【数学】2020届一轮复习人教A版不等关系与不等式一元二次不等式及其解法习题学案 14页

第1节　不等关系与不等式、一元二次不等式及其解法 考试要求　1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.‎ 知 识 梳 理 ‎1.两个实数比较大小的方法 ‎(1)作差法 ‎(2)作商法 ‎2.不等式的性质 ‎(1)对称性：a＞b⇔b＜a；‎ ‎(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；‎ ‎(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c>b＋d；‎ ‎(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；‎ ‎(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；‎ ‎(6)可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2).‎ ‎3.三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0‎ Δ＝0‎ Δ＜0‎ 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2)‎ 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 R ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 ‎{x|x1＜x＜x2}‎ ‎∅‎ ‎∅‎ ‎[常用结论与易错提醒]‎ ‎1.对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形.‎ ‎2.当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别.‎ 基 础 自 测 ‎1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)a＞b⇔ac2＞bc2.(　　)‎ ‎(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.(　　)‎ ‎(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.(　　)‎ ‎(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　)‎ 解析　(1)由不等式的性质，ac2＞bc2⇒a＞b；反之，c＝0时，a＞bac2＞bc2.‎ ‎(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实根.则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅.‎ ‎(4)当a＝b＝0，c≤0时，不等式ax2＋bx＋c≤0也在R上恒成立.‎ 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×‎ ‎2.若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(　　)‎ A.＞ B.＜ C.＞ D.＜ 解析　因为c＜d＜0，所以0＞＞，两边同乘－1，得－＞－＞0，又a＞b＞0，故由不等式的性质可知－＞－＞0.两边同乘－1，得＜.故选B.‎ 答案　B ‎3.当x＞0时，若不等式x2＋ax＋1≥0恒成立，则a的最小值为(　　)‎ A.－2 B.－3‎ C.－1 D.－ 解析　当Δ＝a2－4≤0，即－2≤a≤2时，不等式x2＋ax＋1≥0对任意x＞0恒成立，当Δ＝a2－4＞0，则需解得a＞2，所以使不等式x2＋ax＋1≥0对任意x＞0恒成立的实数a的最小值是－2.‎ 答案　A ‎4.(2017·上海卷)不等式>1的解集为________.‎ 解析　1－>1⇒<0⇒x<0，解集为(－∞，0).‎ 答案　(－∞，0)‎ ‎5.若不等式ax2＋bx＋2>0的解集为，则a＝________，b＝________.‎ 解析　由题意知，方程ax2＋bx＋2＝0的两根为x1＝－，x2＝，则 解得 答案　－12　－2‎ ‎6.(必修5P80A3改编)若关于x的一元二次方程x2－(m＋1)x－m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________.‎ 解析　由题意知Δ＝[－(m＋1)]2＋4m＞0.即m2＋6m＋1＞0，‎ 解得m＞－3＋2或m＜－3－2.