2019年高考数学复习大二轮精准提分练习第二篇 第25练 12页

第25练　基本初等函数、函数的应用[小题提速练]‎ ‎[明晰考情]　1.命题角度：考查二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质；以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理；能利用函数解决简单的实际问题.2.题目难度：中档偏难.‎ 考点一　基本初等函数的图象与性质 方法技巧　(1)指数函数的图象过定点(0，1)，对数函数的图象过定点(1，0).‎ ‎(2)应用指数函数、对数函数的单调性，要注意底数的范围，底数不同的尽量化成相同的底数.‎ ‎(3)解题时要注意把握函数的图象，利用图象研究函数的性质.‎ ‎1.已知函数f(x)＝则f(2 019)等于(　　)‎ A.2 018 B.2‎ C.2 020 D. 答案　D 解析　f(2 019)＝f(2 018)＋1＝…＝f(0)＋2 019＝f(－1)＋2 020＝2－1＋2 020＝.‎ ‎2.函数y＝ln|x|－x2的图象大致为(　　)‎ 答案　A 解析　f(x)＝y＝ln|x|－x2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝ln|－x|－(－x)2＝ln|x|－x2＝f(x)，故函数y＝ln|x|－x2为偶函数，排除B，D；当x>0时，y＝ln x－x2，则y′＝－2x，当x∈时，y′＝－2x>0，y＝ln x－x2单调递增，排除C.故选A.‎ ‎3.(2017·全国Ⅰ)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　)‎ A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z 答案　D 解析　令t＝2x＝3y＝5z，‎ ‎∵x，y，z为正数，∴t>1.‎ 则x＝log2t＝，同理，y＝，z＝.‎ ‎∴2x－3y＝－＝ ‎＝>0，‎ ‎∴2x>3y.‎ 又∵2x－5z＝－＝ ‎＝<0，‎ ‎∴2x<5z，‎ ‎∴3y<2x<5z.故选D.‎ ‎4.设函数f(x)＝则满足f(f(t))＝2f(t)的t的取值范围是____________________.‎ 答案　 解析　若f(t)≥1，显然成立，则有 或解得t≥－.‎ 若f(t)<1，由f(f(t))＝2f(t)，可知f(t)＝－1，‎ 所以t＋＝－1，得t＝－3.‎ 综上，实数t的取值范围是.‎ 考点二　函数与方程 方法技巧　(1)判断函数零点个数的主要方法 ‎①解方程f(x)＝0，直接求零点；②利用零点存在性定理；③数形结合法：通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题.‎ ‎(2)解由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数与方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解.‎ ‎5.函数f(x)＝log2x－的零点所在的区间为(　　)‎ A. B. C.(1，2) D.(2，3)‎ 答案　C 解析　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数.‎ f(1)＝log21－＝0－1<0， f(2)＝log22－＝1－＝>0，‎ ‎∴ f(1)·f(2)<0，‎ ‎∴函数f(x)＝log2x－的零点在区间(1，2)内.‎ ‎6.已知函数f(x)＝ln＋x3，若函数y＝f(x)＋f(k－x2)有两个零点，则实数k的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　因为f(x)＝ln＋x3在区间(－1，1)上单调递增，且是奇函数，令y＝f(x)＋f(k－x2)＝0，则f(x)＝－f(k－x2)＝f(x2－k).‎ 由函数y＝f(x)＋f(k－x2)有两个零点，等价于方程x2－x－k＝0在区间(－1，1)上有两个不相等的实根，令g(x)＝x2－x－k，则满足解得－1}‎ 解析　当直线y＝x＋a与曲线y＝ln x相切时，设切点为(t，ln t)，则切线斜率k＝(ln x)′|x＝t＝＝1，‎ 所以t＝1，切点坐标为(1，0)，代入y＝x＋a，得a＝－1.‎ 又当x≤0时，f(x)＝x＋a⇔(x＋1)(x＋a)＝0，‎ 所以①当a＝－1时，ln x＝x＋a(x>0)有1个实根，‎ 此时(x＋1)(x＋a)＝0(x≤0)有1个实根，满足题意；‎ ‎②当a<－1时，ln x＝x＋a(x>0)有2个实根，‎ 此时(x＋1)(x＋a)＝0(x≤0)有1个实根，不满足题意；‎ ‎③当a>－1时，ln x＝x＋a(x>0)无实根，此时要使(x＋1)(x＋a)＝0(x≤0)有2个实根，应有－a≤0且－a≠－1，即a≥0且a≠1，‎ 综上得实数a的取值范围是{a|a＝－1或0≤a<1或a>1}.