数列满足，则________.‎ 解：由已知得，，从而，，，，，从而，所以 ‎7．若数列{}的前n项和为，则数列{}的通项公式是=______.‎ 解：当=1时，==，解得=1，‎ 当≥2时，==－()=，即，‎ ‎∴{}是首项为1，公比为－2的等比数列，∴=.‎ 三、解答题 ‎8．在数列中，，（）.‎ ‎ （Ⅰ）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；‎ ‎ （Ⅱ）求数列的前项和．‎ 解：（Ⅰ），‎ ‎ 所以数列是首项为，公比为的等比数列，‎ ‎ 所以， 所以.‎ ‎（Ⅱ）因为，所以 ‎ ‎ ‎9．设是数列的前项和.已知，.‎ ‎(I)求数列的通项公式；‎ ‎(II)设，求数列的前项和.‎ 解：(I)由，可知.‎ 可得 ‎ 即 由于，可得.‎ 又，解得（舍去）.‎ 所以是首项为，公差为的等差数列，通项公式为.‎ ‎(II)由可知：‎ 设数列的前项和为，则 ‎ ‎ ‎ .‎ ‎10．设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为．已知，， ， ．‎ ‎(I)求数列，的通项公式；‎ ‎(II)当时，记，求数列的前项和．‎ 解：(I)由题意有，‎ 即解得 或 ‎ 故或其中.‎ ‎(II)由，知，，故，于是 ‎， ①‎ ‎. ②‎ ‎①-②可得 ‎，‎ 故.‎ ‎11．已知数列满足=1，.‎ ‎（Ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）证明：.‎ 解：（I）由得。‎ ‎ 又，所以是首项为，公比为3的等比数列。‎ ‎ ，因此的通项公式为.‎ ‎ （Ⅱ）由（I）知 ‎ 因为当时，，所以。‎ 于是.‎ 所以 ‎ B组 一、选择题 ‎1．等差数列的前项和为，已知，,则（ ）‎ ‎（A）38 （B）20 （C）10 （D）9‎ 解：因为是等差数列，所以，，由，得：2－＝0，所以，＝2，又，即＝38，即（‎2m－1）×2＝38，解得m＝10，故选.C。‎ ‎2．已知等差数列的首项，公差，为数列的前项和.若向量，，且，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解：由，，且, 得, 即,又,所以,从而, ,‎ 则,‎ 当且仅当,即时,上式等号成立, ‎ 所以的最小值为,故选A.‎ ‎3．已知数列的前项和为，首项，且满足，则等于 ( )‎ A. B. C. D. ‎ 解：，‎ 由已知可得；；；……，可归纳出.故选D.‎ ‎4．已知数列的通项公式为，其前项和为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解：由题意可得，当时，，当时，，当时，，当时，，‎ ‎∴， ∴. 故选D.‎ 二、填空题 ‎5．设是数列的前项和，且，，则______.‎ 解：由已知得，等式两端同时除以得，，即是以为首项，为公差的等差数列，则，.‎ ‎6．（2016年浙江理）设数列的前项和为.若， ，，则 ， .‎ 解：由，得；由，故解得.‎ 再由，得，从而，即，又，所以，从而 所以填： ，‎ 三、解答题 ‎7．（16年全国II理）为等差数列的前n项和，且记，其中表示不超过的最大整数，如．‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前1 000项和．‎ ‎【解析】⑴设　的公差为，，‎ ‎∴，∴，∴．‎ ‎∴，，．‎ ‎⑵　记的前项和为，则 ‎．‎ 当时，；‎ 当时，；‎ ‎ 当时，；‎ 当时，．‎ ‎∴．‎ ‎8．设数列的前项和为，．已知，，，且当时，．‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)证明：为等比数列；‎ ‎(3)求数列的通项公式．‎ 解析：（1）当时，，‎ 所以 ‎，即.‎ ‎（2）当时，因为，‎ 所以，所以 所以，‎ 即，‎ 所以 当时，，所以 ‎，满足式 所以 所以，所以 是以，公比为的等比数列.‎ ‎（3）由（2）得，两边同乘以，可得，‎ 所以是以，公差为4的等差数列.‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎9．设数列的前项和为．已知．‎ ‎(I)求的通项公式；‎ ‎(II)若数列满足，求的前项和．‎ 解：(I)由知，当时，，所以，即；又当时，，所以有．‎ ‎(II)由知，当，；当，，由得 ‎ ①‎ ‎ ② ‎ ①－②得：‎ ‎，‎ 所以有，经检验时也符合，‎ 故对，均有．