‎ 答案　(－∞，－3－2)∪(－3＋2，＋∞)‎ 考点一　比较大小及不等式的性质的应用 ‎【例1】 (1)已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是(　　)‎ A.c≥b>a B.a>c≥b C.c>b>a D.a>c>b ‎(2)(2019·衢州二中二模)已知非负实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则(c－a)(c－b)的取值范围为________.‎ 解析　(1)∵c－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2≥0，∴c≥b.‎ 又b＋c＝6－4a＋3a2，∴2b＝2＋2a2，∴b＝a2＋1，‎ ‎∴b－a＝a2－a＋1＝＋>0，‎ ‎∴b>a，∴c≥b>a.‎ ‎(2)因为a，b，c为非负实数，且a＋b＋c＝1，则a＋b＝1－c，0≤c≤1，故|(c－a)(c－b)|＝|c－a||c－b|≤c2≤1，即－1≤(c－a)(c－b)≤1；又(c－a)(c－b)＝c2－(1－c)c＋ab≥2－≥－.综上，有－≤(c－a)(c－b)≤1.‎ 答案　(1)A　(2) 规律方法　(1)比较大小常用的方法：‎ ‎①作差法；②作商法；③函数的单调性法.‎ ‎(2)判断多个不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是用特殊法排除.‎ ‎【训练1】 (1)已知p＝a＋，q＝，其中a>2，x∈R，则p，q的大小关系是(　　)‎ A.p≥q B.p>q ‎ C.p2，故p＝a＋＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝3时取等号.因为x2－2≥－2，所以q＝≤＝4，当且仅当x＝0时取等号，所以p≥q.‎ ‎(2)令a＝2，b＝，则a＋＝4，＝，log2(a＋b)＝log2∈(1，2)，则＜log2(a＋b)＜a＋.‎ 答案　(1)A　(2)B 考点二　一元二次不等式的解法　多维探究 角度1　不含参的不等式 ‎【例2－1】 求不等式－2x2＋x＋3<0的解集.‎ 解　化－2x2＋x＋3<0为2x2－x－3>0，‎ 解方程2x2－x－3＝0得x1＝－1，x2＝，‎ ‎∴不等式2x2－x－3>0的解集为(－∞，－1)∪，‎ 即原不等式的解集为(－∞，－1)∪.‎ 角度2　含参不等式 ‎【例2－2】 解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R).‎ 解　原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.‎ ‎①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.‎ ‎②当a＞0时，原不等式化为(x＋1)≥0，‎ 解得x≥或x≤－1.‎ ‎③当a＜0时，原不等式化为(x＋1)≤0.‎ 当＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤；‎ 当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意；‎ 当＜－1，即－20}，集合B＝{x|2x<2}，则A∩B等于(　　)‎ A.(1，3) B.(－∞，－1)‎ C.(－1，1) D.(－3，1)‎ 解析　依题意，可求得A＝(－1，3)，B＝(－∞，1)，∴A∩B＝(－1，1).‎ 答案　C ‎4.若集合A＝{x|ax2－ax＋1＜0}＝∅，则实数a的取值范围是(　　)‎ A.{a|0＜a＜4} B.{a|0≤a＜4}‎ C.{a|0＜a≤4} D.{a|0≤a≤4}‎ 解析　由题意知a＝0时，满足条件.‎ a≠0时，由得0＜a≤4，所以0≤a≤4.‎ 答案　D ‎5.已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1，1]时，f(x)＞0恒成立，则b的取值范围是(　　)‎ A.(－1，0) B.(2，＋∞)‎ C.(－∞，－1)∪(2，＋∞) D.不能确定 解析　由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)的图象关于直线x＝1对称，即＝1，解得a＝2.‎ 又因为f(x)开口向下，‎ 所以当x∈[－1，1]时，f(x)为增函数，‎ 所以f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，‎ f(x)＞0恒成立，即b2－b－2＞0恒成立，‎ 解得b＜－1或b＞2.‎ 答案　C ‎6.若实数a，b，c满足对任意实数x，y有3x＋4y－5≤ax＋by＋c≤3x＋4y＋5，则(　　)‎ A.a＋b－c的最小值为2‎ B.a－b＋c的最小值为－4‎ C.a＋b－c的最大值为4‎ D.a－b＋c的最大值为6‎ 解析　由题意可得－5≤(a－3)x＋(b－4)y＋c≤5恒成立，所以a＝3，b＝4，‎ ‎－5≤c≤5，则2≤a＋b－c≤12，即a＋b－c的最小值是2，最大值是12，A正确，C错误；－6≤a－b＋c≤4，则a－b＋c的最小值是－6，最大值是4，B错误，D错误，故选A.