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- 2021-06-30 发布
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2020届郑州市高中毕业年级第一次质量预测
理科数学试题卷
注意事项:
1.答题前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。
3.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。满分150分,考试用时120分钟。
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设集合,,则的子集个数为( )
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
【答案】C
【解析】
分析:求出集合A,B,得到,可求的子集个数
详解:,
的子集个数为
故选C.
点睛:本题考查集合的运算以及子集的个数,属基础题.
2.复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
化简复数为的形式,求得复数对应点的坐标,由此判断所在的象限.
【详解】,该复数对应的点为,在第四象限.故选D.
【点睛】本小题主要考查复数的运算,考查复数对应点的坐标所在象限.
3.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图,根据该折线图,下列结论错误的是( )
A. 各年月接待游客量高峰期大致在7,8月份
B. 年接待游客量逐年增加
C. 月接待游客量逐月增加
D. 各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月,波动性更小,变化比较平稳
【答案】C
【解析】
【分析】
根据折线图依次判断各个选项,可通过反例得到错误.
【详解】由折线图可知,每年游客量最多的月份为:月份,可知正确;
年接待游客量呈现逐年递增的趋势,可知正确;
以年月和月为例,可得到月接待游客量并非逐月增加,可知错误;
每年月至月的月接待游客量相对于月至月的变化较小,数量更加稳定,可知正确.
本题正确选项:
【点睛】本题考查根据统计中的折线图判断数据特征的问题,属于基础题.
4.定义在R上的函数为偶函數,,,,则
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由偶函数得到,明确函数的单调性,综合利用奇偶性与单调性比较大小即可.
【详解】∵为偶函数,
∴,即,且其在上单调递减,
又,
∴
故选:C
【点睛】本题考查函数的性质,考查函数的奇偶性与单调性,考查转化思想,属于中档题.
5.“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝,“火纹”是常见的一种传统纹样,为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积,作一个边长为3的正方形将其包含在内,并向该正方形内随机投掷2000个点,己知恰有800个点落在阴影部分,据此可估计阴影部分的面积是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
边长为3的正方形的面积S正方形=9,设阴影部分的面积为S阴,由几何概型得,由此能估计阴影部分的面积.
【详解】解:为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积,作一个边长为3的正方形将其包含在内,
则边长为3的正方形的面积S正方形=9,
设阴影部分的面积为S阴,
∵该正方形内随机投掷2000个点,已知恰有800个点落在阴影部分,
∴,
解得S阴,
∴估计阴影部分的面积是.
故选:B.
【点睛】本题考查阴影面积的求法,考查几何概型等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.
6.已知向量与夹角为,且,,则
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
对两边平方,结合数量积的定义与法则即可得到结果.
【详解】∵向量与夹角为,且,,
∴,即
∴,
所以,
故选:C
【点睛】本题考查利用数量积求模,考查数量积定义与运算法则,考查运算能力.
7.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生"的问题,松长三尺,竹长一尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等,如图是源于其思想的一个程序框图,若输人的,分别为3,1,则输出的等于
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.
【详解】解:当n=1时,a=3,b=2,满足进行循环的条件,
当n=2时,a,b=4,满足进行循环的条件,
当n=3时,a,b=8,满足进行循环的条件,
当n=4时,a,b=16,不满足进行循环的条件,
故输出的n值为4,
故选:B.
【点睛】本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环的方法解答.
8.函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
易知函数定义域为,且,因此函数图象关于原点对称,又当自变量从原点右侧时,,故选C.
9.第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行,某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作,每人至少完成一项,每项工作由一人完成,则不同的安排方式共有多少种
A. 60 B. 90 C. 120 D. 150
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意,分2步进行分析:①、分两种情况讨论将5项工作分成3组的情况数目,②、将分好的三组全排列,对应3名志愿者,由分步计数原理计算可得答案.
【详解】解:根据题意,分2步进行分析:
①、将5项工作分成3组,
若分成1、1、3的三组,有10种分组方法,
若分成1、2、2的三组,有15种分组方法,
则将5项工作分成3组,有10+15=25种分组方法;
②、将分好的三组全排列,对应3名志愿者,有A33=6种情况,
则有25×6=150种不同的分组方法;
故选:D.
【点睛】本题考查排列、组合的应用,注意分组时要进行分类讨论.
