河北省“五个一”名校联盟2019-2020学年高二下学期6月联考数学试题 Word版含解析 19页

河北省“五个一”名校联盟高二联考 数学试卷 考生注意：‎ ‎1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.‎ ‎2.请将各题答案填写在答题卡上.‎ ‎3.本试卷主要考试内容：人教A版集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数、三角函数、解三角形.‎ 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知全集，集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意转化条件得，再由补集的概念即可得解.‎ ‎【详解】∵，∴即，‎ ‎∴，∴.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了集合补集的概念，考查了运算求解能力，属于基础题.‎ ‎2. 曲线的对称中心为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A - 19 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦函数的对称性，令求解.‎ ‎【详解】令，‎ 解得，‎ 所以曲线的对称中心为.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查三角函数的性质，属于基础题.‎ ‎3. 设，则“”是“z的实部大于零”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 化简复数，求出复数的实部，求出实部大于零的范围，判断充分必要条件即可.‎ ‎【详解】‎ z的实部为，‎ 由，可得，“”“z的实部大于零”，‎ 由“z的实部大于零”，即，得，，‎ 所以“”是“z的实部大于零”的必要不充分条件.‎ 故选: B.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的运算，实部和虚部的定义，考查了充分必要条件的判断，考查数学运算能力和逻辑推理能力，属于基础题.‎ ‎4. 设命题，，则为　　‎ - 19 -‎ A. ， B. ，，‎ C. ，， D. ，‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．‎ ‎【详解】解：命题，是特称命题，则命题的否定是：，，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，结合特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键，属于基础题．‎ ‎5. 设奇函数，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由为奇函数得出，然后根据函数的单调性和奇偶性解不等式即可.‎ ‎【详解】解：因为为奇函数，所以，即.‎ 所以 因为在R上为减函数，等价于，‎ 的解集为 所以不等式的解集为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，及不等式的解集，属于中档题.‎ - 19 -‎ ‎6. 要得到函数的图象，只需把函数的图象（ ）‎ A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简函数的解析式为，利用三角函数图象的平移规律可得出结论.‎ ‎【详解】，‎ 只需把的图象向左平移个单位长度，即可得到函数的图象.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数图象的平移变换，要注意将两个函数化为同名函数，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎7. 若函数在上为增函数，则必有（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意只需在上恒成立，化简整理即可得结果.‎ - 19 -‎ ‎【详解】因为函数在上为增函数，所以在上恒成立，则，即.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查导数的四则运算，属于基础题.‎ ‎8. 已知，函数，若函数只有4个零点，则a的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出分段函数的图象，由，则或或，由图得有4个实根,根据和.求出的取值范围.‎ ‎【详解】设，则或或 设，则或或 当且时，，‎ 如图：‎ - 19 -‎ 若函数只有4个零点，则 解得 ‎ 当时，时至少有两个解，时至少有两个解，时至少有一个解，不合题意 所以 故选：A ‎【点睛】利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解.‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.‎ ‎9. ，，分别为内角，，的对边.已知，且，则（ ）‎ A. B. ‎ C. 的周长为 D. 的面积为 ‎【答案】ABD - 19 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，利用正弦定理化简得到.然后利用余弦定理化简得到，再结合逐项判断.‎ ‎【详解】∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ 由余弦定理得，‎ 整理得，又，‎ ‎∴，.‎ 周长为.‎ 故的面积为.‎ 故选：ABD ‎【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎10. 已知，函数，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】AD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据在上单调递减，结合求解.‎ ‎【详解】因为在上单调递减，‎ - 19 -‎ 又，‎ 所以，‎ 所以.‎ 故选：AD ‎【点睛】本题主要考查利用函数的单调性比较函数值的大小以及二次函数的性质和不等式基本性质的应用，属于中档题.‎ ‎11. 已知函数，直线为的图象的一条对称轴，且在上单调，则下列结论正确的是（ ）‎ A. 最小正周期为 B. 为的一个零点 C. 在上的最小值为 D. 的单调递增区间为 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用的对称轴和在区间上的单调性，求得的值，进而求得的最小正周期，判断出点的零点、单调区间以及在区间上的最小值，由此确定正确选项.‎ ‎【详解】因为函数在上单调，所以，得.‎ 又直线为的图象的对称轴，所以，得，所以.‎ 的最小正周期为，故A错误；‎ - 19 -‎ ‎，故B错误；‎ 当时，，则的最小值为0，故C错误；‎ 令，解得，即的单调递增区间为，故D正确.‎ 故选：D ‎【点睛】本小题主要考查三角函数图象与性质，属于中档题.‎ ‎12. 已知函数，，若，，总有，则的值可能为（ ）‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】BCD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把，总有，转化为，分别求得函数和的最小值，列出不等式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，函数，‎ 因为有解，所以，‎ 又由函数，可得函数在上单调递减，‎ 所以在上的值域为，‎ 要使得，总有，则，解得.‎ 故选：BCD.‎ ‎【点睛】本题主要考查了全称命题与存在性性命题的应用，以及函数的单调性与值域求解及应用，着重考查转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.‎ - 19 -‎ 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎13. 