‎ 答案　A 二、填空题 ‎7.已知函数f(x)＝则不等式f(x)＞3的解集为________.‎ 解析　由题意知或解得x＞1.故原不等式的解集为{x|x＞1}.‎ 答案　{x|x＞1}‎ ‎8.若关于x的不等式ax＞b的解集为，则关于x的不等式ax2＋bx－a＞0的解集为________.‎ 解析　由已知ax＞b的解集为，可知a＜0，且＝，将不等式ax2＋bx－a ‎＞0两边同除以a，得x2＋x－＜0，即x2＋x－＜0，解得－1＜x＜，故不等式ax2＋bx－a＞0的解集为.‎ 答案　 ‎9.不等式a2＋8b2≥λb(a＋b)对于任意的a，b∈R恒成立，则实数λ的取值范围为________.‎ 解析　因为a2＋8b2≥λb(a＋b)对于任意的a，b∈R恒成立，所以a2＋8b2－λb(a＋b)≥0对于任意的a，b∈R恒成立，即a2－λba＋(8－λ)b2≥0恒成立，‎ 由二次不等式的性质可得，‎ Δ＝λ2b2＋4(λ－8)b2＝b2(λ2＋4λ－32)≤0，‎ 所以(λ＋8)(λ－4)≤0，‎ 解得－8≤λ≤4.‎ 答案　[－8，4]‎ ‎10.(2019·杭州高级中学测试)若关于x的不等式(x2－a)·(2x＋b)≥0在(a，b)上恒成立，则2a＋b的最小值为________.‎ 解析　要使2a＋b取得最小值，尽量考虑a，b取负值的情况.因此当a0，与b≤0矛盾；当a<00.综上可知2a＋b的最小值为0.‎ 答案　0‎ 三、解答题 ‎11.已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.‎ ‎(1)解关于a的不等式f(1)＞0；‎ ‎(2)若不等式f(x)＞b的解集为(－1，3)，求实数a，b的值.‎ 解　(1)由题意知f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3＞0，即a2－6a－3＜0，解得3－2＜a＜3＋2.‎ 所以不等式的解集为{a|3－2＜a＜3＋2}.‎ ‎(2)∵f(x)＞b的解集为(－1，3)，‎ ‎∴方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1，3，‎ ‎∴解得 即a的值为3±，b的值为－3.‎ ‎12.已知－1b成立的充分而不必要的条件是(　　)‎ A.a>b＋1 B.a>b－1‎ C.a2>b2 D.a3>b3‎ 解析　A项：若a>b＋1，则必有a>b，反之，当a＝2，b＝1时，满足a>b，但不能推出a>b＋1，故a>b＋1是a>b成立的充分而不必要条件；B项：当a＝b＝1时，满足a>b－1，反之，由a>b－1不能推出a>b；C项：当a＝－2，b＝1时，满足a2>b2，但a>b不成立；D项：a>b是a3>b3的充要条件，综上所述答案选A.‎ 答案　A ‎14.(一题多解)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若不等式f(x)<0的解集为，则f(ex)>0(e是自然对数的底数)的解集是(　　)‎ A.{x|x<－ln 2或x>ln 3}‎ B.{x|ln 20，可得0的解集为，令0在R上有解；由于Δ＝a2＋8＞0恒成立，‎ 所以方程x2＋ax－2＝0恒有一正一负两根，‎ 于是不等式x2＋ax－2＞0在区间[1，5]上有解的充要条件是f(5)＞0，即a∈.‎ 答案　R　 ‎16.若关于x的不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集恰好是[a，b]，则a＝________，b＝________.‎ 解析　令f(x)＝x2－3x＋4＝(x－2)2＋1，其图象对称轴为x＝2.若a≥2，则a，b是方程f(x)＝x的两个实根，解得a＝，b＝4，矛盾；‎ 若b≤2，则f(a)＝b，f(b)＝a，两式相减得a＋b＝，代入可得a＝b＝，矛盾；‎ 若a<2－2x的解集为(1，3).‎ ‎(1)若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的根，求f(x)的解析式；‎ ‎(2)若f(x)的最大值为正数，求实数a的取值范围.‎ 解　(1)∵f(x)＋2x>0的解集为(1，3)，‎ f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a<0，‎ 因而f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3a.①‎ 由方程f(x)＋6a＝0，‎ 得ax2－(2＋4a)x＋9a＝0.②‎ 因为方程②有两个相等的实根，‎ 所以Δ＝[－(2＋4a)]2－4a·9a＝0，‎ 即5a2－4a－1＝0，解得a＝1或a＝－.‎ 由于a<0，舍去a＝1，将a＝－代入①，‎ 得f(x)＝－x2－x－.‎ ‎(2)由f(x)＝ax2－2(1＋2a)x＋3a＝a－及a<0，可得f(x)的最大值为－.‎ 由 解得a<－2－或－2＋