2019届二轮复习数列大题课件（31张）（全国通用） 31页

4.2 　数列大题 - 2 - - 3 - - 4 - - 5 - 1 . 求通项公式的常见类型 (1) 已知 a n 与 S n 的关系或 S n 与 n 的关系 , 利用公式 (2) 等差数列、等比数列求通项或转化为等差 ( 比 ) 数列求通项 . (3) 由递推关系式求数列的通项公式 . ① 形如 a n+ 1 =a n +f ( n ), 利用累加法求通项 . ② 形如 a n+ 1 =a n f ( n ), 利用累乘法求通项 . - 6 - 2 . 数列求和的常用方法 (1) 公式法 : 利用等差数列、等比数列的求和公式 . (2) 错位相减法 : 适合求数列 { a n · b n } 的前 n 项和 S n , 其中 { a n },{ b n } 一个是等差数列 , 另一个是等比数列 . (3) 裂项相消法 : 即将数列的通项分成两个式子的代数和 , 通过累加抵消中间若干项的方法 . (4) 拆项分组法 : 先把数列的每一项拆成两项 ( 或多项 ), 再重新组合成两个 ( 或多个 ) 简单的数列 , 最后分别求和 . (5) 并项求和法 : 把数列的两项 ( 或多项 ) 组合在一起 , 重新构成一个数列再求和 , 适用于正负相间排列的数列求和 . 3 . 数列单调性的常见题型及方法 (1) 求最大 ( 小 ) 项时 , 可利用 : ① 数列的单调性 ; ② 函数的单调性 ; ③ 导数 . (2) 求参数范围时 , 可利用 : ① 作差法 ; ② 同号递推法 ; ③ 先猜后证法 . - 7 - 4 . 数列不等式问题的解决方法 (1) 利用数列 ( 或函数 ) 的单调性 . (2) 放缩法 : ① 先求和后放缩 ; ② 先放缩后求和 , 包括放缩后成等差 ( 或等比 ) 数列再求和 , 或者放缩后裂项相消再求和 . 4 . 2 . 1 　 等差、等比数列与 数列 的 通项及求和 - 9 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 等差、等比数列的通项及求和 例 1 (2018 全国 Ⅱ , 理 17) 记 S n 为等差数列 { a n } 的前 n 项和 , 已知 a 1 =- 7, S 3 =- 15 . (1) 求 { a n } 的通项公式 ; (2) 求 S n , 并求 S n 的最小值 . 解 : (1) 设 { a n } 的公差为 d , 由题意得 3 a 1 + 3 d=- 15 . 由 a 1 =- 7 得 d= 2 . 所以 { a n } 的通项公式为 a n = 2 n- 9 . (2) 由 (1) 得 S n =n 2 - 8 n= ( n- 4) 2 - 16 . 所以当 n= 4 时 , S n 取得最小值 , 最小值为 - 16 . 解题心得 对于等差、等比数列 , 求其通项及前 n 项和时 , 只需利用等差数列或等比数列的通项公式及求和公式求解即可 . - 10 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 对点训练 1 已知等差数列 { a n } 的公差不为零 , a 1 = 25, 且 a 1 , a 11 , a 13 成等比数列 . (1) 求 { a n } 的通项公式 ; (2) 求 a 1 +a 4 +a 7 + … +a 3 n- 2 . 解 : (1) 设 { a n } 的公差为 d . 即 ( a 1 + 10 d ) 2 =a 1 ( a 1 + 12 d ) . 于是 d (2 a 1 + 25 d ) = 0 . 又 a 1 = 25, 所以 d= 0( 舍去 ) 或 d=- 2 . 故 a n =- 2 n+ 27 . (2) 令 S n =a 1 +a 4 +a 7 + … +a 3 n- 2 . 由 (1) 知 a 3 n- 2 =- 6 n+ 31, 故 { a 3 n- 2 } 是首项为 25, 公差为 - 6 的等差数列 . - 11 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 可转化为等差、等比数列的问题 例 2 已知等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , a 1 = 3, 且 3 S 1 ,2 S 2 , S 3 成等差数列 . (1) 求数列 { a n } 的通项公式 ; (2) 设 b n = log 3 a n , 求 T n =b 1 b 2 -b 2 b 3 +b 3 b 4 -b 4 b 5 + … +b 2 n- 1 b 2 n -b 2 n b 2 n+ 1 . 解 : (1) ∵ 3 S 1 ,2 S 2 , S 3 成等差数列 , ∴ 4 S 2 = 3 S 1 +S 3 , ∴ 4( a 1 +a 2 ) = 3 a 1 + ( a 1 +a 2 +a 3 ), 即 a 3 = 3 a 2 , ∴ 公比 q= 3, ∴ a n =a 1 q n- 1 = 3 n . - 12 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 解题心得 无论是求数列的通项还是求数列的前 n 项和 , 通过变形、整理后 , 能够把数列转化为等差数列或等比数列 , 进而利用等差数列或等比数列的通项公式或求和公式解决问题 . (2) 由 (1) 知 , b n = log 3 a n = log 3 3 n =n , ∵ b 2 n- 1 b 2 n -b 2 n b 2 n+ 1 = (2 n- 1) · 2 n- 2 n (2 n+ 1) =- 4 n , ∴ T n = ( b 1 b 2 -b 2 b 3 ) + ( b 3 b 4 -b 4 b 5 ) + … + ( b 2 n- 1 b 2 n -b 2 n b 2 n+ 1 ) - 13 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 对点训练 2 设 { a n } 是公比大于 1 的等比数列 , S n 为数列 { a n } 的前 n 项和 , 已知 S 3 = 7, 且 a 1 + 3,3 a 2 , a 3 + 4 构成等差数列 . (1) 求数列 { a n } 的通项公式 ; - 14 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 解 : (1) 由已知 得 - 15 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 (2) 由 (1) 得 a 3 n+ 1 = 2 3 n , ∴ b n = ln 2 3 n = 3 n ln 2 . ∵ b n+ 1 -b n = 3ln 2, ∴ 数列 { b n } 为等差数列 . - 16 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 求数列的通项及错位相减求和 例 3 已知 { a n } 为等差数列 , 前 n 项和为 S n ( n ∈ N * ),{ b n } 是首项为 2 的等比数列 , 且公比大于 0, b 2 +b 3 = 12, b 3 =a 4 - 2 a 1 , S 11 = 11 b 4 . (1) 求 { a n } 和 { b n } 的通项公式 ; (2) 求数列 { a 2 n b 2 n- 1 } 的前 n 项和 ( n ∈ N * ) . - 17 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 解 : (1) 设等差数列 { a n } 的公差为 d , 等比数列 { b n } 的公比为 q. 由已知 b 2 +b 3 = 12, 得 b 1 ( q+q 2 ) = 12, 而 b 1 = 2, 所以 q 2 +q- 6 = 0 . 又因为 q> 0, 解得 q= 2 . 所以 , b n = 2 n . 由 b 3 =a 4 - 2 a 1 , 可得 3 d-a 1 = 8 . ① 由 S 11 = 11 b 4 , 可得 a 1 + 5 d= 16, ② 联立 ①② , 解得 a 1 = 1, d= 3, 由此可得 a n = 3 n- 2 . 所以 , 数列 { a n } 的通项公式为 a n = 3 n- 2, 数列 { b n } 的通项公式为 b n = 2 n . - 18 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 (2) 设数列 { a 2 n b 2 n- 1 } 的前 n 项和为 T n , 由 a 2 n = 6 n- 2, b 2 n- 1 = 2 × 4 n- 1 , 有 a 2 n b 2 n- 1 = (3 n- 1) × 4 n , 故 T n = 2 × 4 + 5 × 4 2 + 8 × 4 3 + … + (3 n- 1) × 4 n , 4 T n = 2 × 4 2 + 5 × 4 3 + 8 × 4 4 + … + (3 n- 4) × 4 n + (3 n- 1) × 4 n+ 1 , 上述两式相减 , 得 - 3 T n = 2 × 4 + 3 × 4 2 + 3 × 4 3 + … + 3 × 4 n - (3 n- 1) × 4 n+ 1 - 19 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 解题心得 求数列通项的基本方法是利用等差、等比数列通项公式 , 或通过变形转换成等差、等比数列求通项 ; 如果数列 { a n } 与数列 { b n } 分别是等差数列和等比数列 , 那么数列 { a n ·b n } 的前 n 项和采用错位相减法来求 . - 20 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 对点训练 3 (2018 浙江 ,20) 已知等比数列 { a n } 的公比 q> 1, 且 a 3 +a 4 +a 5 = 28, a 4 + 2 是 a 3 , a 5 的等差中项 . 数列 { b n } 满足 b 1 = 1, 数列 {( b n+ 1 -b n ) a n } 的前 n 项和为 2 n 2 +n. (1) 求 q 的值 ; (2) 求数列 { b n } 的通项公式 . 解 : (1) 由 a 4 + 2 是 a 3 , a 5 的等差中项 , 得 a 3 +a 5 = 2 a 4 + 4, 所以 a 3 +a 4 +a 5 = 3 a 4 + 4 = 28, 解得 a 4 = 8 . - 21 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 (2) 设 c n = ( b n+ 1 -b n ) a n , 数列 { c n } 前 n 项和为 S n , - 22 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 - 23 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 求数列的通项及裂项求和 例 4 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , 且对任意正整数 n , 都有 3 a n = 2 S n + 3 成立 . (1) 求数列 { a