2020学年高二数学下学期期中试题（B） 8页

- 1 - 2019 年度下学期期中考试 高二理科数学试卷（B） 第Ⅰ卷（满分 60 分） 一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有一 个是 符合题目要求的) 1．若随机变量 X 的分布列如右： 则 M+N 的值是（ ） A．0.4 B． 0.5 C．0.3 D．0.2 2．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为 和 ，两个零件是否加工为 一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（ ） A． B． C． D． 3．某商店开张，采用摸奖形式吸引顾客，暗箱中共有 6 个除了颜色外完全相同的球，其中有 1 个红球，2 个白球和 3 个黑球，进入商店的人都可以从箱中摸取两球，若两球颜色为一白一 黑即可领取小礼品，则能得到小礼品的概率等于( ) A． B． C． D． 4．将 2 名教师，4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小 组由 1 名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有（ ） A．8 种 B．9 种 C．10 种 D．12 种 5．若 n 的展开式中各项系数之和为 64，则展开式的常数项为（ ） A．－540 B．－162 C．162 D．540 6． 的展开式中， 的系数为（ ） A．－ 10 B．5 C．20 D．45 7．若 且满足 ，则 的最大值是 ( ) A．2 B． C．3 D． ( x3 1 ) x − 4x 2 3 3 4 1 6 1 4 5 12 1 2 1 2 2 5 3 5 4 5 2 5( 1) ( 1)x x+ − ,x y R∈ 2 2 13 x y+ = x y+ 2 2 10 - 2 - 8．设随机变量 的分布列为 ，则 ， 的值分别是（ ） A．0 和 1 B． 和 C． 和 D． 和 9．如图 1 所示的 5 个数据，去掉 后，下列说法错误的是（ ） A．相关系数 变大 B．残差平和变大 C． 变大 D．解释变量 与预报变量 的相关性变强 10．已知随机变量 X 服从正态分布 ， ，则 ( ) A．0.89 B．0.22 C．0.11 D．0.78 11．在一个具有五个行政区域的地图上（如右图 2），用四种颜色给这五个 行政区着色，当相邻的区域不能用同一颜色时 ，则不同的着色方法共有（ ） A．72 种 B．84 种 C．180 种 D．390 种 12．已知在 5 件产品中混有 2 件次品，现需要通过逐一检测直至查出 2 件次品为止，每检测 一件产品的费用是 10 元，则所需检测费的均值为（ ） A．32 元 B．34 元 C．35 元 D．36 元 第Ⅱ卷（满分 90 分） 二、填空题(本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知 ， ，则 ______. 14．在(x＋a)9 的展开式中，若第四项的系数为 84，则实数 a 的值为______. (用数字作答) 15．在平面直角坐标系中，由变换 的作用下，直线 变成直线 ，则 . 16．曲线 C 的参数方程为 （ 为参数），则曲线 C 的普通方程为___________. 17．一盒中有 6 个乒乓球，其中 4 个新的，2 个旧的，从盒子中任取 3 个球来用，用完后装回 盒子中，此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量，则 的值为 . 18．古代“五行”学认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克 水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物 ξ 1( ) (1 )ξ −= = −k kP k p p ( 0,1)=k ( )ξE ( )ξD p 2p p 1− p p (1 )−p p (3,10)D r 2R x y 2(4,6 )N ( 5) 0.89≤ =P X ( 3)≤ =P X 1( | ) 3 =P B A 3( ) 5 =P A ( ) =P AB ,( 0): ,( 0) x x y u y u ′ = ⋅ >  ′ = ⋅ > λ λϕ 2 2x y− = 2 4x y′ ′− = u+ =λ 1 1 x t t y t t  = +  = − t ( 4)P X = 图 2 图 1 - 3 - 质不相邻，则这样的排列方法有_________种. (用数字作答) 三、解答题(共 5 小题，共 60 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19．(本题满分 12 分) 已知直线 l 过点 P(2， 3)，且倾斜角 α＝ π 3 ，曲线 C： (θ 为参数)， 直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 A，B. (1)写出直线 的参数方程，及曲线 C 的普通方程； (2)求线段 AB 的中点 Q 的坐标，及 的值． 20．