数学（理）卷·2018届江西省南昌市第二中学高三上学期第五次月考（2017 25页

南昌二中2017～2018学年度上学期第五次考试 高三数学（理）试卷 出题人：徐 欢 审题人：张 婷 一、选择题（每小题5分，共60分。每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的选项填涂在答题卡上）‎ ‎1．已知集合， ，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 已知(是虚数单位),那么的共轭复数对应的点位于复平面内的( )‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎3. 若、n是互不相同的空间直线,α、β是不重合的平面,则下列命题中为真命题的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若则 D. 若，则 ‎4.已知等差数列的前项和为，则数列的前100项的和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5. 若，且，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.是所在平面内一点， ，则是点在内部（不含边界）的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 ‎7. 已知的三个内角的大小依次成等差数列，角的对边分别是，并且函数的值域是，则的面积是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎9. 设， ， ，则的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.已知函数是定义域为的偶函数. 当时，.若关于的方程（）,有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎11. 已知函数是定义在的可导函数， 为其导函数，当且 时， ,若曲线在处的切线的斜率为,则 （ ）‎ A. 0 B. 1 C. D. ‎ ‎12.已知为常数，函数有两个极值点，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 二、填空题（每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸的相应位置上）‎ ‎13. 在等比数列中， ，则__________．‎ ‎14. 在平面内,，若动点满足，则的最小值是__________．‎ ‎15. 已知区域，则圆与区域有公共点，则实数的取值范围是__________.‎ ‎16. 在三棱锥中， 是边长为3的等边三角形， ，二面角的大小为120°，则此三棱锥的外接球的表面积为__________．‎ 三、解答题(本大题共70分=10分+12×5分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ 17. ‎（本题满分10分）在中，内角，，的对边分别为，，，已知 ‎．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，且是锐角三角形，求实数的取值范围．‎ ‎18.（本题满分12分） 如图，的外接圆的半径为，所在的平面，‎ ‎，，，且，．‎ ‎（1）求证：平面平面．‎ ‎（2）试问线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由．‎ ‎19. （本题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量，设，向量．‎ ‎（1）若，求向量与的夹角；‎ ‎（2）若 对任意实数都成立，求实数的取值范围．‎ ‎20. （本题满分12分）如图，已知四棱锥的底面的菱形，，点是边的中点，交于点， ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若的大小；‎ ‎（3）在（2）的条件下，求异面直线与所成角的余弦值。‎ ‎21. （本题满分12分）已知数列的前项和满足： .‎ ‎（1）数列的通项公式；‎ ‎（2）设，且数列的前项和为，求证： .‎ ‎22. （本题满分12分）已知函数.‎ ‎（1）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；‎ ‎（2）设是函数的两个极值点，若，求的最小值.‎ 南昌二中2017～2018学年度上学期第五次考试 高三数学（理）试卷参考答案 ‎1．已知集合， ，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎2.已知（是虚数单位），那么的共轭复数对应的点位于复平面内的( )‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】， ‎ ‎， 的共轭复数对应的点的坐标是， 对应的点在第二象限，故选B.‎ ‎3.若、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若则 D. 若，则 ‎【答案】D ‎【解析】对于A，由可得∥或与异面，故A不正确；‎ 对于B，由可得与的位置关系有相交、平行、在内三种，故B不正确；‎ 对于C，由可得与的位置关系不确定，故C不正确；‎ 对于D，由，设经过的平面与相交于直线，则∥，又因为，故，又因为，所以，故D正确.‎ 故选D.‎ ‎4.已知等差数列的前项和为，则数列的前100项的和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ‎ 所以等差数列的公差 ，通项公式为 ‎ 则其前项和为 ‎ 则数列的前项的和为 故选A ‎5.若，且，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】（1）∵，且，∴，∴，∴，当且仅当时取等号，故的最小值为64，故选D.‎ 点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．