2021高考数学一轮复习课后限时集训33等差数列及其前n项和文北师大版2 6页

课后限时集训33‎ 等差数列及其前n项和 建议用时：45分钟 一、选择题 ‎1．(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　)‎ A．1　　　　B．2　　　　C．4　　　　D．8‎ C　[设{an}的公差为d，则 由得解得d＝4.‎ 故选C.]‎ ‎2．(2019·峨眉山模拟)在等差数列{an}中，a3，a9是方程x2＋24x＋12＝0的两根，则数列{an}的前11项和等于(　　)‎ A．66 B．132 ‎ C．－66 D．－132‎ D　[因为a3，a9是方程x2＋24x＋12＝0的两根，‎ 所以a3＋a9＝－24，‎ 又a3＋a9＝－24＝2a6，所以a6＝－12，‎ S11＝＝＝－132.故选D.]‎ ‎3．在数列{an}中，an＝28－5n，Sn为数列{an}的前n项和，当Sn最大时，n＝(　　)‎ A．2 B．3 ‎ C．5 D．6‎ C　[∵an＝28－5n，∴数列{an}为递减数列．‎ 令an＝28－5n≥0，则n≤，又n∈N*，∴n≤5.‎ ‎∴当n＝5时，Sn最大．故选C.]‎ ‎4．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为(　　)‎ A．65 B．176 ‎ C．183 D．184‎ D　[由题意知，8个孩子所得棉花构成公差为17的等差数列，且前8项之和为996.‎ - 6 -‎ 设首项为a1，则S8＝8a1＋×17＝996，解得a1＝65，‎ 则a8＝a1＋7d＝65＋7×17＝184，故选D.]‎ ‎5．设数列{an}的前n项和为Sn，且an＝－2n＋1，则数列的前11项和为(　　)‎ A．－45 B．－50 ‎ C．－55 D．－66‎ D　[∵an＝－2n＋1，∴数列{an}是以－1为首项，－2为公差的等差数列，∴Sn＝＝－n2，‎ ‎∴＝＝－n，∴数列是以－1为首项，－1为公差的等差数列，∴数列的前11项和为11×(－1)＋×(－1)＝－66，故选D.]‎ 二、填空题 ‎6．(2019·全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＝5，a7＝13，则S10＝________.‎ ‎100　[∵{an}为等差数列，a3＝5，a7＝13，‎ ‎∴公差d＝＝＝2，‎ 首项a1＝a3－2d＝5－2×2＝1，‎ ‎∴S10＝10a1＋d＝100.]‎ ‎7．若x≠y，数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y各自成等差数列，则＝________.‎ 　[由题意得a1－a2＝，b1－b2＝，所以＝.]‎ ‎8．在等差数列{an}中，公差d＝，前100项的和S100＝45，则a1＋a3＋a5＋…＋a99＝________.‎ ‎10　[a2＋a4＋a6＋…＋a100＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋25，由S100＝45得a1＋a3＋a5＋…＋a99＝10.]‎ 三、解答题 ‎9．(2018·全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)求Sn，并求Sn的最小值．‎ ‎[解](1)设{an}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15.由a1＝－7得d＝2.所以{an - 6 -‎ ‎}的通项公式为an＝2n－9.‎ ‎(2)由(1)得Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16.‎ 所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.‎ ‎10．已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.‎ ‎[解](1)设{an}的公差为d.由题意，得 a＝a1a13，‎ 即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)．‎ 于是d(2a1＋25d)＝0.‎ 又a1＝25，所以d＝0(舍去)或d＝－2.‎ 故an＝－2n＋27.‎ ‎(2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.‎ 由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的等差数列．