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- 2021-06-30 发布
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专题01
同角三角函数的基本关系式解三角形
知识必备
一、任意角的三角函数
1.定义
设是一个任意角,它的顶点与原点重合,始边与轴非负半轴重合,点是角的终边上任意一点,到原点的距离,那么角的正弦、余弦、正切分别是.
注意:正切函数的定义域是,正弦函数和余弦函数的定义域都是.
2.三角函数值在各象限内的符号
三角函数值在各象限内的符号口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦.
3.三角函数线
设角的顶点与原点重合,始边与轴非负半轴重合,终边与单位圆相交于点,过作垂直于轴于.由三角函数的定义知,点的坐标为,即,其中单位圆与轴的正半轴交于点,单位圆在点的切线与的终边或其反向延长线相交于点,则.我们把有向线段分别叫做的余弦线、正弦线、正切线.
各象限内的三角函数线如下:
角所在的象限
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
图形
4.特殊角的三角函数值
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
不存在
0
不存在
0
补充:
二、同角三角函数的基本关系式
1.平方关系
.
2.商的关系
.
3.同角三角函数基本关系式的变形
(1)平方关系的变形:;
(2)商的关系的变形:;
(3).
三、三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2 π+α( ∈ )
π+α
−α
π−α
−α
+α
正弦
sin α
−sinα
−sinα
sinα
cosα
cosα
余弦
cos α
−cosα
cosα
−cosα
sinα
−sinα
正切
tan α
tanα
−tanα
−tanα
口诀
函数名不变,符号看象限
函数名改变,符号看象限
核心考点
考点一 三角函数的定义
【例1】已知角的终边经过点,且,则等于
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为角的终边经过点,所以角是第二象限角,
所以,求解可得(正值舍去).故选A.
备考指南
1.利用三角函数的定义求角的三角函数值,需确定三个量:角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x、纵坐标y、该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上,此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同).
2.利用三角函数线解三角不等式的步骤:①确定区域的边界;②确定区域;③写出解集.
3.已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小,根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标.
4.三角函数值的符号及角的位置的判断.已知一角的三角函数值(,,)中任意两个的符号,可分别确定出角的终边所在的可能位置,二者的交集即为该角的终边位置.注意终边在坐标轴上的特殊情况.
考点二 象限角的判断
【例2】“”是“角是第一象限角”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
备考指南
1.已知θ所在的象限,求或nθ(nN )所在的象限的方法是:将θ的范围用不等式(含有 )表示,然后两边同除以n或乘以n,再对 进行讨论,得到或nθ(nN )所在的象限.
2.象限角的判定有两种方法:
一是根据图象,其依据是终边相同的角的思想;
二是先将此角化为 ·360°+α(0°≤α<360°, )的形式,即找出与此角终边相同的角α,再由角α终边所在的象限来判断此角是第几象限角.
3.由角的终边所在的象限判断三角函数式的符号,需确定各三角函数的符号,然后依据“同号得正,异号得负”求解.
考点三 同角三角函数基本关系式及其应用
【例3】设.若,则
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为,且,所以,所以.故选A.
备考指南
1.利用可以实现角的正弦、余弦的互化,利用可以实现角的弦切互化.
2.的齐次式的应用:分式中分子与分母是关于的齐次式,或含有及的式子求值时,可将所求式子的分母看作“1”,利用“”代换后转化为“切”后求解.
考点四 诱导公式及其应用
【例4】点位于
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【答案】C
备考指南
1.应用诱导公式,重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断.求任意角的三角函数值的问题,都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题,具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值.
2.使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号,特别是在具体题目中出现类似的形式时,需要对 的取值进行分类讨论,从而确定出三角函数值的正负.
3.利用诱导公式化简三角函数式的思路:
(1)分析结构特点,选择恰当公式;
(2)利用公式化成单角三角函数;
(3)整理得最简形式.
利用诱导公式化简三角函数式的要求:
(1)化简过程是恒等变形;
(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.
4.巧用相关角的关系能简化解题的过程.
常见的互余关系有与,与,与等;
常见的互补关系有与,与等.
考点五 三角函数公式的综合应用
【例5】已知角的顶点均为坐标原点,始边均为轴的正半轴,若的终边分别与单位圆相交于两点,且.
(1)求的值,并确定点所在的象限;
(2)若点的坐标为,
求的值.
【解析】(1).
因为,
所以的终边在第二或第四象限,
所以点在第二或第四象限.
(2)由知,
则
.
备考指南
熟练掌握正切的差角公式,三角函数的诱导公式,同角三角函数的关系式,正确使用公式是解题的关键.
能力突破
1.已知角的顶点在原点,始边与轴正半轴重合,终边过点(−5,12),则=
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题知,=13,根据三角函数定义知,=,,∴ === =,故选B.
【名师点睛】高考中常将三角函数定义与三角函数公式相结合进行考查,是基础题.
2.已知,则
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】方法一:因为,所以,
所以,故选A.
方法二:由,得,所以.
【名师点睛】同角三角函数基本关系式也常与三角函数诱导公式、恒等变换结合起来进行考查.
3.角为的一个内角,若,则这个三角形为
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形
【答案】B
【名师点睛】判断三角形的形状有两种方法:一是根据角来判断,分为锐角、直角、钝角三角形;二是根据边来判断,分为不等边、等腰、等边三角形.注意这两种分类方法有重合的部分,如等腰直角三角形.
4.已知,.
(1)求,的值;
(2)求的值.
【解析】(1)因为,所以,
由于,所以,
所以.
(2)原式.
.
【名师点睛】对于三角函数求值问题,必须熟练记忆和掌握三角函数公式:同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角恒等变换.
高考通关
1.(2018北京)在平面直角坐标系中,是圆上的四段弧(如图),点P在其中一段上,角以O