‎ 考点三　函数的综合应用 方法技巧　(1)函数实际应用问题解决的关键是通过读题建立函数模型，要合理选取变量，寻找两个变量之间的关系.‎ ‎(2)基本初等函数与不等式的交汇问题是高考的热点，突破此类问题的关键在于准确把握函数的图象和性质，结合函数的图象寻求突破点.‎ ‎9.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)(　　)‎ A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年 答案　B 解析　设2015年后的第n年该公司投入的研发资金为y万元，则y＝130(1＋12%)n.‎ 依题意130(1＋12%)n>200，得1.12n>.‎ 两边取对数，得n·lg 1.12>lg 2－lg 1.3，‎ ‎∴n>≈＝，∴n≥4，‎ ‎∴从2019年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元.‎ ‎10.已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若存在f(a)＝g(b)，则实数b的取值范围为(　　)‎ A.[1，3] B.(1，3)‎ C.[2－，2＋] D.(2－，2＋)‎ 答案　D 解析　函数f(x)＝ex－1的值域为(－1，＋∞)，g(x)＝－x2＋4x－3的值域为(－∞，1]，若存在f(a)＝g(b)，则需g(b)＞－1，即－b2＋4b－3＞－1，所以b2－4b＋2＜0，解得2－＜b＜2＋.‎ ‎11.已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________.‎ 答案　(1，＋∞)‎ 解析　画出函数y＝f(x)与y＝a－x的图象如图所示，所以a>1.‎ ‎12.已知f(x)＝则f(x)≥－2的解集是________.‎ 答案　∪(0，4]‎ 解析　当x＜0时，f(x)≥－2，即≥－2，可转化为1＋x≤－2x，得x≤－；‎ 当x＞0时，f(x)≥－2，‎ 即≥－2，‎ 可转化为≥‎ 解得0＜x≤4.‎ 综上可知不等式的解集为∪(0，4].‎ ‎1.函数f(x)＝－2x2的图象大致为(　　)‎ 答案　A 解析　因为f(－x)＝－2(－x)2＝f(x)，‎ 所以函数y＝f(x)是偶函数.‎ 当x>0时，f′(x)＝2x－4x＝2x(－2)，‎ 若x∈(0，)，f′(x)<0，函数y＝f(x)单调递减；‎ 若x∈(，＋∞)，f′(x)>0，函数y＝f(x)单调递增，‎ 则f(x)min＝f()＝2－2ln 2>0，‎ 结合图象的对称性可知，故选A.‎ ‎2.如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0且a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a的值为(　　)‎ A. B.1‎ C.3 D.或3‎ 答案　D 解析　令ax＝t(t>0)，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.‎ 当a>1时，因为x∈[－1，1]，所以t∈，‎ 又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，‎ 所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，‎ 解得a＝3(负值舍去)；‎ 当00，且a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(　　)‎ A.(－∞，2] B.[2，＋∞)‎ C.[－2，＋∞) D.(－∞，－2]‎ 答案　B 解析　由f(1)＝，得a2＝，‎ 解得a＝或a＝－(舍去)，‎ 即f(x)＝|2x－4|.‎ 由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上单调递减，‎ 在[2，＋∞)上单调递增，‎ 所以f(x)在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减.‎ ‎3.函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内零点的个数为(　　)‎ A.0 B.1‎ C.2 D.3‎ 答案　C 解析　由题意，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，由函数零点的定义，f(x)在(0，＋∞)内的零点即是方程|x－2|－ln x＝0的根.‎ 令y1＝|x－2|，y2＝ln x(x＞0)，在同一坐标系中画出两个函数的图象.‎ 由图得两个函数图象有两个交点，‎ 故方程有两个根，即对应函数有两个零点.‎ ‎4.函数y＝(0≤x＜3)的值域是(　　)‎ A.(0，1] B.(e－3，e]‎ C.[e－3，1] D.