2018届二轮复习含有条件概率的随机变量问题学案（全国通用） 16页

专题69 含有条件概率的随机变量问题 ‎ 考纲要求:‎ ‎ (1)了解条件概率和两个事件相互独立的概念,理解 n 次独立重复试验的模型及二项分 布,并能解决一些简单的实际问题.‎ ‎(2)理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念,能计算简单离散型随机变量的 均值、方差,并能解决一些实际问题.‎ ‎ (3)利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.‎ 基础知识回顾:‎ 一、条件概率及其性质 二、事件的相互独立 ‎1．设A、B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)·P(B)，那么称事件A与事件B相互独立．‎ ‎2．如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立．‎ 三、独立重复试验与二项分布 ‎1．独立重复试验 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，即若用Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A‎1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)．‎ ‎2．二项分布 在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．‎ 应用举例:‎ 类型一 条件概率 例1．某种电子元件用满3000小时不坏的概率为，用满8 000小时不坏的概率为，现有一只此种电子元件，已经用满3000小时不坏，还能用满8000小时的概率是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 例2. 若， ，则等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由条件概率公式可得： ‎ 故答案选.‎ 例3. 现抛掷两枚骰子，记事件为“朝上的2个数之和为偶数”，事件为“朝上的2个数均为偶数”，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 点评：条件概率的求解方法 ‎(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝.注意：事件A与事件B有时是相互独立事件，有时不是相互独立事件，要弄清P(AB)的求法．‎ ‎(2)当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝.‎ 类型二 相互独立事件的概率 例4【2016年高考北京理数】A、B、C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；‎ A班 ‎6 6.5 7 7.5 8‎ B班 ‎6 7 8 9 10 11 12‎ C班 ‎3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5‎ ‎（1）试估计C班的学生人数；‎ ‎（2）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；‎ ‎（3）再从A、B、C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记 ，表格中数据的平均数记为 ，试判断和的大小，（结论不要求证明）‎ ‎【答案】（1）40；（2）；（3）.‎ 由题意可知，，；，，‎ ‎，,.‎ 设事件为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”，由题意知，‎ 因此 ‎（3）根据平均数计算公式即可知，.‎ 点评：相互独立事件的求解方法 ‎(1)当从意义上不易判定两事件是否相互独立时，可运用公式P(AB)＝P(A)P(B)计算判定．求相互独立事件同时发生的概率时，要搞清事件是否相互独立．若能把复杂事件分解为若干简单事件，同时注意运用对立事件可把问题简化．‎ ‎(2)在解题过程中，要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义．若能把相关事件正确地表示出来，同时注意使用逆向思维方法，常常能使问题的解答变得简便．‎ 类型三 独立重复试验与二项分布 例5【2017届辽宁省大连市3月模拟】为了增强中小学生运动健身意识，某校举办中小学生体育运动知识竞赛，学校根据男女生比例从男生中随机抽取120人，女生中随机抽取100人，进行成绩统计分析，其中成绩在80分以上为优秀，根据样本统计数据分别制作了男生成绩频数分布表以及女生成绩频率分布直方图如图：‎ 男生成绩：‎ 分数段 频数 ‎9‎ ‎10‎ ‎21‎ ‎57‎ ‎23‎ 女生成绩：‎ ‎（Ⅰ）根据上述数据完成下列列联表：‎ 优秀 非优秀 合计 男生 女生 合计 根据此数据你认为能否有以上的把握认为体育运动知识竞赛成绩是否优秀与性别有关？‎ 参考公式：，（），‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（Ⅱ）以样本中的频率作为概率，学校在全校成绩优秀的学生中随机抽取3人参加全市中小学体育运动知识竞赛．‎ ‎（i）在其中2人为男生的条件下，求另1人为女生的概率；‎ ‎（ii）设3人中女生人数为随机变量，求的分布列与数学期望．‎ ‎【答案】（I）见解析：（II）；‎ ‎（ii）的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 的数学期望． ‎ 试题解析：‎ ‎(I)男生成绩优秀的人数为：人，非优秀的人数为：人，女生成绩优秀的人数为：人，非优秀的人数为：人，‎ 优秀 非优秀 合计 男生 ‎80‎ ‎40‎ ‎120‎ 女生 ‎40‎ ‎60‎ ‎100‎ 合计 ‎120‎ ‎100‎ ‎220‎ ‎∴有以上的把握认为体育运动知识竞赛成绩是否优秀与性别有关． ‎ ‎ ‎ ‎(ii)3人中女生人数服从二项分布：， ‎ ‎∴)‎ 的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 的数学期望．‎ 例6.某校为进行爱国主义教育，在全校组织了一次有关钓鱼岛历史知识的竞赛．现有甲、乙两队参加钓鱼岛知识竞赛，每队3人，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得1分，答错得0分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为、、，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队的总得分．