【数学】2019届一轮复习人教A版第3章三角函数三角恒等变换及解三角形第9课时三角函数的综合应用学案 9页

第9课时　三角函数的综合应用(对应学生用书(文)、(理)70 72页)‎ ‎　　理解和掌握同角三角函数的基本关系式、三角函数的图象和性质、两角和与差的正弦余弦与正切公式、二倍角公式及正弦定理和余弦定理，并能运用它们解决有关三角函数的综合问题．‎ ‎1. C级考点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式.‎ ‎2. B级考点：(1) 同角三角函数的基本关系式；‎ ‎(2) 二倍角公式；‎ ‎(3) 三角函数的图象和性质；‎ ‎(4) 正弦定理和余弦定理．‎ ‎1. (必修5P11习题6改编)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中A＝120°，b＝1，且△ABC的面积为，则c＝__________．‎ 答案：4‎ 解析：S△ABC＝bcsin 120°＝，即c×＝，∴ c＝4.‎ ‎2. 函数y＝sin x·cos x·cos 2x的最小正周期为_________．‎ 答案： 解析：y＝sin 2x·cos 2x＝sin 4x，最小正周期为T＝＝.‎ ‎3. (必修5P11习题5改编)在△ABC中，若＝＝，则△ABC的形状是__________．‎ 答案：等腰直角三角形 解析：由＝＝及正弦定理得，tan B＝tan C＝1，且B，C是三角形的内角，所以B＝C＝，A＝，故△ABC是等腰直角三角形．‎ ‎4. △ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos C，bcos B，ccos A成等差数列，则角B等于________．‎ 答案：60°‎ 解析：由题意得acos C＋ccos A＝2bcos B，由正弦定理得sin Acos C＋sin Ccos A＝2sin Bcos B，sin(A＋C)＝2sin Bcos B，即sin B＝2sin Bcos B，得cos B＝.又0°＜B＜180°，所以B＝60°.‎ ‎5. 函数y＝cos 2x－2cos x的值域是__________．‎ 答案： 解析：y＝cos 2x－2cos x＝2cos2x－2cos x－1＝2(cos x－)2－.因为cos x∈[－1，1]，所以y∈.‎ ‎1. 同角三角函数的基本关系式 sin2α＋cos2α＝1，tan α＝.‎ ‎2. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β，cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β，tan(α±β)＝.‎ ‎3. 二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，tan 2α＝.‎ ‎4. 三角函数的图象和性质 ‎5. 正弦定理和余弦定理 ‎(1) 正弦定理：＝＝＝2R(R为三角形外接圆的半径)．‎ ‎(2) 余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos A，cos A＝.　‎ ‎[备课札记]‎ ‎,　　　　　　　　　1　三角函数与解三角形)‎ ‎,　　　　　1)　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(x)＝2sin(x－A)cos x＋sin(B＋C)(x∈R)，函数f(x)的图象关于点对称．‎ ‎(1) 当x∈时，求函数f(x)的值域；‎ ‎(2) 若a＝7，且sin B＋sin C＝，求△ABC的面积．‎ 解：(1) f(x)＝2sin(x－A)cos x＋sin(B＋C)‎ ‎＝2(sin xcos A－cos xsin A)cos x＋sin A ‎＝2sin xcos Acos x－2cos2xsin A＋sin A ‎＝sin 2xcos A－cos 2xsin A＝sin(2x－A)，‎ 因为函数f(x)的图象关于点对称，所以f＝0，‎ 即sin＝0.‎ 又A∈(0，π)，则A＝，则f(x)＝sin.‎ 由于x∈，则2x－∈，即－0，则cos A＝>0.‎ ‎∵ 0.‎ 因此角A的取值范围是.‎ ‎3. (2017·苏州调研)已知△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(2sin B，－)，n＝(cos 2B，2cos2－1)，且m∥n.‎ ‎(1) 求锐角B的大小；‎ ‎(2) 如果b＝2，求S△ABC的最大值．‎ 解：(1) ∵ m∥n，‎ ‎∴ 2sin B＝－cos 2B，‎ ‎∴ sin 2B＝－cos 2B，即tan 2B＝－.‎ ‎∵ B为锐角，∴ 2B∈(0，π)，∴ 2B＝，∴ B＝.‎ ‎(2) ∵ B＝，b＝2，‎ ‎∴ 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得a2＋c2－ac－4＝0.‎ 又a2＋c2≥‎2ac，代入上式，得ac≤4，当且仅当a＝c＝2时等号成立．‎ 故S△ABC＝acsin B＝ac≤，当且仅当a＝c＝2时等号成立，即S△ABC的最大值为.‎ ‎4. 已知函数f(x)＝2sin2(x＋)－cos 2x，x∈，设x＝α时f(x)取到最大值．‎ ‎(1) 求f(x)的最大值及α的值；‎ ‎(2) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝α－，且sin Bsin C＝sin‎2A，判断△ABC的形状．‎ 解：(1) 由题意可得 f(x)＝－cos 2x ‎＝1＋sin 2x－cos 2x＝1＋2sin.‎ 又x∈，∴ ≤2x－≤，‎ 故当2x－＝，即x＝α＝时，f(x)max＝3.‎ ‎(2) 由(1)知A＝α－＝，‎ 又sin Bsin C＝sin‎2A，∴ bc＝a2.‎ ‎∵ a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc, ‎ ‎∴ b2＋c2－bc＝bc，即(b－c)2＝0，故b＝c.‎ ‎∴ △ABC是等边三角形．‎ ‎5. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝.‎ ‎(1) 求证：sin Asin B＝sin C；‎ ‎(2) 若b2＋c2－a2＝bc，求tan B.‎ ‎(1) 证明：根据正弦定理，可设＝＝＝ ( ＞0)，‎ 则a＝ sin A，b＝ sin B，c＝ sin C.‎ 代入＋＝，得 ＋＝，可变形得 sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)．‎ 在△ABC中，由A＋B＋C＝π，‎ 得sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，‎ 所以sin Asin B＝sin C.‎ ‎(2) 解：由已知，b2＋c2－a2＝bc，‎ 根据余弦定理，有cos A＝＝.‎ 所以sin A＝＝.‎ 由(1)得sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，‎ 所以sin B＝cos B＋sin B，‎ 故tan B＝＝4.‎ ‎1. 三角变换的基本策略是化异为同，即将函数名称、角、次数等化异为同．‎ ‎2. 对于函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B，常用“五点法”画图象，运用整体思想研究性质．‎ ‎3. 求三角函数的单调区间、周期，及判断函数的奇偶性，要注意化归思想的运用，通过恒等变换转化为基本三角函数类型，注意变形前后的等价性．‎ ‎4. 解三角函数的综合题时应注意：‎ ‎(1) 与已知基本函数对应求解，即将ωx＋φ视为一个整体X.‎ ‎(2) 将已知三角函数化为同一个角的一种三角函数，如y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝asin 2x＋bsin x＋c.‎ ‎(3) 换元方法在解题中的运用．‎