若集合，，，则的取值范围为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，得到求解，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为集合，，，‎ 所以只需，则.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查由并集的结果求参数，涉及对数不等式，属于基础题型.‎ ‎14. 若的终边经过点，则的值为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的终边经过点，利用三角函数的定义得到，然后结合平方关系求解.‎ ‎【详解】因为的终边经过点，‎ 所以，‎ ‎∴，‎ 解得.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的定义及统计三角函数基本关系式的应用，属于基础题.‎ - 19 -‎ ‎15. 已知，均负数，则当取得最小值时，___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，先得到，再由基本不等式取等号的条件，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为，均为负数，所以，‎ 所以，‎ 即，当且仅当，即时等号成立.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查基本不等式取等号的条件的应用，属于基础题型.‎ ‎16. 已知函数在处取得最小值m，函数，则________，曲线在点处的切线的斜率为________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题求得，进而求得当时，单调递减，当时，单调递增，从而函数有最小值，即可；‎ ‎（2）求出，得即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 因为，‎ 所以，当时，单调递减；‎ - 19 -‎ 当时，，单调递增.‎ 从而时，.‎ 因为，‎ 所以，‎ 故曲线在点处的切线的斜率为.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题主要考查用导数求函数的单调性、最值、切线的斜率，属于中档题.‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17. 如图，某海洋兴趣小组为了解某海域的海底构造，在海平面内一条直线上的，，三点进行测量，已知m，m，于处测得水深m，于处测得水深m，于处测得水深m.‎ ‎ ‎ ‎（1）求，的长；‎ ‎（2）求 ‎【答案】（1）；；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题中数据，根据，，即可求出结果；‎ ‎（2）先由求出，再由余弦定理，即可求出结果.‎ - 19 -‎ ‎【详解】（1）因为m，m，m，m ，m，‎ 所以，‎ ‎.‎ ‎（2）因为，‎ 所以由余弦定理得 ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查解三角形的应用，熟记余弦定理即可，属于常考题型.‎ ‎18. 设，且的最小值为.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若关于的不等式的解集为，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先根据题意得到，从而得到，再利用基本不等式即可得到答案.‎ ‎（2）当时，满足题意，当时，得到，解不等式组即可得到答案.‎ ‎【详解】（1）因为，所以，，，‎ - 19 -‎ 所以 ‎，‎ 当且仅当，即，，时等号成立.‎ 故.‎ ‎（2）当时，不等式为，成立，则满足题意；‎ 当时，，解得.‎ 综上，的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题第一问考查基本不等式求最值，第二问考查二次不等式的恒成立问题，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题.‎ ‎19. a，b，c分别为的内角A，B，C的对边.已知.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求b的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理将边化角，再化简后根据角的余弦定理即可得出答案.‎ ‎（2）根据余弦定理可得，再由，找到的最大值即可得出b的最小值.‎ ‎【详解】（1）因为，所以， ‎ 又，所以， ‎ - 19 -‎ 因为.所以. 又，所以.‎ ‎（2），‎ 因为， ‎ 当且仅当时，等号成立， ‎ 所以， ‎ 则， ‎ 故b的最小值为3.‎ ‎【点睛】本题考查解三角形，利用基本不等式找边的最值.属于基础题.牢记正余弦定理是解本题的关键.‎ ‎20. 已知函数的部分图象如图所示.‎ ‎（1）求，；‎ ‎（2）若，，求.‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据图像得到，，代入点得到.‎ ‎（2）由（1）知，，代入数据化简得到，‎ - 19 -‎ ‎，代入数据得到答案.‎ ‎【详解】解；（1）由图可知 故，则 又的图象过点，则，得.‎ 而，所以 ‎（2）由（1）知，，则 则 因为，所以，所以，‎ 所以 ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数图像，三角恒等变换，其中是解题的关键.‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若在上的最大值为1，求a的值.‎ ‎【答案】（1）当时，在上单调递减. 当时的单调递减区间为,的单调递增区间为；（2）.‎ ‎【解析】‎ - 19 -‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出导函数，注意，按正负分类讨论得单调区间；‎ ‎（2）利用（1）的结论分类讨论在上的单调性，由最大值为1求得值．‎ ‎【详解】（1）的定义域为 ‎ ‎， ‎ 当时，，在上单调递减. 当时，令，得，则的单调递减区间为； ‎ 令，得，则的单调递增区间为. ‎ ‎（2）由（1）知，当时，在上单调递减，所以，则. ‎ 当时，，在上单调递减，‎ 所以，则不合题意.‎ ‎ 当时，， ‎ 因为，所以，则不合题意.‎ ‎ 综上，.‎ ‎【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，研究函数的最值．含有参数的问题需对参数分类讨论．‎ ‎22. 已知函数.‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）证明：.‎ ‎【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）证明见解析 ‎【解析】‎ - 19 -‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求导函数，利用，解函数单调减区间. 解得单调递增区间.‎ ‎（2）先求出在的极大值为2，由得在成立；再设利用导数法研究函数在 内单调性进行证明.‎ ‎【详解】（1）解：的定义域为，‎ ‎，‎ 在上单调递增，且.‎ 令，得，则的单调递减区间为；‎ 令，得，则的单调递增区间为.‎ ‎（2）证明：设.‎ 令，得；令，得或.‎ 所以当时，取得极大值，且极大值为2，‎ 由（1）知，，故当时，.‎ 设，‎ ‎，设，‎ 设，易知在上单调递增，‎ 则，则在上单调递增，‎ 从而，则在上单调递增，‎ 则，从而在上单调递增，‎ 所以，故当时，，‎ 从而得证.‎ ‎【点睛】本题考查求含参数函数的单调区间及利用导数证明不等式.‎ - 19 -‎ 导数法研究函数在 内单调性的步骤：‎ ‎(1)求；(2)确定在内的符号；(3)作出结论：时为增函数；时为减函数．研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．　　‎ 利用导数证明不等式的基本方法：‎ ‎(1)若与)的最值易求出，可直接转化为证明；‎ ‎(2)若与的最值不易求出，可构造函数 ，然后根据函数的单调性或最值，证明 - 19 -‎