西藏自治区昌都市第一高级中学2020届高三下学期第一次模拟考试数学（文）试卷 18页

文科数学试卷 第I卷（选择题)‎ 一、单选题 ‎1．设集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．若复数满足，则对应的点位于复平面的（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．的值等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．数列的通项公式是，（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5．如图所示，可表示函数图象的是（ ）‎ A．① B．②③④ C．①③④ D．②‎ ‎6．已知，，则（ ）‎ A．2 B． C．4 D．‎ ‎7．设，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，则下列判断正确的是（ ）‎ A．若，，则 B．，，则 C．，，，则 D．，，则 ‎8．一个口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.3，摸出白球的概率是0.2，那么摸出黑球的概率是（ ）‎ A．0.4 B．‎0.5 ‎C．0.6 D．0.95‎ ‎9．执行如图所示的程序框图，若恰好经过两次条件判断就输出，则可输入的正整数的取值共（ ）‎ A．个 B．个 C．个 D．个 ‎10．已知的面积是,, ,则（ ）‎ A．5 B．或‎1 ‎C．5或1 D．‎ ‎11．已知圆：（），直线：.若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则的值为（ ）‎ A．2 B．‎3 ‎C．4 D．6‎ ‎12．已知函数，则不等式的解集是 A． B． C． D．‎ 第II卷（非选择题)‎ 填空题 ‎13．函数的单调增区间为__________.‎ ‎14．变量满足条件，则的最大值为___________‎ ‎15．如图，在棱长为2的正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的正切值为______．‎ ‎16．已知1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则=____. ‎ 解答题 ‎17．在 中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且， ．‎ ‎（1）求角A；‎ ‎（2）若，的面积为，求的周长．‎ ‎18．某市2013年至2019年新能源汽车y（单位：百台）的数据如下表：‎ ‎（Ⅰ）求y关于x的线性回归方程，并预测该市2021年新能源汽车台数；‎ ‎（Ⅱ）该市某公司计划投资600台“双枪同充”（两把充电枪）、“一拖四群充”（四把充电枪）的两种型号的直流充电桩．按要求，充电枪的总把数不少于该市2021年新能源汽车预测台数，若双枪同充、一拖四群充的每把充电枪的日利润分别为25元，10元，问两种型号的充电桩各安装多少台时，才能使日利润最大，求出最大日利润. ‎ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 ‎19．如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积.‎ ‎20．已知椭圆（）的离心率为，且经过点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点作直线与椭圆交于不同的两点，，试问在轴上是否存在定点使得直线与直线恰关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.‎ ‎21．函数．‎ ‎（1）试讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若，证明：(为自然对数的底数)．‎ ‎22．在直角坐标系中，曲线的标准方程为.以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若点在曲线上，点在直线上，求的最小值.‎ ‎23．函数．‎ ‎(1)当时，不等式的解集；‎ ‎(2)若时，不等式成立，求的取值范围.‎ 参考答案 ‎1．B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简集合A,B,再求AB得解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，，‎ 则．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的交集，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题．‎ ‎2．D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数模的计算、复数的除法化简复数，再根据复数的几何意义，即可得答案；‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 对应的点，‎ 对应的点位于复平面的第四象限.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数模的计算、复数的除法、复数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎3．A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用诱导公式计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了诱导公式，意在考查学生的计算能力.‎ ‎4．B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令 代入即解 ‎【详解】‎ 令，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 数列通项公式是第项与序号之间的函数关系，求某项值代入求解.‎ ‎5．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的定义分别对四个图象进行判断即可.‎ ‎【详解】‎ 由函数的定义可知，对定义域内的任何一个变量x，存在唯一的一个变量y与x对应.‎ 则由定义可知①③④，满足函数的定义，但②不满足，因为图象②中，当x>0时，一个x对应着两个y，所以不满足函数取值的唯一性，所以能表示为函数图象的是①③④.