‎ ‎10． 已知是数列的前项和，且 ‎（1）求证：数列为等比数列 ‎（2）设，求数列的前项和 解：（1） ①‎ ‎ ②‎ ‎①②可得： ‎ 即 为的等比数列 ‎（2）由（1）可得：‎ 令代入 ‎ ‎ ‎ ‎ 方法一：直接求和 ‎ 设 方法二：分组求和 当为偶数时 当为奇数时 ‎ ‎ 方法三：分奇数项偶数项分别求和 当为偶数时：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 同理：当为奇数时 ‎ ‎ C组 一、选择题 ‎1.在数列中，，，若，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解：根据题意得，故是首项为1，公差为1的等差数列，故，由累加法得：当时， ‎ ‎ ，当时符合，故选A.‎ 另法：用排除法，通过求得，，代入选项排除，得到A选项.‎ ‎2.在等差数列中，，，记数列的前项和为，若对恒成立，则正整数的最小值为（ ）‎ ‎ 5 4 3 2‎ 解：由题设得，∴可化为，‎ 令，‎ 则，‎ ‎∴，‎ ‎∴当时，取得最大值，‎ 由解得，∴正整数的最小值为5。‎ ‎3. 数列{}满足，则{}的前60项和为（ ）‎ ‎（A）3690 （B）3660 （C）1845 （D）1830‎ 解法1：由题设知 ‎=1，① =3 ② =5 ③ =7，=9，‎ ‎=11，=13，=15，=17，=19，，‎ ‎……‎ ‎∴②－①得=2，③+②得=8，同理可得=2，=24，=2，=40，…，‎ ‎∴，，，…，是各项均为2的常数列，，，，…是首项为8，公差为16的等差数列，‎ ‎∴{}的前60项和为=1830.‎ 解法2：可证明：‎ ‎4．数列满足, 则的整数部分是( )‎ A. B. C. D.‎ 解: ,‎ 所以 由,得,‎ 所以, 所以,‎ 所以, 所以的整数部分为.‎ 二、填空题 ‎5．（16年上海理）无穷数列由个不同的数组成，为的前项和.若对任意，，则的最大值为________.‎ ‎【答案】4‎ 解：要满足数列中的条件，涉及最多的项的数列可以为，所以最多由4个不同的数组成.‎ ‎6．数列满足，且(N*)，则数列的前10项和为 .‎ 解析：由题，，，，…，(N*)，由累加法，求得(N*)，经检验时也满足该通项，即(N*)；因此，‎ ‎，.‎ 三、解答题 ‎7．（16年四川理）已知数列{ }的首项为1， 为数列{ }的前项和， ，其中， .‎ ‎（1）若 成等差数列，求的通项公式；‎ ‎(2) 设双曲线 的离心率为 ，且 ，证明：.‎ 解析：（1）由已知， 两式相减得到.‎ 又由得到，故对所有都成立.‎ 所以，数列是首项为1，公比为q的等比数列.‎ 从而.‎ 由成等比数列，可得，即，则，‎ 由已知,，故 .‎ 所以.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，.‎ 所以双曲线的离心率 .‎ 由解得.‎ 因为，所以.‎ 于是，‎ 故.‎ ‎8．(16年江苏理)记.对数列和的子集，若,定义;若，定义.例如：时，.现设是公比为的等比数列，且当时，.‎ (1) 求数列的通项公式；‎ (2) 对任意正整数，若，求证：；‎ (3) 设,求证：.‎ 解：（1）由已知得.‎ 于是当时，.‎ 又，故，即.‎ 所以数列的通项公式为.‎ ‎（2）因为，，‎ 所以.‎ 因此，.‎ ‎（3）下面分三种情况证明.‎ ‎①若是的子集，则.‎ ‎②若是的子集，则.‎ ‎③若不是的子集，且不是的子集.‎ 令，则，，.‎ 于是，，进而由，得.‎ 设是中的最大数，为中的最大数，则.‎ 由（2）知，，于是，所以，即.‎ 又，故，‎ 从而，‎ 故，所以，‎ 即.‎ 综合①②③得，.‎ ‎9数列满足 .‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)求数列前项和；‎ ‎(3)令，，证明：数列的前项和，满足.‎ 解：(1)依题意，，‎ ‎.‎ ‎(2)依题意，当时，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(3)依题意有 知，，‎ ‎ ‎ 记，则 在上是增函数，又，即.‎ 又且时，‎ 所以 即 即有 所以 即 ‎ ‎ ‎10．已知数列满足且N*)．‎ ‎(I)证明：；‎ ‎(II)设数列的前项和为，证明：.‎ 解析：(I)由题意知,即, 故．由得,从而可得：.因此，即结论成立.‎ ‎(II)由题意得，所以.‎ 因为，所以.‎ ‎，从而有 化简可得：，因此，‎ ‎.‎