‎ ‎（1）求随机变量ξ的分布列和数学期望；‎ ‎（2）用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于‎3”‎这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分” 这一事件，求P（AB）．‎ ‎【答案】（1）2；（2）‎ 解法二：根据题设可知，，‎ 因此的分布列为，．‎ 因为，所以．‎ ‎（2）解法一：用表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以，且互斥，又 ‎，‎ 点评：求解独立重复试验概率时应注意的问题 ‎(1)概率模型是否满足公式Pn(k)＝Cknpk(1－p)n－k的三个条件：①在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；②n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；③该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率．‎ ‎(2)独立重复试验是相互独立事件的特例(概率公式也是如此)，就像对立事件是互斥事件的特例一样，只要有“恰好”字样的题用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”等字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样．‎ 方法、规律归纳:‎ ‎1.理解二项分布的注意事项 ‎(1)“恰好发生k次”与“有指定的k次发生”的不同：恰好发生k次的概率为Pn(k)＝CPk(1－P)n－k，有指定的k次发生的概率为P＝Pk(1－P)n－k.‎ ‎(2)Pn(k)＝CPk(1－P)n－k恰好是[(1－P)＋P]n的第k＋1项Tk＋1＝C(1－P)n－kPk.‎ ‎2.一个实际问题中往往涉及多个事件，正确理解这些事件之间的相互关系是解决问题的核心．一般的思路是先把所要解决的随机事件分成若干个互斥事件的和，再把这些互斥事件中的每一个事件分成若干个相互独立事件的乘积，把所要求的随机事件的概率计算转化为已知的一些事件的概率之积、之和的计算.‎ 实战演练:‎ ‎1.【2017届重庆市第一中学高三下学期第二次月考】春天是鼻炎和感冒的高发期，某人在春季里鼻炎发作的概率为，鼻炎发作且感冒的概率为，则此人鼻炎发作的条件下，他感冒的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设感冒、鼻炎发作的概率分别是，鼻炎发作的条件下，感冒发作的概率是，则，应选答案D.‎ ‎2．盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】在第一次摸出新球的条件下，盒子里还有个球，‎ 这个球中有个新球和个旧球，‎ 故第二次也取到新球的概率为 故答案选.‎ ‎3．将3颗骰子各掷一次，记事件A为“三个点数都不同”，事件B为“至少出现一个1点”，则条件概率和分别为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎ 4．【2018届辽宁省庄河市高级中学高三上学期开学】若10件产品包含2件次品，今在其中任取两件，已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设事件A={两件中有一件不是废品}，事件B={两件中恰有一件为废品}，则.‎ ‎5．【2017届陕西省西藏民族学院附属中学高三4月月考】袋中有形状、大小都相同的6只球，其中1只白球，2只红球，3只黄球，从中随机先后摸出2只球，在已知摸出第一只球为白球的情况下，第二只球为黄球的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意已经摸出一只白球后，相当于在2只红球，3只黄球共5只球中摸出一个且是黄球，所以概率为，故填．‎ ‎6．【2017届黑龙江省大庆市三模】某校高三年级要从名男生和名女生中任选名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎7.【2017甘肃兰州模拟】]甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人各次射击是否击中目标相互之间也没有影响．‎ ‎(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；‎ ‎(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；‎ ‎(3)假设每人连续2次未击中目标，则终止其射击．问：乙恰好射击5次后，被终止射击的概率是多少？‎ ‎【答案】(1)甲连续射击4次，至少有一次未击中目标的概率为.‎ ‎(2)人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为.‎ ‎(3)乙恰好射击5次后，被终止射击的概率为.‎ ‎【解析】(1)记“甲连续射击4次，至少有1次未击中目标”为事件A1，则事件A1的对立事件1为“甲连 8.某科考试中，从甲、乙两个班级各抽取10名同学的成绩进行统计分析，两班成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分为及格．‎ ‎（Ⅰ）设甲、乙两个班所抽取的10名同学成绩方差分别为、，比较、的大小（直接写出结果，不写过程）；‎ ‎（Ⅱ）从甲班10人任取2人，设这2人中及格的人数为X，求X的分布列和期望；‎ ‎（Ⅲ）从两班这20名同学中各抽取一人，在已知有人及格的条件下，求抽到乙班同学不及格的概率．‎ ‎【答案】(1) ;(2) ；（3）.‎ ‎ 9.【2017天津，理16】从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且 在各路口遇到红灯的概率分别为.‎ ‎（Ⅰ）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.‎ ‎【答案】 (1) (2) ‎ 所以，随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 随机变量的数学期望.‎ ‎10.【2016高考山东理数】甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：‎ ‎（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；‎ ‎（Ⅱ）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）分布列见解析，‎ ‎【解析】‎ ‎ (Ⅱ)由题意，随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,6.‎ 由事件的独立性与互斥性，得 ‎ ,‎ ‎,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎.‎