[1，e]‎ 答案　B 解析　∵y＝＝(0≤x＜3)，‎ 当0≤x＜3时，－3＜－(x－1)2＋1≤1，‎ ‎∴e－3＜≤e1，‎ 即e－3＜y≤e，‎ ‎∴函数的值域是(e－3，e].‎ ‎5.函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为(　　)‎ A. B. C.2 D.4‎ 答案　B 解析　当a＞1时，由a＋loga2＋1＝a，‎ 得loga2＝－1，‎ 所以a＝，与a＞1矛盾；‎ 当0＜a＜1时，由1＋a＋loga2＝a，‎ 得loga2＝－1，所以a＝.‎ ‎6.已知函数f(x)＝设m>n≥－1，且f(m)＝f(n)，则m·f(m)的最小值为(　　)‎ A.4 B.2‎ C. D.2 答案　D 解析　当－1≤x<1时，f(x)＝5·2x∈，f(0)＝5；当x≥1时，f(x)＝1＋≤5，f(4)＝，1≤m<4.m·f(m)＝m＋≥2，当且仅当m＝时取等号，故选D.‎ ‎7.若函数f(x)＝aex－x－2a有两个零点，则实数a的取值范围是(　　)‎ A. B. C.(－∞，0) D.(0，＋∞)‎ 答案　D 解析　函数f(x)＝aex－x－2a的导函数f′(x)＝aex－1，‎ 当a≤0时，f′(x)<0恒成立，函数f(x)在R上单调递减，不可能有两个零点；‎ 当a＞0时，令f′(x)＝0，得x＝ln ，函数在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴f(x)的最小值为f＝1－ln －2a＝1＋ln a－2a.‎ 令g(a)＝1＋ln a－2a(a＞0)，‎ 则g′(a)＝－2.‎ 当a∈时，g(a)单调递增，‎ 当a∈时，g(a)单调递减，‎ ‎∴g(a)max＝g＝－ln 2＜0，‎ ‎∴f(x)的最小值f＜0，函数f(x)＝aex－x－2a有两个零点.‎ 综上，实数a的取值范围是(0，＋∞).‎ ‎8.函数f(x)＝的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　)‎ A.a>0，b>0，c<0‎ B.a<0，b>0，c>0‎ C.a<0，b>0，c<0‎ D.a<0，b<0，c<0‎ 答案　C 解析　由f(x)＝及图象可知，x≠－c，－c＞0，‎ 则c＜0；当x＝0时，f(0)＝＞0，‎ 所以b＞0；当f(x)＝0时，ax＋b＝0，‎ 所以x＝－＞0，所以a＜0，故选C.‎ ‎9.已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，那么n的值为________.‎ 答案　1‎ 解析　由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，‎ 解得n＝1或n＝－3，经检验，只有n＝1符合题意.‎ ‎10.已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________.‎ 答案　[－1，＋∞)‎ 解析　设t＝f(x)，令f(f(x))－a＝0，则a＝f(t).在同一坐标系内作y＝a，y＝f(t)的图象(如图).‎ 当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点.设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2>t1)且t1<－1，t2≥－1，当t1<－1时，t1＝f(x)有一解；当t2≥－1时，t2＝f(x)有两解.当a<－1时，只有一个零点.综上可知，当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点.‎ ‎11.设函数f(x)＝则函数y＝f(f(x))－1的零点个数为________.‎ 答案　2‎ 解析　①当x≤0时，y＝f(f(x))－1＝f(2x)－1＝log22x－1＝x－1，令x－1＝0，‎ 则x＝1，显然与x≤0矛盾，‎ 所以当x≤0时，y＝f(f(x))－1无零点.‎ ‎②当x＞0时，分两种情况：当x＞1时，log2x＞0，y＝f(f(x))－1＝f(log2x)－1＝log2(log2x)－1，‎ 令log2(log2x)－1＝0，‎ 得log2x＝2，解得x＝4；‎ 当0＜x≤1时，log2x≤0，y＝f(f(x))－1＝f(log2x)－1＝－1＝x－1，‎ 令x－1＝0，解得x＝1.‎ 综上，函数y＝f(f(x))－1的零点个数为2.‎ ‎12.函数f(x)＝的图象与函数g(x)＝2sin x在区间[0，4]上的所有交点为(x1，y1)，(x2，y2‎ ‎)，…，(xn，yn)，则f(y1＋y2＋…＋yn)＋g(x1＋x2＋…＋xn)＝________.‎ 答案　 解析　如图，画出函数f(x)和g(x)在[0，4]上的图象，‎ 可知有4个交点，并且关于点(2，0)对称，所以y1＋y2＋y3＋y4＝0，x1＋x2＋x3＋x4＝8，所以f(y1＋y2＋y3＋y4)＋g(x1＋x2＋x3＋x4)＝f(0)＋g(8)＝＋0＝.‎