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的定义以及函数图象的判断，要求学生了解：一对一，多对一是函数关系，一对多不是函数关系，属基础题.‎ ‎6．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出的坐标，再利用向量的模的公式求解.‎ ‎【详解】‎ 由题得=（0,4）‎ 所以．‎ 故选C ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量的坐标的求法和向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎7．B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用直线与平面平行与垂直的关系，平面与平面平行与垂直的关系，判断选项的正误即可.‎ ‎【详解】‎ 根据垂直于同一个平面的两条直线平行，所以A不正确；‎ 若，，则，B正确；‎ 因为根据面面垂直的性质定理，需要加上“m在平面内或者平行于”这个条件，才能判定，C不正确；‎ 直线n可能在平面内，D不正确；‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 此题考查空间中线面平行和垂直关系，根据条件想象出空间中的位置关系，属于简单题目.‎ ‎8．B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知，从中摸出一个小球是黑色和是红或白色是互斥事件，根据互斥事件的概率公式即可求解 ‎【详解】‎ 解：根据题意可知，从中摸出1个球，摸出黑球与摸出红色和白色是互斥事件，‎ 故其概率.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查了互斥事件概率的计算公式，考查了数学运算能力.‎ ‎9．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据循环条件和恰好经过两次条件判断就输出，可得关于的不等关系，从而可求的值.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，，且，‎ 因为为正整数，所以，且，‎ 所以可输入的正整数的取值有：3,4,5,6.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查程序框图的识别，根据循环条件列出不等式是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.‎ ‎10．B ‎【解析】‎ ‎∵，,‎ ‎∴‎ ‎①若为钝角，则，由余弦定理得，‎ 解得；‎ ‎②若为锐角，则，同理得.‎ 故选B.‎ ‎11．A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 圆的圆心为到直线的距离为1，由圆上恰有三个点到直线的距离为1，得到圆心为到直线的距离为，由此求出的值.‎ ‎【详解】‎ 圆的圆心为,则圆心到直线的距离.‎ 又圆上恰有三个点到直线的距离为1.‎ 所以圆心为到直线的距离为,即 所以 ‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查圆与直线的位置关系，点到直线的距离,，属于基础题.‎ ‎12．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，根据函数的解析式，求解函数是定义域上的单调递增函数，且为奇函数，把不等式转化为，进而借助一元二次不等式的解法，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，则，所以函数是定义域上的单调递增函数，‎ 又由，即函数定义域上的奇函数，‎ 又由不等式可转化为 ‎ 即，即，解得，‎ 即不等式的解集为，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的单调性和奇偶性的应用问题，其中解答中根据函数的解析式利用导数求得函数的单调性和奇偶性，把不等式转化为一元二次不等式是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎13．（1）A（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由和余弦定理可得,再根据的取值范围即可得的值.‎ ‎（2）利用三角形面积公式可得,由余弦定理可得,即可解得三角形的周长.‎ ‎【详解】‎ 解:（1）由,和余弦定理,‎ ‎ ,得,,‎ 所以；‎ ‎（2）,的面积为,解得,‎ 根据余弦定理 ,‎ ‎,所以 ‎,‎ ‎,‎ 所以的周长为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了余弦定理、二倍角公式、三角形面积公式在解三角形中的应用,考查了转化思想,属于基础题.‎ ‎14．（Ⅰ）,2100台；（Ⅱ）双枪同充安装150台，一拖四群充安装450台时，每天的利润最大，最大利润为25500元．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）计算，根据，可得，进一步可得，然后可得方程，最后代值计算，可得结果.‎ ‎ （Ⅱ）假设一拖四群充，双枪同充分别安装台，台，根据，可得的范围，然后计算日利润，依据不等式可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）依题意知，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 则关于的线性回归方程．‎ 令得：，‎ 故预测2021年该市新能源汽车大约有2100台．‎ ‎（Ⅱ）设一拖四群充，双枪同充分别安装台，台，‎ 每天的利润为元，‎ 则，即 所以当时，取最大值25500．‎ 故当双枪同充安装150台，一拖四群充安装450台时，‎ 每天的利润最大，最大利润为25500元．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性回归方程，本题关键在于识记公式，考验计算能力，属基础题.‎ ‎15．（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过AC⊥BD与PD⊥AC可得平面；‎ ‎（2）由题先得出∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角，即∠PBD=45°，则可先求出菱形ABCD的面积，进而可得四棱锥P- ABCD的体积.