高中数学选修2-2教学课件第1课时 综合法 23页

2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 　综合法和分析法 第 1 课时 综合法 合情推理是发现的方法，演绎推理是数学中严格证明的工具 . 怎样用演绎推理来证明呢？这是要讲究方法的 . 今天，我们就来认识一些基本的证明方法 …… 1. 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两 种基本方法之一的综合法 . （重点） 2. 了解综合法的思考过程、特点 . （难点） 探究点 1 综合法的含义 引例 : 已知 a>0,b>0, 求证 a(b 2 +c 2 )+b(c 2 +a 2 )≥4abc 因为 b 2 +c 2 ≥2bc,a>0 所以 a(b 2 +c 2 )≥2abc. 又因为 c 2 +a 2 ≥2ac,b>0 所以 b(c 2 +a 2 )≥ 2abc. 因此 a(b 2 +c 2 )+b(c 2 +a 2 )≥4abc. 证明 : 一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等 , 经过一系列的推理论证 , 最后推导出所要证明的结论成立 , 这种证明方法叫做 综合法 . 用 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等 ,Q 表示所要证明的结论 . 则综合法用框图表示为 : … 例 1: 如图所示 ,△ABC 在平面 α 外 , 求证 :P,Q,R 三点共线 . A B C P Q R 探究点 2 利用综合法进行证明 分析： 本例的条件表明， P,Q,R 三点既在平面 α 内，又在平面 ABC 内，所以可以利用两个相交平面的公理证明 . （ 1 ） （ 2 ） 证明： 例 3 在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ，Ｂ，Ｃ对应的边分别为 a ， b ， c ，且Ａ，Ｂ，Ｃ成等差数列， a ， b ， c 成等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形． 分析： 将 A,B,C 成等差数列，转化为符号语言就是 2B=A+C ； a,b,c 成等比数列，转化为符号语言就是 b 2 =ac.A,B,C 为△ ABC 的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是 A+B+C= π . 此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求 . 于是，可以用余弦定理为工具进行证明 . 证明： 由 A ， B ， C 成等差数列，有 2B=A+C ① 由①②，得 ② ③ 由 a ， b ， c 成等比数列，有 ④ 由余弦定理及③，可得 再由④，得 因此 a=c 从而有 A=C ⑤ 由②③⑤，得 即 【 提升总结 】 解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等 . 还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来 . 1. 综合法证明不等式所说的“由因导果”是指寻 求使不等式成立的（   ） A. 必要条件          B. 充分条件  C. 充要条件          D. 非充分非必要条件 证明 　 (1) 在四棱锥 P - ABCD 中， 因为 PA⊥ 底面 ABCD ， CD⊂ 平面 ABCD ，故 PA⊥CD. 因为 AC⊥CD ， PA∩AC ＝ A ，所以 CD⊥ 平面 PAC ， 而 AE⊂ 平面 PAC ，所以 CD⊥AE. (2) 由 PA ＝ AB ＝ BC ，∠ ABC ＝ 60° ，可得 AC ＝ PA ， 因为 E 是 PC 的中点，所以 AE⊥PC. 由 (1) 知， AE⊥CD ， 且 PC∩CD ＝ C ，所以 AE⊥ 平面 PCD. 而 PD⊂ 平面 PCD ，所以 AE⊥PD ， 因为 PA⊥ 底面 ABCD ， 所以 PA⊥AB 又因为 AB⊥AD ， 所以 AB⊥ 平面 PAD 所以 AB⊥PD ， 又因为 AB∩AE ＝ A ， 综上得 PD⊥ 平面 ABE. 利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等 , 经过一系列的推理论证 , 最后推导出所要证明的结论成立 , 这种证明方法叫做 综合法 . 用 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等 ,Q 表示所要证明的结论 . 则综合法用框图表示为 : … 综合法的定义 : 拥有了太多反而是负担。只拥有一块手表的人知道现在几点，一个拥有两块手表的人却很难确定现在的准确时间 .