‎ ‎6.是所在平面内一点， ，则是点在内部（不含边界）的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 ‎【答案】B ‎【解析】若，点在内部，则，反之不成立，例如时，点为边的中点， 是点在内部，（不含边界）的必要不充分条件，故选B.‎ ‎7.已知的三个内角的大小依次成等差数列，角的对边分别是，并且函数的值域是，则的面积是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵在C中，，角 依次成等差数列， ，解得 ，‎ 函数的值域是，即函数的最小值 ‎ 则的面积 ‎ 故选A ‎8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由三视图可知，几何体为下面一个直三棱柱，上面一个三棱锥 三棱柱的底面面积为： ，侧面积为： ；‎ 三棱锥的侧面积为： .‎ 该几何体的表面积是.‎ 故选D.‎ 点睛：三视图问题的常见类型及解题策略 ‎(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．‎ ‎(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．‎ ‎(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．‎ ‎9.设， ， ，则的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为是减函数，所以，又是上的增函数，故，综上，故选C.‎ 点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．‎ ‎10.已知函数是定义域为的偶函数. 当时，.若关于的方程（）,有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：作出的图象如下，‎ 又∵函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，‎ 且关于x的方程， a，b∈R有且仅有6个不同实数根，‎ ‎∴x2+ax+b=0的两根分别为或；‎ 由韦达定理可得，‎ 若，则，即；‎ 若，则，即；‎ 从而可知或；‎ 故选C．‎ 考点：根的存在性及根的个数判断．‎ ‎11.已知函数是定义在的可导函数， 为其导函数，当且 时， ，若曲线在处的切线的斜率为，则 （ ）‎ A. 0 B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】当 且 时， ，可得：‎ ‎ 时， ‎ ‎ 时， ‎ 令 可得： 时， ； 时， ‎ 可得：函数在处取得极值， ‎ ‎ ． 故答案为 ‎12.已知为常数，函数有两个极值点，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】求导得: .易得在点P（1，0）处的切线为.当时，直线与曲线交于不同两点（如下图），且，‎ ‎. .选D 点睛：比较函数值大小,一般作差,利用条件等量代换,将差转化为一元函数,‎ 再利用导数研究差函数单调性或最值,根据单调性或最值确定差的符号,即大小关系.‎ ‎13.在等比数列中， ，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依题意知等比数列的公比，‎ 故.‎ ‎14.在平面内,，若动点满足，则的最小值是__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由得三角形ABC为等边三角形，且边长为 ，以AC所在直线为x轴，AC中点为坐标原点建系，则 ，‎ 因此 ，所以 ‎ ‎15.已知区域，则圆与区域有公共点，则实数的取值范围是__________.‎ 思路：先在坐标系中作出区域，圆的圆心为，半径为，所以只需确定圆心的取值范围即可，通过左右平移圆可观察到圆与直线和相切是取值的临界条件。当圆与相切时，则，由圆心位置可得；当圆与相切时，‎ ‎，所以 ‎ 答案：‎ ‎16.在三棱锥中， 是边长为3的等边三角形， ，二面角的大小为120°，则此三棱锥的外接球的表面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题可得：球心O在过底面的中心G的垂直底面的直线上，又二面角的大小为120°，取AB的中点为M，SB的中点为N，故,又,过M做MH=GO，且MH垂直底面，所以， ,故球的半径为,所以球的表面积为 17. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知 ‎．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，且是锐角三角形，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（I）；（II）． ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）由已知及三角函数中的恒等变换应用得，从而可求得，即可解得的大小；（Ⅱ）由已知得，由是锐角三角形，，可求得的取值范围，即可解得实数的取值范围．‎ 试题解析： （Ⅰ） 由题意得 ‎（Ⅱ） ‎ 为锐角三角形，且 ‎．‎ 考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．‎ ‎18.（本题满分12分） 如图，的外接圆的半径为，所在的平面，，，，且，．‎ ‎（1）求证：平面平面．‎ ‎（2）试问线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）答案详见解析；（2）存在，且．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由已知中CD⊥⊙O所在的平面，BE∥CD，易得BE⊥平面ABC，则BE⊥AB，由BE=1，，易得AB是⊙O的直径，则AC⊥BC由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面ABC，再由面面垂直的判定定理可得平面ADC⊥平面BCDE；（2‎ ‎）方法一：过点M作MN⊥CD于N，连接AN，作MF⊥CB于F，连接AF，可得∠MAN为MA与平面ACD所成的角，设MN=x，则由直线AM与平面ACD所成角的正弦值为，我们可以构造关于x的方程，解方程即可求出x值，进而得到点M的位置．