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，‎ 又因为PD⊥平面ABCD，平面ABCD，‎ 所以PD⊥AC，又，‎ 故AC⊥平面PBD；‎ ‎（2）因为PD⊥平面ABCD，‎ 所以∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角，‎ 于是∠PBD=45°，‎ 因此BD=PD=2.又AB= AD=2，‎ 所以菱形ABCD的面积为，‎ 故四棱锥P- ABCD的体积.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间线、面关系等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力以及运算求解能力，是基础题.‎ ‎16．(1) (2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题得a,b,c的方程组求解即可（2）直线与直线恰关于轴对称，等价于的斜率互为相反数，即，整理.设直线的方程为，与椭圆联立，将韦达定理代入整理即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意可得，，又， ‎ 解得，.‎ 所以，椭圆的方程为 ‎ (2)存在定点，满足直线与直线恰关于轴对称.‎ 设直线的方程为，与椭圆联立，整理得，.‎ 设，，定点.(依题意 则由韦达定理可得，，. ‎ 直线与直线恰关于轴对称，等价于的斜率互为相反数. ‎ 所以，，即得. ‎ 又，，‎ 所以，，整理得，.‎ 从而可得，， ‎ 即，‎ 所以，当，即时，直线与直线恰关于轴对称成立. 特别地，当直线为轴时，也符合题意. 综上所述，存在轴上的定点，满足直线与直线恰关于轴对称.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆方程，直线与椭圆位置关系，熟记椭圆方程简单性质，熟练转化题目条件，准确计算是关键，是中档题.‎ ‎17．（1）答案见解析．（2）答案见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求导得，根据、分类讨论，求出与的解集即可得解；‎ ‎（2）令，求导得，令，求导得在时取得极小值，即为最小值，可得，即可得证.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）的定义域为，，‎ ‎①当时，，在单调递增．‎ ‎②当时，时，，单调递减，‎ 当时，，单调递增．‎ 综上，当时在单调递增；当时，时，单调递减，当时，单调递增．‎ ‎（2），，即，‎ 设，则，‎ 当时，，当时，，当时，，‎ 所以在时取得极小值，即为最小值，‎ 所以.‎ 令，，则，‎ 当时，，当时，，‎ 当时，，‎ 所以在时取得极小值，即为最小值．‎ 所以即，‎ 所以恒成立．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数判断函数的单调性和证明不等式，考查了换元法的应用，属于中档题.‎ ‎18．（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用极坐标公式计算得到答案 ‎（2）设，，根据三角函数的有界性得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，所以，‎ 因为所以直线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）由题意可设，‎ 则点到直线的距离.‎ 因为，所以，‎ 因为，故的最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了极坐标方程，参数方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ ‎19．(1)；(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 当时，不等式即为，利用绝对值的几何意义即可得到答案；‎ ‎(2)由可知，从而将不等式化简为，再由对任意恒成立，即可求出答案．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，‎ 由绝对值的几何意义可得：，‎ 所以不等式的解集，‎ ‎(2)若时，不等式成立，等价于，‎ 即对恒成立，‎ 所以，解得，‎ 所以实数的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查绝对值不等式的解法及不等式恒成立问题，属于中档题．‎ ‎20．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出导数，再在定义域上考虑导数的符号为正时对应的的集合，从而可得函数的单调增区间.‎ ‎【详解】‎ 函数的定义域为.‎ ‎，‎ 令，则，故函数的单调增区间为：.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数在函数单调性中的应用，注意先考虑函数的定义域，再考虑导数在定义域上的符号，本题属于基础题.‎ ‎21．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出可行域，根据可行域内的点和原点连线的斜率，求得的最大值.‎ ‎【详解】‎ 画出可行域如下图所示，由图可知，可行域内的点和原点连线斜率最大的为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查斜率型的非线性规划求最值问题，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎22．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：取中点F，连接，，分别为 的中点，，平面，为直线与平面所成角，，=，则 考点：直线与平面所成的角；‎ ‎23．2.5‎ ‎【解析】‎ 由题意可得：‎ a1＋a2=1＋4=5，b22=1×4=4，‎ 设等比数列的公比为，则，‎ 即b2与1同号，∴b2=2，=2.5.‎ 点睛：熟练掌握等比数列的一些性质可提高解题速度，历年高考对等比数列的性质考查较多，主要是考查“等积性”，题目“小而巧”且背景不断更新．解题时要善于类比并且要能正确区分等差、等比数列的性质，不要把两者的性质搞混．‎