‎ 从而Sn＝(a1＋a3n－2)‎ ‎＝(－6n＋56)‎ ‎＝－3n2＋28n.‎ ‎1．在数列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋(n∈N*)，则该数列的通项公式为(　　)‎ A．an＝ B．an＝ C．an＝ D．an＝ A　[由已知式＝＋可得－＝－，知是首项为＝1，公差为－＝2－1＝1的等差数列，所以＝n，即an＝.]‎ ‎2．设an＝(n＋1)2，bn＝n2－n(n∈N*)，则下列命题中不正确的是(　　)‎ A．{an＋1－an}是等差数列 B．{bn＋1－bn}是等差数列 C．{an－bn}是等差数列 D．{an＋bn}是等差数列 D　[对于A，因为an＝(n＋1)2，‎ - 6 -‎ 所以an＋1－an＝(n＋2)2－(n＋1)2＝2n＋3，‎ 设cn＝2n＋3，所以cn＋1－cn＝2.‎ 所以{an＋1－an}是等差数列，故A正确；‎ 对于B，因为bn＝n2－n(n∈N*)，‎ 所以bn＋1－bn＝2n，‎ 设cn＝2n，所以cn＋1－cn＝2，‎ 所以{bn＋1－bn}是等差数列，故B正确；‎ 对于C，因为an＝(n＋1)2，bn＝n2－n(n∈N*)，‎ 所以an－bn＝(n＋1)2－(n2－n)＝3n＋1，‎ 设cn＝3n＋1，所以cn＋1－cn＝3，‎ 所以{an－bn}是等差数列，故C正确；‎ 对于D，an＋bn＝2n2＋n＋1，设cn＝an＋bn，‎ cn＋1－cn不是常数，故D错误．]‎ ‎3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则正整数m的值为________．‎ ‎5　[由题意知am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，则公差d＝am＋1－am＝1.‎ 由Sm＝0得＝0，‎ 解得a1＝－am＝－2，‎ 则am＝－2＋(m－1)×1＝2，解得m＝5.]‎ ‎4．已知数列{an}满足a1＝2，n(an＋1－n－1)＝(n＋1)(an＋n)(n∈N*)．‎ ‎(1)求证：数列是等差数列，并求其通项公式；‎ ‎(2)设bn＝－15，求数列{|bn|}的前n项和Tn.‎ ‎[解](1)证明：∵n(an＋1－n－1)＝(n＋1)(an＋n)(n∈N*)，‎ ‎∴nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)，∴－＝2，‎ ‎∴数列是等差数列，其公差为2，首项为2，‎ ‎∴＝2＋2(n－1)＝2n.‎ ‎(2)由(1)知an＝2n2，∴bn＝－15＝2n－15，‎ ‎∴bn＋1－bn＝2，b1＝－13，‎ ‎∴数列{bn}是首项为－13，公差为2的等差数列，‎ 则数列{bn}的前n项和Sn＝＝n2－14n.‎ - 6 -‎ 令bn＝2n－15≤0，n∈N*，解得n≤7.‎ ‎∴n≤7时，数列{|bn|}的前n项和Tn＝－b1－b2－…－bn＝－Sn＝－n2＋14n.‎ n≥8时，数列{|bn|}的前n项和Tn＝－b1－b2－…－b7＋b8＋…＋bn＝－2S7＋Sn＝－2×(72－14×7)＋n2－14n＝n2－14n＋98.‎ ‎∴Tn＝ ‎1．已知函数y＝f(x)对任意自变量x都有f(x)＝f(2－x)，且函数f(x)在[1，＋∞)上单调．若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f(a6)＝f(a2 012)，则{an}的前2 017项之和为(　　)‎ A．0 B．2 017 ‎ C．2 016 D．4 034‎ B　[由题意知a6＋a2 012＝2，则 S2 017＝＝＝2 017，故选B.]‎ ‎2．各项均不为0的数列{an}满足＝an＋2an，且a3＝2a8＝.‎ ‎(1)证明数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若数列{bn}的通项公式为bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.‎ ‎[解](1)证明：依题意，an＋1an＋an＋2an＋1＝2an＋2an，两边同时除以anan＋1an＋2，‎ 可得＋＝，‎ 故数列是等差数列，‎ 设数列的公差为d.‎ 因为a3＝2a8＝，所以＝5，＝10，‎ 所以－＝5＝5d，‎ 即d＝1，‎ 所以＝＋(n－3)d＝5＋(n－3)×1＝n＋2，‎ 故an＝.‎ ‎(2)由(1)可知bn＝＝·＝，故Sn＝＝ - 6 -‎ ‎.‎ - 6 -‎