(本题满分 12 分) 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 ( 为参数)，在以坐标原 点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ＝2sin θ，直线 ：θ＝ π 6 (ρ＞ 0)，A(2,0)． (1)把 C1 的普通方程化为极坐标方程，并求点 A 到直线 的中距离； (2)设直线 分别交 C1，C2 于点 P，Q，求△APQ 的面积． 21．(本题满分 12 分) 在一次考试中,5 名同学的数学、物理成绩如表所示： 学生 A B C D E 数学(x 分) 89 91 93 95 97 物理(y 分) 87 89 89 92 93 (1)根据表中数据，求物理分 y 关于数学分 x 的回归方程，并试估计某同学数学考 100 分时， 他的物理得分； (2)要从 4 名数学成绩在 90 分以上的同学中选出 2 名参加一项活动，以 X 表示选中的同学中 物理成绩高于 90 分的人数，试解决下列问题： ①求至少选中 1 名物理成绩在 90 分以下的同学的概率； ②求随机变变量 X 的分布列及数学期望 ． 2cos , sin , x y =  = θ θ l | | | |PA PB⋅ 2 2cos , 2sin , x y = +  = ϕ ϕ ϕ l l l ( )E X - 4 - 附：回归方程： 中 22．(本题 满分 13 分) 2022 年，将在北京和张家口两个城市举办第 24 届冬奥会．某中学 为了普及奥运会知识和提高学生参加体育运动的积极性，举行了一次 奥运知识竞赛．随机抽取了 30 名学生的成绩,绘成如图所示的茎叶图, 若规定成绩在 75 分以上(包括 75 分)的学生定义为甲组，成绩在 75 分以下(不包括 75 分)定 义为乙组． (1)在这 30 名学生中,甲组学生中有男生 7 人，乙组学生中有女生 12 人，试问有没有 90%的把 握认为成绩分在甲组或乙组与性别有关； (2)①如果用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取 5 人，再从这 5 人中随机抽取 2 人，那么至 少有 1 人在甲组的概率是多少? ②用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的中学(人数很多)中随机选取 3 人， 用 表示所选 3 人中甲组的人数,试写出 的分布列，并求出 的数学期望． 附： ；其中 独立性检验临界表: 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 23．(本题满分 13 分) “过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2019 年春节前夕，A 市某质检部门 随机抽取了 100 包某种品牌的 速冻水饺作样本，检测其某项质量指标，检测结果如频率分布 直方图所示． （1）求所抽取的 100 包速冻水饺该项质量指标值的样本 平均数 和方差 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代 表）； ˆˆ ˆy bx a= + ( )( ) ( ) 1 2 1 ˆ ˆˆ, . n i i i n i i x x y y b a y bx x x = = − − = = − − ∑ ∑ ξ ξ ξ 2 2 ( ) ( )( )( )( ) −= + + + + n ad bcK a b c d a c b d n a b c d= + + + 2 0( )P K k> x 2s - 5 - （2）若该品牌的速冻水饺的某项质量指标 Z 服从正态分布 ，其中 近似为样本平均 数 ， 近似为样本方差 ． ①求 Z 落在 内的概率； ② 若某人从某超市购买了 1 包这种品牌的速冻水饺，发现该包速冻水饺 某项质量指标值为 55，根据 原则判断 该包速冻水饺某项质量指标值是否正常 附：① ； ②若 ，则 ， ， . 2( , )N u σ u x 2σ 2s (14.55,50.40) 3σ 142.75 11.95≈ 2~ ( , )Z N u σ ( ) 0.6826P u Z uσ σ− < < + = ( 2 2 ) 0.9544P u Z uσ σ− < < + = ( 3 3 ) 0.9974P u Z uσ σ− < < + = - 6 - 莆田六中 2017—2019 年度下学期期中考试 高二理科数学试卷（B）参考答案 一、选择题 1-6 BDBDAB 7-12 ADBCAC 二、填空题 13. ，14. 1，15. 5，16. ，17. ，18. 10． 三、解答题 19．解：(1)直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数)，……（2 分） 曲线 C 的普通方程为 x2 4 ＋y2＝1；……（4 分） （2）把直线 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程，得 13t2＋56t＋48＝0， 设直线 l 上的点 A，B 对应参数分别为 t1，t2， 所以 t1＋t2＝ ， ，……（8 分） 又设 AB 的中点 Q 对应参数为 t0， 则 t0＝ t1＋t2 2 ＝－ 28 13，所以点 M 的坐标为(12 13，－ 3 13 )，……（10 分） . ……（12 分） 20．