方法二：建立如图所示空间直角坐标系C-xyz，求出平面ABC的法向量和直线AM的方向向量（含参数λ），由直线AM与平面ACD所成角的正弦值为，根据向量夹角公式，我们可以构造关于λ的方程，解方程即可得到λ值，进而得到点M的位置．‎ 试题解析：（1）∵CD ⊥平面ABC，BE//CD ‎∴ BE⊥平面ABC，∴BE⊥AB ‎∵BE=1， ∴ ，‎ 从而 ‎∵⊙的半径为，∴AB是直径，‎ ‎∴AC⊥BC 又∵CD ⊥平面ABC，∴CD⊥BC，故BC⊥平面ACD 平面BCDE，∴平面ADC平面BCDE ‎（2）方法1：‎ 假设点M存在，过点M作MN⊥CD于N，连结AN，作MF⊥CB于F，连结AF ‎∵平面ADC平面BCDE，‎ ‎∴MN⊥平面ACD，∴∠MAN为MA与平面ACD所成的角 设MN=x，计算易得，DN=，MF=‎ 故 ‎ 解得：（舍去） ，11分 故，从而满足条件的点存在，且 方法2：建立如图所示空间直角坐标系C—xyz，‎ 则：A（4，0，0），B（0，2，0），D（0，0，4），E（0，2，1），O（0，0，0），则 易知平面ABC的法向量为，假设M点存在，设，则，再设，‎ 即，从而…10分 设直线BM与平面ABD所成的角为，则：‎ 解得，其中应舍去，而故满足条件的点M存在，且点M的坐标为 考点：1、面面垂直的判定；2、直线和平面所成的角．‎ ‎19.在平面直角坐标系xOy中，已知向量，设，向量．‎ ‎（1）若，求向量与的夹角；‎ ‎（2）若 对任意实数都成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据向量夹角公式得,再将代入得,即得向量与的夹角为.（2‎ ‎）先根据向量的模化简得,分类变量得,根据恒成立条件得，解不等式得实数的取值范围 试题解析：解：（1）由题意， ， ，‎ 所以 ， ，‎ 设向量与的夹角为, ‎ 所以.‎ 因为，即，所以. ‎ 又因为，所以,即向量与的夹角为. ‎ ‎（2）因为对任意实数都成立，而,‎ 所以，即任意实数都成立. . ‎ 因为，所以任意实数都成立.‎ 所以任意实数都成立. ‎ 因为，所以任意实数都成立.‎ 所以，即， ‎ 又因为，所以 ‎20.如图，已知四棱锥的底面的菱形，，点是边的中点，交于点， ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若的大小；‎ ‎（3）在（2）的条件下，求异面直线与所成角的余弦值。‎ ‎【答案】（1）（2）（3） ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）因为平面，所以是 在平面 内的射影，要证 ，只要证，连结，由题设易知三角形为正三角形，而是其边 上的中线，所以.‎ ‎（2）由（1）知， ,而且 ，可以发现为二面角的平面角，再利用直角三角形求其大小；‎ ‎（3）取 中点 ，连结易证 ， 与 所成的角就是 与 的成的角；先利用勾股定理求出,再用余弦定理求解.‎ 试题解析：解答一：（1）在菱形中，连接则是等边三角形。‎ 点是边的中点 平面 是斜线在底面内的射影 ‎（2） 菱形中,‎ 又平面,是在平面内的射影 为二面角的平面角 在菱形中,，由（1）知，等边三角形 点是边的中点，与互相平分 点是的重心 又在等边三角形中，‎ 所以在中，‎ 二面角的大小为.‎ ‎(3)取中点，连结，‎ 则 与所成角与所成角 连结 平面,、平面 在中,‎ 在中,‎ 在中,‎ 由（2）可知，‎ 设与所成的角为 则 所以异面直线、所成角的余弦值为 解法二：（1）同解法一；‎ ‎（2）过点作平行线交于,以点为坐标原点,建立如图的坐标系 设平面的一个法向量为 则,即 不妨设 二面角的大小为 ‎（3）由已知，可得点 即异面直线所成角的余弦值为 考点：1、三垂线定理；2、二面角及其平面角；3、异面直线所成的角.‎ ‎21.已知数列的前项和满足： .‎ ‎（1）数列的通项公式；‎ ‎（2）设，且数列的前项和为，求证： .‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）根据当时， ，得到数列的递推关系式，再根据等比数列定义及通项公式求数列的通项公式；（2）将数列的通项公式代入化简得,再根据大小关系放缩为，最后利用裂项相消法求和得．‎ 试题解析：（Ⅰ）解：当时， ，所以， ‎ 当时， ，即， ， ， ‎ 所以数列是首项为，公比也为的等比数列， ‎ 所以. ‎ ‎（Ⅱ）证明： ． ‎ 由， ‎ 所以， ‎ 所以． ‎ 因为，所以，即．‎ 点睛：给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求. 应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；‎ ‎（2）设是函数的两个极值点，若，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）函数存在单调递减区间，等价于在 上有解，即在上有解，根据实根分布可得解不等式可得实数的取值范围；（2）为两根，所以代入消化简得．令，转化研究函数最小值，先根据，确定自变量取值范围： ，再利用导数研究函数单调性： 在上单调递减，进而确定函数最小值.‎ 试题解析：（Ⅰ）因为，‎ 所以， ‎ 又因为在上有解， ‎ 令，则，‎ 只需 ‎ 解得即． ‎ ‎（Ⅱ）因为，令，即，‎ 两根分别为，则 ‎ 又因为 ‎． ‎ 令，由于，所以． ‎ 又因为， ，‎ 即即，‎ 所以，解得或，即．‎ 令，‎ ‎，‎ 所以在上单调递减， ‎ ‎． ‎ 所以的最小值为．‎ 点睛：导数与函数的单调性 ‎(1)函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则在该区间为增函数；如果，则在该区间为减函数.‎ ‎(2)函数单调性问题包括：①求函数的单调区间或存在单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法.‎