10.已知抛物线的焦点为,准线为,是上一点,直线与抛物线交于,两点,若,则=
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据题意写出直线的方程,再将直线的方程与抛物线y2=2x的方程组成方程组,消去y得到关于x的二次方程,最后利用根与系数的关系结合抛物线的定义即可求线段AB的长.
【详解】解:抛物线C:y2=2x的焦点为F(,0),准线为l:x=﹣,设M(x1,y1),N(x2,y2),M,N到准线的距离分别为dM,dN,
由抛物线的定义可知|MF|=dM=x1+,|NF|=dN=x2+,于是|MN|=|MF|+|NF|=x1+x2+1.
∵,则,易知:直线MN的斜率为±,
∵F(,0),
∴直线PF的方程为y=±(x﹣),
将y=±(x﹣),代入方程y2=2x,得3(x﹣)2=2x,化简得12x2﹣20x+3=0,
∴x1+x2,于是|MN|=x1+x2+11
故选:B.
【点睛】本题考查抛物线的定义和性质,考查向量知识的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.
11.已知三棱锥内接于球O,平面ABC,为等边三角形,且边长,球的表面积为,则直线PC与平面PAB所成的角的正弦值为
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设D为AB中点,先证明CD⊥平面PAB得出∠CPD为所求角,利用勾股定理计算PA,PD,CD,得出结论.
【详解】解:设D,E分别是AB,BC的中点,AE∩CD=F,
∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥CD,
∵△ABC是等边三角形,∴CD⊥AB,
又PA∩AB=A,
∴CD⊥平面PAB,即∠CPD为PC与平面PAB所成的角.
∵△ABC是边长为的等边三角形,
∴CD=AE=,AFAE=1,且F为△平面ABC所在截面圆的圆心,
∵球O的表面积为16π,∴球O的半径OA,
∴OF,
∵PA⊥平面ABC,∴PA=2OF=2,
∴PD,PC
∴sin∠CPD.
故选:D.
【点睛】本题考查了棱锥与外接球的位置关系,考查了线面角的求法,考查空间想象能力与计算能力,属于中档题.
12.,,若有9个零点,则的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
令g(x)=t,由题意画出函数y=f(t)的图象,利用y=f(t)与y=m的图象最多有3个零点,可知要使函数y=f(g(x))﹣m有9个零点,则中每一个t的值对应3个x的值.
【详解】函数的图象如图所示,
令g(x)=t,y=f(t)与y=m的图象最多有3个零点,
当有3个零点,则0<m<3,从左到右交点的横坐标依次t1<t2<t3,
由图可知,2t1+1=﹣m,则,
,
由于函数y=f(g(x))﹣m有9个零点,,
,当 即 g(x)单调减;,g(x)单调递增,故每一个t的值对应3个x的值,则,
∴ ,
数形结合解,即,
由图易得,
解得:
∴实数m的取值范围是(0,).
故选:A.
【点睛】本题考查根的存在性及根的个数判断,考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法,属有一定难度题目.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.曲线在点(0,1)处的切线方程为________.
【答案】
【解析】
【分析】
求导函数,确定切线的斜率,利用点斜式,可得切线方程.
【详解】解:求导函数可得,y′=(1+x)ex
当x=0时,y′=1
∴曲线在点(0,1)处的切线方程为y﹣1=x,即.
故答案为.
【点睛】本题考查利用导数求曲线的切线方程,考查计算能力,是基础题
14.记Sn为等差数列{an}的前n项和,,则___________.
【答案】4.
【解析】
【分析】
根据已知求出和的关系,再结合等差数列前n项和公式求得结果.
【详解】因,所以,即,
所以.
【点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算.渗透了数学运算素养.使用转化思想得出答案.
15.已知双曲线的右顶点为A,以A为圆心,b为半径做圆,圆A与双曲线C的一条渐近线相交于M,N两点,若(为坐标原点),则双曲线C的离心率为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用已知条件,转化求解A到渐近线的距离,推出a,c的关系,然后求解双曲线的离心率即可
【详解】解:双曲线C:1(a>0,b>0)的右顶点为A(a,0),
以A为圆心,b为半径做圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.
则点A到渐近线bx-ay=0的距离为AB,
∵r=b,
∴BN,
∵,
∴OB=5BN,
∵OA=a,
∴a2,
∴a2c2=25b4+a2b2,
∴a2(c2﹣b2)=25b4,
∴a2=5b2=5c2﹣5a2,
即6a2=5c2,
即ac,
∴e
故答案为:.