解：(1)因为 C1 的普通方程为(x－2)2＋y2＝4，即 x2＋y2－4x＝0，……（2 分） 所以 C1 的极坐标方程为 ρ2－4ρcos θ＝0，即 ρ＝4cos θ. ……（5 分） (2)依题意，设点 P，Q 的极坐标分别为(ρ1， π 6 )，(ρ2， π 6 ).……（7 分） 将 θ＝ π 6 代入 ρ＝4cos θ，得 ρ1＝2 3，……（8 分） 将 θ＝ π 6 代入 ρ＝2sin θ，得 ρ2＝1，……（9 分） 所以|PQ|＝|ρ1－ρ2|＝2 3－1. ……（10 分） 依题意，点 A(2,0)到曲线 θ＝ π 6 (ρ>0)的距离 d＝|OA|sin π 6 ＝1，……（11 分） 所以 S△APQ＝ 1 2|PQ|·d＝ 1 2×(2 3－1)×1＝ 3－ 1 2. ……（ 12 分） 21．解：（1） ， ． ……（1 分） ．……（2 分） = ．……（3 分） ∴ ， 90－0.75×93=20.25．……（4 分） 1 5 2 2 14 4 x y− = 3 5 56 13 − 1 2 48 13t t = 1 2 1 2 48| | | | | | | | | | 13PA PB t t t t⋅ = ⋅ = = 89 91 93 95 97 935x + + + += = 87 89 89 92 93 905y + + + += = ( )5 2 2 2 2 2 1 ( 4) ( 2) 0 2 4 40i i x x = − = − + − + + + =∑ ( )( )5 1 i i i x x y y = − −∑ ( 4) ( 3) ( 2) ( 1) 0 2 2 4 3 30− × − + − × − + + × + × = 30ˆ 0.7540b = = ˆa = - 7 - ∴物理分 y 关于数学分 x 的回归方程为 ． ……（5 分） 则当 x=100 时， =0.75×100+20.25=95.25 分． ……（6 分） （2）随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2． P(X=0)= = ，P(X=1)= = ，P(X=2)= = ． ……（8 分） ①至少选中 1 名物理成绩在 90 分以下的同学的概率为 P=P(X=0)+P(X=1)= ． ……（10 分） ②X 的分布列为： ∴X 的数学期望 E(X)=0× +1× +2× =1．……（12 分） （②另解：写 X 服从超几何分分布，即 X ~H（4，2，2），E(X)= 2× =1．） 22．解：(1)作出 列联表: 甲组 乙组 合计 男生 7 6 13 女生 5 12 17 合计 12 18 30 ……（2 分） 由列联表数据代入公式得 ， 故没有 90%的把握认为成绩分在甲组或乙组与性别有关．……(4 分) (2) ①用 A 表示“至少有 1 人在甲组”，则 ．……(6 分) ②由题知，抽取的 30 名学生中有 12 名学生是甲组学生，抽取 1 名学生是甲组学生的频率为 ， 那么从所有的中学生中抽取 1 名学生是甲组学生的概率是 ， 又因为所取总体数量较多，抽取 3 名学生可以看出 3 次独立重复实验，……(8 分) 的取值为 0,1,2,3. 且 ……10 分) X 0 1 2 P ˆ 0.75 20.25y x= + ˆy 0 2 2 2 2 4 C C C 1 6 1 1 2 2 2 4 C C C 2 3 2 0 2 2 2 4 C C C 1 6 1 2 5 6 3 6 + = 1 6 2 3 1 6 2 4 2 2× 2 2 30(7 12 6 5) 1.83 2.70613 17 12 18K × − ×= ≈ <× × × 2 3 2 5 7( ) 1 10 CP A C = − = 12 2 30 5 = 2 5 ξ 3 2 3( ) ( ) ( ) , 0,1,2,3.5 5 k k kP k C k= = =ξ 1 6 2 3 1 6 - 8 - 于是 服从二项分布，即 ，……（11 分） 所以 的数学期望为 ． ……（12 分） 23．解：（1）所抽取的 100 包速冻水饺该项质量指标值的样本 平均数 ，……（2 分） 方差 ． ……（4 分） （2）因为 Z 服从正态分布 ，且 ， ，即 ． ① 因为 , 所以 Z 落在 内的概率为 ；……（8 分） ② 因为 ， 所以 ，即 ， 根据 原则判断该包速冻水饺某项质量指标值是正常的．……（12 分） ξ 2~ (3, )5Bξ ξ 2 63 5 5E = × =ξ 5 0.1 15 0.2 25 0.3 35 0.25 45 0.15 26.5x = × + × + × + × + × = 2 2 2 2 2 2( 21.5) 0.1 ( 11.5) 0.2 ( 1.5) 0.3 (8.5) 0.25 (18.5) 0.15 142.75s = − × + − × + − × + × + × ≈ 2( , )N u σ 26.5u = 2 142.75=σ 142.75 11.95= ≈σ (14.55 50.40) (26.5 11.95 26.5 23.90) ( 2 )P Z P Z P u Z u< < = − < < + = − < < +σ σ ( ) ( 2 )P u Z u P u Z u= − < ≤ + < < +σ σ 0.6826 0.9544 0.81852 2 = + = (14.55,50.40) 0.8185 3 26.5 3 11.95 62.35u + = + × =σ 26.5 55 62.35< < 55 3u u< < + σ 3σ