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- 2021-06-30 发布
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理 科 数 学
第I卷(选择题)
一、选择题:(本大题 12个小题,每小题5分,共60分,每小题有且只有一个选项是正确的).
1.已知集合,则=( )
A. (-1,3) B. (-1,3] C. (0,3) D. (0,3]
2.已知复数满足(为虚数单位),且,则正数的值为( )
A. B. C. D.
3.已知某超市2019年中的12个月的收入与支出数据的折线图如图所示,则下列说法中,错误的是( ). 注:收益=收入-支出
A.该超市在2019年的12个月中,7月份的收益最高;
B.该超市在2019年的12个月中,4月份的收益最低;
C.该超市在2019年7月至12月的总收益比2109年1月至6月的总收益增长了90万元;
D.该超市在2019年1月至6月的总收益低于2109年7月至12月的总收益.
(3题图)
4.冰雹猜想也称奇偶归一猜想:对给定的正整
数进行一系列变换,则正整数会被螺旋式吸入
黑洞(4,2,1),最终都会归入“4-2-1”的模式.
该结论至今既没被证明,也没被证伪. 右边程序 (4题图)
框图示意了冰雹猜想的变换规则,则输出的( )
A. B. C. D.
5.在正方体中,分别是的中点,为正方形的中心,则( )
A.直线是异面直线,且 B.直线是异面直线且
C.直线是相交直线,且 D.直线是相交直线且
6.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知,且与的等差中项为2,则( )
A. B.112 C. D.121
7.空间直角坐标系中的点满足,则恰有两个坐标相同的点有( )
A.个 B.个 C. 个 D.个
8.“”是“为函数的极小值点”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
9.函数的图像大致为( )
A B C D
10. 函数的部分图像如右图所示, 且的图像过两点,为了得到的图像,只需将的图像( )
A.向右平移 B.向左平移 C.向左平移 D.向右平移
11.已知分别是双曲线的中心和右焦点,以为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于两点(异于原点),若,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
12.已知四棱锥的棱长都是,为的中点,则经过的平面截四棱锥所得截面的面积为( )
A. B. C. D.
第II卷(非选择题)
二、填空题:(本大题4个小题,每小题5分,共20分).
13.若,若,则 .
14.在第35届全国中学生数学冬令营中,某市甲、乙两所学校数学冬令营成绩的茎叶图如下图:已知甲校成绩的中位数、平均分都比乙校成绩的中位数、平均分少1分,则_____________.
15.设数列满足,则数列的前40项和是_____________.
16.已知抛物线的焦点,过其准线与轴的交点作直线,
(1)若直线与抛物线相切于点,则=_____________.
(2)设,若直线与抛物线交于点,且,则=_____________.
三.解答题:(本大题6个小题,共70分.各题解答必须在答题卷上作答,在相应题目指定的方框内必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程).
17.(本小题满分12分)
设函数.
(1)求的单调增区间;
(2)在中,若,且,求的值.
18.(本小题满分12分)
某次数学测验共有12道选择题,每道题共有四个选项,且其中只有一个选项是正确的,评分标准规定:每选对1道题得5分,不选或选错得0分. 在这次数学测验中,考生甲每道选择题都按照规则作答,并能确定其中有9道题能选对;其余3道题无法确定正确选项,在这3道题中,恰有2道能排除两个错误选项,另1题只能排除一个错误选项. 若考生甲做这3道题时,每道题都从不能排除的选项中随机挑选一个选项作答,且各题作答互不影响.在
本次测验中,考生甲选择题所得的分数记为
(1)求的概率;
(2)求的分布列和数学期望.
19.(本小题满分12分)
如图,在由三棱锥和四棱锥拼接成的多面体中,平面,平面平面,且是边长为的正方形,是正三角形.
(1)求证:平面;
(2)若多面体的体积为,求与平面所成角的正弦值.
20.(本小题满分12分)
已知椭圆:的右焦点为,过作两条直线分别与圆:相切于,且为直角三角形. 又知椭圆上的点与圆上的点的最大距离为.
(1)求椭圆及圆的方程;
(2)若不经过点的直线:(其中)与圆相切,且直线与椭圆交于,求的周长.
21.(本小题满分12分)
已知函数
(1)若为单调增函数,求实数的值;
(2)若函数无最小值,求整数的最小值与最大值之和.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果都做,则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分10分)选修4 - 4 坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线的参数方程为,(为参数),直线的普通方程为,设与的交点为,当变化时,记点的轨迹为曲线. 在以原点
为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线的方程为.
(1)求曲线的普通方程;
(2)设点在上,点在上,若直线与的夹角为,求的最大值.
23.(本小题满分10分)选修4 - 5 不等式选讲
已知,,.
(1)求 的取值范围;
(2)求证:.
理科数学参考答案
一.选择题:BACBCD ABACCB;
二.填空题:13. 14. 15. 16.(1);(2)
解:(1) ……2分
……………4分
…………5分
的单调增区间为……6分
(2)由……7分
在中,由正弦定理可得:,可得……8分
……10分
在中,由余弦定理可得:……12分
18.解:(1)能排除2个选项的试题记为类试题;设选对一道类试题为,则……1分
能排除1个选项的试题记为类试题;设选对一道类试题为,则……2分
该考生选择题得55分的概率为:对2道,对0道,则概率为……3分
对1道,对1道,则概率为……4分
则……5分
(2)该考生所得分数……6分
;;;……9分(每个概率各1分)
∴X的分布列为:
45
50
55
60
P
.……12分
(其中分布列1分,期望表达式1分,计算期望1分)
19.证明:(1)设点为中点,是正三角形
,平面平面,
平面平面,则平面……2分
平面,……4分
平面,平面平面……6分
(2)
……7分
由题意可知,建立如图直角坐标系,……8分
是边长为的正方形,是正三角形.则,,
……10分
设平面的法向量为,
则,……11分
又,若与平面所成角为,则……12分
20.解:(1)最大距离为;……2分
为直角三角形;……3分
又;……4分
圆的方程为:;椭圆的方程为:……5分
(2)与圆相切:则;……6分
设,,由得 ……7分
由,得…(※),且……8分
……10分
……11分
的周长为……12分
21.解:(1) ……1分
函数为单调函数……3分
经检验,,为增函数,故适合题意……4分(也可分类讨论)
(2)令,
(Ⅰ)当时,则在上为减函数
在上为增函数
当时,有最小值. 故不适合题意……5分
(Ⅱ)当时,则在上为增函数
在上为增函数
在上为增函数,无最小值,故适合题意……6分
(Ⅲ)当时,则在上为增函数
在上为减函数
在上为增函数……7分
则无最小值,故……8分
由在上恒成立在上为增……9分
且 存在唯一的实根
在上为减; 在上为增……10分
且
存在唯一的实根,……11分
无最小值,,,
综上,,,
,……12分
22.解:(1)直线可化为:,代入,消去可得:
……4分
由直线斜率存在且不为零,则,曲线的普通方程为:……5分
(2)为……6分
设点到直线的距离为,则与的夹角为……7分
……9分
……10分
【考点】普通方程、参数方程、极坐标方程互化,长度最值.
23.解:(1)∵,,,∴,,……2分
∴,……4分
∴当,时,的最小值为,
∴;……5分
(2)∵,,,∴,,
当且仅当时,取等号,……7分
∴
,……9分
∴时,的最大值为,∴.……10分