【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用:离心率的求法,点到直线的距离公式以及圆的方程的应用,考查转化思想以及计算能力.
16.已知数列满足:对任意均有(p为常数,且
),若,则所有可能取值的集合是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
依题意,可得an+1+2=p(an+2),再对a1=﹣2与a1≠﹣2讨论,特别是a1≠﹣2时对公比p分|p|>1与|p|<1,即可求得a1所有可能值,从而可得答案.
【详解】解:∵an+1=pan+2p﹣2,
∴an+1+2=p(an+2),
∴①若a1=﹣2,则a1+1+2=p(a1+2)=0,a2=﹣2,同理可得,a3=a4=a5=﹣2,即a1=﹣2符合题意;
②若a1≠﹣2,p为不等于0与1的常数,则数列{an+2}是以p为公比的等比数列,
∵ai∈{﹣18,﹣6,﹣2,6,11,30},i=2,3,4,5,
an+2可以取﹣16,﹣4,8,32,
∴若公比|p|>1,则p=﹣2,由a2+2=﹣4=﹣2(a1+2)得:a1;
若公比|p|<1,则p,由a2+2=32(a1+2)得:a1=﹣66.
综上所述,满足条件的a1所有可能值为﹣2,,﹣66.
故答案为:.
【点睛】本题考查数列递推式的应用,考查等价转化思想与分类讨论思想的综合运用,对an+1+2=p(an+2)的理解与应用是难点,对公比p分|p|>1与|p|<1讨论是关键,考查逻辑思维与推理运算能力,属于难题.
三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22,23题为选考题,考生根据要求作答.
17.已知ABC外接圆半径为R,其内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,设.
(1)求角B;
(2)若b=12,c=8,求sinA的值
【答案】(1);(2)
【解析】
【分析】
(1)由正弦定理可得,结合余弦定理可得角B;
(2)由正弦定理,得到 ,,进而由两角和正弦公式得到结果.
【详解】(1)
∴
即:
∴
因为所以.
(2)若,由正弦定理,, ,
由,故为锐角,
【点睛】本题考查余弦定理与正弦定理,考查两角和正弦公式,考查综合运用余弦定理与正弦定理解决问题的能力,属于中档题.
18.已知三棱锥M-ABC中,MA=MB=MC=AC=,AB=BC=2,O为AC的中点,点N在边BC上,且.
(1)证明:BO平面AMC;
(2)求二面角N-AM-C的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
【分析】
(1)先证明,即可证明BO平面AMC;
(2)因为两两垂直,建立空间直角坐标系如图所示.求出平面与平面的法向量,代入公式即可得到结果.
【详解】
(1)如图所示:连接,
在中:,则,.
在中:,为的中点,则,且
在中:,满足:
根据勾股定理逆定理得到 相交于,
故平面.
(2)因为两两垂直,建立空间直角坐标系如图所示.因为,,
则,
由所以,
设平面的法向量为,则
令,得,
因为平面,所以为平面法向量,
所以与所成角的余弦为.
所以二面角的正弦值为
【点睛】本题主要考查空间直线和平面的位置关系的应用以及二面角的求解,建立坐标系求出点的坐标,利用向量法是解决本题的关键.
19.已知椭圆的离心率为,且过点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若过点的任意直线与椭圆E相交于A,B两点,线段AB的中点为M,求证,恒有.
【答案】(1);(2)证明见解析
【解析】
【分析】
(1)利用点在曲线上,椭圆的离心率,列出方程组,求出a,b即可得到椭圆方程;
(2)要证明,等价于证明,设过点直线为,联立方程,利用韦达定理证明即可.
详解】(1)由题意知,,
又因为解得,,
所以椭圆方程为,
(2)当过点的直线斜率为零时,显然满足题意;
当斜率不为零时,设过点直线为,
设,
由得,且.
则
又因为,, ,
所以.
因为线段的中点为,所以.
【点睛】本题考查椭圆方程的求法,直线与椭圆的位置关系的综合应用,恒等关系的处理,考查转化思想以及计算能力.
20.水污染现状与工业废水排放密切相关,某工厂深人贯彻科学发展观,努力提高污水收集处理水平,其污水处理程序如下:原始污水必先经过A系统处理,处理后的污水(A级水)达到环保标准(简称达标)的概率为p(0