n } 的通项公式 ; 解 : (1) 在 3 a n = 2 S n + 3 中 , 取 n= 1, 得 a 1 = 3, 且 3 a n+ 1 = 2 S n+ 1 + 3, 两式相减 , 得 3 a n+ 1 - 3 a n = 2 a n+ 1 , ∴ a n+ 1 = 3 a n . ∵ a 1 ≠0, ∴ 数列 { a n } 是以 3 为公比的等比数列 , ∴ a n = 3 · 3 n- 1 = 3 n . - 24 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 (2) 由 (1) 得 b n = log 3 a n =n , 解题心得 对于已知等式中含有 a n , S n 的求数列通项的题目 , 一般有两种解题思路 , 一是消去 S n 得到 f ( a n ) = 0, 求出 a n ; 二是消去 a n 得到 g ( S n ) = 0, 求出 S n , 再求 a n . 把数列的通项拆成两项之差 , 求和时中间的项能够抵消 , 从而求得其和 . 注意抵消后所剩余的项一般前后对称 . - 25 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 对点训练 4 S n 为数列 { a n } 的前 n 项和 . 已知 a n > 0 , + 2 a n = 4 S n + 3 . (1) 求 { a n } 的通项公式 ; 所以 { a n } 是首项为 3, 公差为 2 的等差数列 , 通项公式为 a n = 2 n+ 1 . - 26 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 (2) 由 a n = 2 n+ 1 可知 设数列 { b n } 的前 n 项和为 T n , 则 T n =b 1 +b 2 + … +b n - 27 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 涉及奇偶数讨论的数列求和 例 5 已知等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , 且 a 1 = 2, S 5 = 30 . 数列 { b n } 的前 n 项和为 T n , 且 T n = 2 n - 1 . (1) 求数列 { a n },{ b n } 的通项公式 ; (2) 设 c n = ( - 1) n ( a n b n + ln S n ), 求数列 { c n } 的前 n 项和 . 对数列 { b n }: 当 n= 1 时 , b 1 =T 1 = 2 1 - 1 = 1, 当 n ≥ 2 时 , b n =T n -T n- 1 = 2 n - 2 n- 1 = 2 n- 1 , 当 n= 1 时也满足上式 . ∴ b n = 2 n- 1 . - 28 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 (2) c n = ( - 1) n ( a n b n + ln S n ) = ( - 1) n a n b n + ( - 1) n ln S n . ∴ ln S n = ln n ( n+ 1) = ln n+ ln( n+ 1) . 而 ( - 1) n a n b n = ( - 1) n · 2 n· 2 n- 1 =n· ( - 2) n , 设数列 {( - 1) n a n b n } 的前 n 项和为 A n , 数列 {( - 1) n ln S n } 的前 n 项和为 B n , 则 A n = 1 × ( - 2) 1 + 2 × ( - 2) 2 + 3 × ( - 2) 3 + … +n· ( - 2) n , ① 则 - 2 A n = 1 × ( - 2) 2 + 2 × ( - 2) 3 + 3 × ( - 2) 4 + … +n· ( - 2) n+ 1 , ② ① - ② 得 3 A n = 1 × ( - 2) 1 + ( - 2) 2 + ( - 2) 3 + … + ( - 2) n -n· ( - 2) n+ 1 - 29 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 当 n 为偶数时 , B n =- (ln 1 + ln 2) + (ln 2 + ln 3) - (ln 3 + ln 4) + … + [ln n+ ln( n+ 1)] = ln( n+ 1) - ln 1 = ln( n+ 1); 当 n 为奇数时 , B n =- (ln 1 + ln 2) + (ln 2 + ln 3) - (ln 3 + ln 4) + … - [ln n+ ln( n+ 1)] =- ln( n+ 1) - ln 1 =- ln( n+ 1) . 由以上可知 , B n = ( - 1) n ln( n+ 1) . - 30 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 对点训练 5 已知函数 f ( x ) = 4 x ,4, f ( a 1 ), f ( a 2 ),…, f ( a n ),2 n+ 3 ( n ∈ N * ) 成等比数列 . (1) 求数列 { a n } 的通项公式 ; 解 : (1) ∵ 4, f ( a 1 ), f ( a 2 ), … , f ( a n ),2 n+ 3 成等比数列 , 其公比设为 q , ∴ 2 n+ 3 = 4 ×q n+ 2 - 1 , 解得 q= 2 . - 31 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五