数学理卷·2017届江西省重点中学协作体高三第二次联考（2017 15页

江西省重点中学协作体2017届高三第二次联考 ‎2017.5‎ 数学（理科）试卷 考试用时：120分 全卷满分：150分 ‎ 命题人：南昌二中 周启新 高安中学 朱细秀 第Ⅰ卷 （选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．复数（是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．已知全集，集合，集合，则=（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4. 已知数列为等差数列，数列为等比数列，且满足，，则（ ）‎ A．－1 B． C．1 D．‎ ‎5.将的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的一半，然后再将所得图象向左平移个单位长度，则最后所得图象的解析式为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6. 若双曲线的渐近线将圆平分，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．如图,一竖立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为,则圆锥底面圆的半径等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的，则一开始输入的的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9. 给出下列四个命题：[]‎ ‎①若样本数据的方差为16，则数据的方差为64；‎ ‎②“平面向量夹角为锐角，则＞0”的逆命题为真命题；‎ ‎③命题“，均有”的否定是“，使得≤”；‎ ‎④是直线与直线平行的必要不充分条件．‎ 其中正确的命题个数是（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）‎ A. B. 　 C. D.‎ ‎11．记“点满足（）”为事件，记“满足”为事件，若，则实数的最大值为（ ）‎ A． B． C．1 D．13‎ ‎12．定义在上的函数满足,，其中是函数的导函数，若对任意正数，都有，则的取值范围是（ ）‎ A． （） B． （）‎ C． （） D． （）‎ 第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）‎ 本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答．‎ 二、填空题：本大题共有4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.设，则的展开式中的常数项为 . ‎ ‎14．在边长为1的正三角形中，设，，则__________．‎ ‎15．过抛物线的焦点的直线交该抛物线于、两点，若，为坐标原点，则__________．‎ ‎16．已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对，恒成立，则实数的取值范围是 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知向量，，设函数，‎ 若函数的图象关于直线对称且．‎ ‎(Ⅰ) 求函数的单调递减区间；‎ ‎ (Ⅱ) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，‎ 求的最大值．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 高考改革新方案，不分文理科，高考成绩实行“3+3”的构成模式，第一个“3”是语文、数学、外语，每门满分150分，第二个“3”由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试，每门满分100分，高考录取成绩卷面总分满分750分．为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况，“将A市某一届学生在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生”记作学生群体B，从学生群体B中随机抽取了50名学生进行调查，他们选考物理，化学，生物的科目数及人数统计表如下：‎ 选考物理、化学、生物的科目数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 人数 ‎5‎ ‎25‎ ‎20‎ ‎（Ⅰ）从所调查的50名学生中任选2名，求他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率；‎ ‎（Ⅱ）从所调查的50名学生中任选2名，记X表示这2名学生选考物理、化学、生物的科目 数量之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅲ）将频率视为概率，现从学生群体B中随机抽取4名学生，记其中恰好选考物理、化学、生物中的两科目的学生数记作Y，求事件“”的概率．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC边的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体．‎ ‎（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADC；‎ ‎（Ⅱ）若AD＝2，直线CA与平面ABD所成角的正弦值为，求二面角E－AD－C的余弦值．‎ 图2‎ A B D C E 图1‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ y N P A O x B M 已知⊙：与⊙：，以，分别为左右焦点的椭圆：经过两圆的交点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ），分别为椭圆的左右顶点，，，是椭圆上非顶点的三点，若∥， ∥，试问的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知，函数．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若函数有两个相异零点，，求证：．(其中e为自然对数的底数)‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为．‎ ‎（Ⅰ）求直线l以及曲线C的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A，B两点，求△PAB的面积．‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若a＝2时，解不等式：；‎ ‎（Ⅱ）对任意实数x，不等式恒成立，求实数a的取值范围．‎ 江西省重点中学协作体2017届高三第二次联考 数学（理）参考答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． ‎ ‎1—5 BACCD 6—10 BABBC 11—12 A D ‎12．【解析】由可得，‎ 即，令，则，且，‎ 所以，令，‎ 所以，‎ 当时，，单调递增，当时，，单调递减，‎ 所以，‎ 所以，，即在上单调递减。‎ 因为（当且仅当，时等号成立）‎ 依题意，即。因为在上单调递减，所以，‎ 解得（），故选D。‎ 二、填空题：本大题共有4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13. 14． 15． 6 16．‎ ‎16．【解析】由得（），‎ 两式相减得：（），所以（），‎ 两式相减得：（），‎ 所以，数列……是以2为公差的等差数列，数列……是以2为公差的等差数列，‎ 将代入及可得，‎ 将代入（）可得，且，‎ 要使得，恒成立，只需要即可，‎ 所以，解得：，即实数的取值范围是．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．解：（Ⅰ）‎ ‎ 　 …………………2分 ‎ 函数的图象关于直线对称，则 ‎ 则，且，则 …………………4分 ‎ ∴，令，解得 ‎∴函数的单调递减区间为　 …………………6分 ‎（Ⅱ），且A是△ABC内角，‎ ‎∴，则，所以，则，‎ ‎ 　∵，由余弦定理 ‎ 　则，而，所以 ‎，当且仅当时，‎ 所以的最大值为．…………………12分 ‎18．解：（Ⅰ）记“所选取的2名学生选考物理、化学、生物科目数量相等”为事件A ‎ 则 ‎ 　所以他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率为 ‎ 　 　　 ……………3分 ‎（Ⅱ）由题意可知X的可能取值分别为0，1，2‎ ‎ 　，　‎ ‎ 　 …………………6分 ‎ 　从而X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎ 　 …………………8分 ‎（Ⅲ）所调查的50名学生中物理、化学、生物选考两科目的学生有25名 ‎ 　相应的概率为，所以~ 　 …………………10分 ‎ 　所以事件“”的概率为 ‎　…………12分 x O z ‎19题答图 y ‎19．（Ⅰ）证明：因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，‎ ‎ 　又DC⊥BD所以DC⊥平面ABD，所以DC⊥AB，‎ 又AD⊥AB ，所以AB⊥平面ADC …………………4分 ‎（Ⅱ）因CD⊥平面ABD，所以∠CAD为直线CA与平面ABD所成的角，‎ ‎ 　CD⊥平面ABD所以CD⊥AD 则 则，依题意得　所以，‎ 即，所以 ………………8分 取BD的中点O，连结AO，EO，因为，∴AO⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD 如图所示建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，，‎ 由（1）可知AB⊥平面ADC，则平面ADC的法向量，‎ 设平面ADE的法向量，，，‎ 则，即，令，得，　………10分 所以，所以，，由图可知二面角为锐二面角，‎ 所以二面角的余弦值为． ……………12分 ‎20．解：（Ⅰ）设两圆的交点为，依题意有，‎ 由椭圆定义知，解得； ……………………2分 因为，分别为椭圆的左右焦点，所以，解得，‎ 所以椭圆的方程为； ……………………4分 ‎（Ⅱ）解法一 由题可知，，设，∵是椭圆上的点，‎ ‎∴，即，∴‎ ‎，‎ ‎∵∥，∥，∴,………………6分 ‎∵、、是椭圆上非顶点的三点，∴直线的斜率存在且不为零，‎ 设直线的方程为，，，‎ 由，得，‎ 由，得 （）‎ 且，，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴，整理得， ……………………9分 代入（）得， ‎ ‎∵，‎ 原点到直线的距离，∴（定值）。‎ 综上所述，的面积为定值3. ……………………12分 ‎（Ⅱ）解法二 同解法一可知，直线，的斜率存在且不为零，且,……6分 设直线的方程为，则直线的方程为，设，，‎ 由得，用换可得，则，………9分 因为，所以与异号，‎ ‎∴（定值）。‎ 综上所述，的面积为定值3. ……………………12分 ‎21．解：（Ⅰ）的定义域为，，‎ ‎　 　① 当时，恒成立，在上单调递增，‎ ‎② 当时，令，解得，‎ 时，，在单调递增，‎ 时，，在单调递减，‎ 综上所述，当时，在上单调递增，‎ 当时，在上单调递增，在上单调递减；…………5分 ‎（Ⅱ）证法一 要证：，则证，‎ 即证，‎ 不妨设，∵，是函数的零点，则，，‎ ‎ 　所以，，‎ 所以，，‎ 则，……7分 则转化为证：，令，则，‎ 于是即证：，可化为，即证，…………9分 构造函数，，‎ 令，则，则在单增，则，‎ 则，则在单增，则，即成立，‎ 所以成立. …………………12分 ‎ 证法二 的定义域为，要证：，则证，‎ 即证，令，，‎ 即证，也即证， …………………6分 因为，是函数的相异零点，则，，‎ 所以，即，所以，，‎ 所以，…………………8分 不妨设，则，令（），‎ 要证，则转化为证（其中），即证，……10分 令（），则，‎ ‎，∴在上单调递增，∴，‎ ‎∴ 在上单调递增，∴，即成立，‎ 从而原命题成立………12分 证法三 的定义域为 ，要证：，则证，‎ 即证，令，，，‎ 则转化为证明命题“函数有两个相异的零点，，求证”，……6分 ‎∵，‎ ‎①当时，，所以在上单调递增，此时没有两个零点，不合题意；‎ ‎②当时，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，‎ 要使有两个相异零点，则，解得；‎ 且时，，时，，…………………8分 不妨设，要证，即证，‎ 而，所以，，‎ 而函数在上单调递增，要证，只要证，而，即证，‎ 由于，而，即，‎ ‎∴ （），记（），…………10分 ‎∴，‎ 令（），则，‎ ‎∴在上单调递增，则，‎ ‎∴，∴在上单调递减，则，即成立，‎ 从而原命题成立 . …………………12分 ‎22.解：（Ⅰ）由消去得到，则，∴，‎ 所以直线l的极坐标方程为（）…………………2分 ‎ 　曲线，则 ‎ 　则曲线C的极坐标方程为 ……………5分 ‎（Ⅱ）由，得到，设其两根为，，‎ ‎ 　则，,∴，‎ ‎∵点P的极坐标为，∴，，‎ ‎ 　∴ ……10分 ‎23. （Ⅰ）当时，原不等式即，‎ ‎ 　　，‎ ‎ 　或，‎ ‎ 　或，‎ ‎ 　所以原不等式的解集为 …………………5分 ‎（Ⅱ）‎ ‎ 　当时，，依题意， ‎ 所以或，解得或，‎ ‎ 　所以实数a的取值范围为 …………10分